16.1 变量与函数 第1课时 变量与函数的概念及函数的表示方法（课件）2025-2026学年华师大八年级数学下册

第 1 课时 变量与函数的概念及函数的表示方法16.1 变量与函数第 16 章 函数及其图象学习目标1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义.(重点)2.了解函数的概念和三种表示法，能用适当的函数表示法表示简单实际问题中变量之间的关系.(重点)3.能确定简单实际问题中自变量的取值范围，并会求出函数值.(难点)万物皆变 行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化.气温随海拔的变化而变化.汽车匀速行驶，行驶路程随行驶时间的变化而变化. 世界处在不停地运动变化中，如何研究这些运动变化规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化。变量与函数问题1 如图是某地一天内的气温变化图：思考 这张图告诉我们哪些信息 ? 从图中我们可以看到，随着时间 t (h) 的变化，气温 T (℃) 也随之变化.看图回答:(1) 这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别是多少 ? 任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.分别为－1℃、2℃、5℃(2) 这一天中 ，最高气温是多少 ? 最低气温是多少 ?最高气温是5℃．最低气温是－4℃ .(3) 这一天中 ，哪些时段的气温在逐渐升高 ? 哪些时段的气温在逐渐降低? 这一天中，3 时 ~ 14 时的气温在逐渐升高，0 时 ~ 3 时和 14 时 ~ 24 时的气温在逐渐降低　问题2 小蕾在过 14 岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表: 观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的 ? 在哪一段时间内体重增加较快 ? 随着年龄的增长，小蕾的体重也随之增长，且在 1—2 岁增加较快.问题3 收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米 (m)和千兹 (kHz) 为单位标刻的 ，下面是一些对应的数值:观察上表回答：(1)波长 l 和频率 f 数值之间有什么关系 ?(2)波长 λ 越大，频率 f 就_____ .越小问题4 圆的面积随着半径的增大而增大，如果用 r 表示圆的半径、用 S 表示圆的面积，则 S 与 r 之间满足下列关系:S = _______ . 利用这个关系式，试求出半径为 1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表： πr²π2.25π4π6.76π10.24π越大由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就______.思考 在上述4个问题中，都是一些变化的过程，出现了各种各样的数量，你认为可以怎样分类？变量常量问题 1 中的时间 t 、气温 T ；问题 2 中的周岁、体重；问题 3 中的波长 λ 、频率 f ；问题 4 中的圆面积 S、半径 r .问题 3 中的300 000；问题 4 中的π. 像这样，在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量 (variable). 在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量 (constant) . 在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.知识要点 例1 指出下列事件过程中的常量与变量.(1) 某水果店橘子的单价为 5 元／千克，买 a 千克橘子的总价为 m 元，其中常量是 ，变量是 ；(2) 圆的周长 C 与半径 r 之间的关系式是 C ＝ 2πr，其中常量是 ，变量是 ；(3) 三角形的一边长 5 cm，它的面积 S (cm2) 与这边上的高 h (cm) 的关系式 中，其中常量是 ，变量是 .5a ，m2，πC， rS，h典例精析练一练 1. 指出下列变化过程中的变量和常量：(1) 汽油的价格是7.4元/升，加油 x 升，车主加油付油费为 y 元；(2) 小明看一本200 页的小说，看完这本小说用了 t 天，平均每天所看的页数为 n；(3) 用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为 x cm，其面积为 S cm2．(4) 若直角三角形中的一个锐角的度数为 α，则另一个锐角 β (度)与 α 间的关系式是 β = 90－α. 上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.试说出上面四个问题中的自变量与因变量. 一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量 ，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量 ， y 是因变量. 此时也称 y 是 x 的函数.知识要点 例3 下列关于变量 x ，y 的关系式：y = 2x + 3；y = x2 + 3；y = 2|x|；④ ；⑤y2 - 3x = 10，其中表示 y 是 x 的函数关系的是 ． 判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.一个 x 值有两个 y 值与它相对应典例精析某型号的汽车在平整路面上的刹车距离 s m 与车速v km/h 之间有下列经验公式：2. 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离. 刹车距离是分析事故原因的一个重要因素. (1) 式中哪个量是常量？哪个量是变量？哪个量是自变量？哪个量是因变量？ 256 s，v v s (2) 当刹车时车速 v 分别是 40、80、120 km/h 时，相应的刹车距离 s 分别是多少？当 v＝40 km/h 时，s＝6.25 m；当 v＝80 km/h 时，s＝25 m；当 v＝120 km/h 时，s＝56.25 m.函数的表示方法表示函数关系的方法通常有三种：问题 3 中的：  函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式。问题 4 中的： S = πr² .(1) 解析法(2) 列表法，问题 3 中波长与频率的关系表：如问题 2 中小蕾的体重表：(3) 图象法，问题1 所示的气温曲线图。 在研究函数时，必须注意自变量的取值范围，实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.函数三种表示方法的区别用数学式子表示函数关系的方法通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法用图象来表示两个变量间的函数关系的方法准确地反映了函数随自变量变化的数量关系具体反映了函数随自变量变化的数值对应关系直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律在某一变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．解析法，列表法和图象法变量与函数的概念及其表示方法常量与变量函数函数的表示方法如果在一个变化过程中，有两个变量 ，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应， 称 y 是 x 的函数1. 设路程为 s，时间为 t，速度为 v，当 v = 60 时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中，___是常量， 是变量， 是 的函数. 60s = 60t t 和 sst2.油箱中有油 30 kg，油从管道中匀速流出，1 h 流完，则油箱中剩余油量 Q（kg）与流出时间 t（min）之间的函数关系式是_____________. Q = 30 - 0.5t3. 写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数.(1) 运动员在 200 米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间 t (秒)与跑步的速度 v (米/秒) 的关系式；(2) n(n＞3) 边形的对角线条数 s 与边数 n 之间的关系式.解：(1) ，其中 200 是常量，v、t 是变量，v 是自变量，t 是 v 的函数. (2) ，其中 ，-3 是常量，s、n 是变量，n 是自变量，s 是 n 的函数.4.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.(1) 改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；(2) 某村的耕地面积是 106 m2，这个村人均占有耕地面积 y （单位：m2）随该村人数 n 的变化而变化；(3) P 是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化． 解：（1）S 是 x 的函数，其中 x 是自变量.（2）y 是 n 的函数，其中 n 是自变量.（3）y 不是 x 的函数.例如，到原点的距离为 1 的点对应实数 1 或 -1.