苏科版（2024）八年级下册（2024）第11章 二次根式11.3 二次根式的加减课后作业题

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一、解答题
1．先化简，再求值：，其中．
2．计算：
(1)；
(2)．
3．我们知道一个数的倒数是．学习了无理数后，我们要会求一个无理数的倒数．
例：
若，则
若，则
请你根据上述解答过程，解决如下问题：
(1)填空：若，则___________；若，则___________．
(2)计算：
(3)比较与的大小，并说明理由．
4．已知二次根式与是同类二次根式，求的值．
5．（1）若m，n是实数，且，求的算术平方根；
（2）已知，，求代数式的值．
6．求值：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求的近似值（结果保留小数点后两位）．
7．计算：
(1)；
(2)．
8．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？
9．（1）求式子中的值．
（2）计算．
10． 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)请作出关于轴对称的；
(3)求出边上的高．
11．已知，
(1)求：①的值；②的值．
(2)利用（1）的结论求：①的值；②的值．
12．已知，求的值．
13．在计算时，
小明的解题过程如下：
解：原式①
②
③
④
(1)小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的；
(2)请你给出正确的解题过程．
14．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式、例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1)写出的一个有理化因式 ；化简： ；
(2)化简：；
(3)拓展应用：已知，，试比较，b，c的大小，并说明理由．
15．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米．
(1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
(2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积．
16．阅读下面计算过程：
试求：
(1)________；
(2)（为正整数）________
(3)求的值．
17．已知，
(1)求的值；
(2)若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值．
18．阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：，．
解答下列问题：
(1)与______互为有理化因式，将分母有理化得______；
(2)计算下列式子的值：；
(3)已知正整数a，b满足，求a，b的值．
19．观察下列运算．
①由得；
②由得；
③由得．
……
(1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来．
(2)利用（1）中你发现的规律计算：．
20．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．如．
计算：
21．如图，图（1）、图（2）是两张形状大小完全相同的网格纸，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，请在两图中按要求作图．
(1)在图（1）中，画出一个C点，连接，，使点必须在格点上；
(2)在图（2）中，画出一个以为斜边的，D点必须在格点上，且；
(3)写出图（2）中的周长；
22．已知实数、满足，
(1)求的值；
(2)试比较的值与3的大小．
23．海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则三角形的面积为：．
(1)用公式计算如图三角形的面积；
(2)你是否有其它方法求出这个三角形的面积？试试看．
24．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题：
(1)的有理化因式是_______，分母有理化得_______；
(2)比较大小：_______（用“＜”“＞”或“＝”填空）；
(3)计算：．
《第11章 11.3二次根式的加减》参考答案
1．；
【来源】辽宁省朝阳市第四中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题（9月）
【分析】本题考查分式的化简求值；运用分式混合运算法则将原式化简，再代入求值即可.
【详解】解：
.
将代入得原式.
2．(1)
(2)
【来源】四川省眉山市东坡区思蒙初中共同体2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷
【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．
（1）先算乘除，再计算加减法；
（2）先运用平方差公式和完全平方公式，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．(1)，
(2)19
(3)，理由见解析
【来源】广东省清远市清城区松岗中学2025-2026学年八年级上学期数学第一次月考试题
【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，数字类规律，解题的关键是理解题意，找出规律，准确计算．
（1）利用分母有理化的方法求解即可；
（2）根据题中所给的等式，得，进行计算即可得；
（3）根据,可得，即可得．
【详解】（1）解：若，则；
若，则；
故答案为：，；
（2）解：原式=
；
（3）解：，理由如下：
由题意得，，，
∵
∴，
∴．
4．1
【来源】甘肃省兰州市联片办学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷
【分析】题目主要考查同类二次根式及最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用等，理解题意，根据同类二次根式及最简二次根式列出方程组是解题关键．
根据同类二次根式及最简二次根式的意义，列方程组解答即可．
【详解】解：二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，此时，不符合题意，
或，
解得：， 符合题意，
．
所以的值为1．
5．（1）；（2）11
【来源】四川省成都市温江中学实验学校2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷
【分析】本题主要考查了求代数式的值，分母有理化，二次根式有意义的条件，正确计算是解题的关键：
（1）先根据二次根式有意义可得m，n的值，再根据算术平方根的定义解答；
（2）先分母有理化求出x，y，再求出，然后根据完全平方公式解答．
【详解】解：（1）∵m，n是实数，且，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴的算术平方根是．
（2）∵，
，
∴，
∴．
6．(1)
(2)
【来源】江苏省海安市某校2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键．
（1）将x代入，运用平方差公式和完全平方公式进行求解即可；
（2）将原式进行变形化简，再将代入计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：原式
．
7．(1)；
(2)；
【来源】甘肃省兰州市第三十五中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，乘方，化简绝对值，算术平方根，立方根的知识点，熟知定义及运算法则是解题的关键．
（1）根据乘方，化简绝对值，算术平方根，立方根的运算法则及定义求解即可得到答案；
（2）根据根式的乘法法则和平方差公式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
8．(1)
(2)元
【来源】山东省枣庄市滕州市荆河街道滕南中学2025-2026学年上学期期中考试模拟试题八年级数学
【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
（1）利用长方形的周长公式即可求解；
（2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
【详解】（1）长方形的周长

，
答：长方形的周长是；
（2）蔬菜地的面积
，
（元），
答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为元．
9．（1）或（2）4
【来源】【智】3．阶段考前检测卷（一）超考卷八年级数学上册（北师大2024）
【分析】（1）先将方程转化为等于常数的形式，再利用平方根求解；
（2）先将除法转化为乘法然后利用乘法分配律进行计算，最后根据有理数的加减法法则计算即可．
【详解】解：（1）因为，所以，
所以，所以．
当时，；
当时，．
解：（2）原式
．
【点睛】本题考查了实数的运算和平方根，正确运用运算法则是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【来源】四川省成都市锦江区四川师范大学附属实验学校2025-2026学年八年级上学期数学第一学月测试卷
【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称，勾股定理，二次根式的运算，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键．
（1）根据已知点的坐标确定原点的位置，建立直角坐标系即可；
（2）根据成轴对称的性质，画出即可；
（3）先由割补法求出的面积，然后由勾股定理求出，即可求出边上的高．
【详解】（1）解：建立直角坐标系，如图所示；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：设边上的高为，
的面积为，，
∴．
11．(1)①；②
(2)①12；②
【来源】辽宁省大连市普兰店区2019-2020学年八年级下学期数学期末试卷
【分析】本题主要考查完全平方公式及根式的计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
（1）①直接相加即可；②运用平方差公式计算；
（2）①利用，再代（1）的值计算即可；
②先通分，再利用计算．
【详解】（1）①；
②．
（2）①；
②．
12．
【来源】第2章实数专题演练 综合训练-【数理报】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步课堂（湘教版2024）
【分析】本题考查的是二次根式的化简、完全平方公式.根据完全平方公式把已知等式变形，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为．
13．(1)③
(2)
【来源】广东省佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题
【分析】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则．
（1）指出二次根式运算错误的步骤即可；
（2）根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】（1）小明从第③步开始出错的；
故答案为：③；
（2）原式
．
14．(1)；
(2)
(3)，理由见解析
【来源】四川成都教育科学研究院附属中学2025--2026学年上学期八年级数学10月月考试卷
【分析】本题考查了材料阅读，二次根式的混合运算，分母有理化，读懂阅读材料是解答本题的关键．
（1）根据有理化因式和分母有理化解决问题；
（2）先对分母进行有理化，然后再合并同类项即可；
（3）先利用分母有理化，计算出、、的倒数，则可判断，从而得到、、的大小．
【详解】（1）解：，
的一个有理化因式为；
；
故答案为：；；
（2）解：
；
（3）解：，理由如下：
，
，
，
，
．
15．(1)这个舞台的宽为米
(2)舞台装饰后的面积是平方米
【来源】陕西省咸阳市武功县普集街道办南仁初级中学2025--2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷
【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，
（1）利用二次根式的除法解题即可；
（2）利用二次根式的混合运算解题即可．
【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米）
答：这个舞台的宽为米；
（2）解：装饰后矩形舞台的总面积为
（平方米）．
答：舞台装饰后的面积是平方米．
16．(1)
(2)
(3)
【来源】河南省平顶山市卫东区平顶山市第六中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题
【分析】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键．
（1）先找出有理化因式，最后求出即可；
（2）先找出有理化因式，最后求出即可；
（3）先分母有理化，再合并即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
．
17．(1)17
(2)
【来源】四川省成都市龙泉驿区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷
【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算以及无理数的小数部分，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，以及利用公式和小数部分的定义进行计算．
（1）先对、进行分母有理化，再利用完全平方公式和平方差公式计算的值；
（2）先确定的范围，从而得到、的范围，进而确定它们的小数部分、，再代入式子计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
由（1）知，
，
又∵的小数部分为的小数部分为，
．
18．(1)，
(2)22
(3)
【来源】甘肃省天水市清水县第三中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷
【分析】（1）根据题意可以得到与有理化因式，并将题目中的二次根式化简；
（2）根据分母有理化的方法化简题目中的式子，再合并；
（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．
【详解】（1）解：与互为有理化因式，
，
故答案为；；．
（2）解：
；
（3）解：∵，
且，
∴，
∴，
解这个方程组，得，
∴．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的有理化因式，分母有理化，二次根式的混合运算顺序和法则，是解答本题的关键．
19．(1)（n为正整数）
(2)2023
【来源】追梦第2章章末复习实数-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（北师大版2024）
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化及数字的规律探索，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
（1）根据题意即可得出规律；
（2）根据规律将式子化简，再运用平方差公式求解即可．
【详解】（1）由题可得，（n为正整数） ；
（2）
．
20．
【来源】宁夏回族自治区银川市灵武市狼皮子梁学校2024-2025学年八年级数学上学期9月月考试题（一、二章）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据列式运算即可．
【详解】解：由题意可得：
．
21．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)周长为
【来源】黑龙江省哈尔滨市南岗区第六十九中学2020-2021学年下学期八年级期中质量检测数学（五四制）试卷
【分析】本题考查了格点中的作图，勾股定理，二次根式的加减运算，熟练掌握格点中的作图方法是解题的关键．
（1）以为直角边，点B为直角顶点作等腰直角三角形，则点C即为所求；
（2）作直角三角形，根据勾股定理，计算，，再求面积，符合条件；
（3）根据勾股定理计算，在计算周长即可．
【详解】（1）解：共有两个点C符合，画出一个即可；
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：周长：．
22．(1)16
(2)
【来源】云南省玉溪市红塔区第四中学2025—2026学年九年级上学期数学开学试卷
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的运用，实数比较大小．
（1）利用完全平方公式将变形为，再代值计算即可；
（2）先求出，，再通分化简得，再代值计算，再比较与3的大小即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即．
23．(1)
(2)有其他方法，解法见解析
【来源】云南省西双版纳傣族自治州2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
【分析】本题主要考查二次根式的应用，勾股定理，弄清海伦公式的计算方法以及勾股定理是解答此题的关键．
（1）依据题意，先求出p的值，再代入公式即可；
（2）依据题意，过点A作于D，设，则，根据，得出，进而求得，然后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴
；
（2）有其他方法，解答如下．
如图所示，过点A作于D，
设，则，
又∵在中，，
在中，，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
24．(1)；
(2)
(3)
【来源】湖南省永州市冷水滩区京华中学2024-2025学年八年级上学期数学第三次课后练习卷
【分析】本题考查二次根式的应用，平方差公式，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
（1）按照题干中的步骤进行有理化因式，分母有理化即可求解．
（2）将和分母有理化，即可比较大小．
（3）将原式分母有理化，化简就可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的有理化因式是，
∵，
∴分母有理化得，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
又，
∴，
故答案为：．
（3）解：将分母有理化，可得
原式
．