专题1.8 整式的乘除压轴题综合测试卷-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024）（原卷版+解析版）

这是一份专题1.8 整式的乘除压轴题综合测试卷-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024）（原卷版+解析版），文件包含专题18整式的乘除压轴题综合测试卷北师大版2024原卷版docx、专题18整式的乘除压轴题综合测试卷北师大版2024解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
第1章 整式的乘除压轴题综合测试卷 【北师大版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，有三张正方形纸片①、②、③，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形ABCD中，已知中间重叠部分四边形EFGH恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为S1和S2，已知AD=3，AB=4，若要知道S1和S2的面积差，只需要知道（   ） A．正方形①的边长 B．正方形②的边长 C．正方形③的边长 D．正方形EFGH的边长 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，延长FM交BC于点N，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积S1=S④+S⑤，分别设正方形①、②、③的边长分别为a、b、c，正方形EFGH的边长为d，表示出S1，S2，再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长FM交BC于点N，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积S1=S④+S⑤， 设正方形①、②、③的边长分别为a、b、c，正方形EFGH的边长为d， 则a+b−d=3，OF=PH=a−d，OB=4−a，PD=3−a，MN=4−a−d+b，NQ=3−a−d+c， ∴S1=OF×OB+MN×NQ=a−d4−a+4−a−d+b3−a−d+c=a−d4−a+3−a−d+c，S2=PD×PH=3−aa−d， ∴S1−S2=a−d4−a+3−a−d+c−3−aa−d=a−d+3−a−d+c=3−c 故要知道S1和S2的面积差，只需要知道c的值即可，即要知道正方形③的边长， 故选：C． 2．（3分）（24-25七年级·福建厦门·阶段练习）已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A．a>b>c>d B．a>b>d>c C．b>a>c>d D．a>d>b>c 【答案】A 【分析】先变形化简a=2255=（225）11，b=3344=（334）11，c=5533=（553）11，d=6622=（662）11，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为a=2255=（225）11，b=3344=（334）11，c=5533=（553）11，d=6622=（662）11， 因为553662=55×552662=55×（56）2=55×2536＞1， 所以553＞662， 所以(553)11＞(662)11， 故5533＞6622即c>d； 同理可证a>b，b>c 所以a>b>c>d， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 3．（3分）（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知a−b=5，且c−b=10，则a2+b2+c2−ab−bc−ac等于（   ） A．105 B．100 C．75 D．50 【答案】C 【分析】由已知a−b=5，c−b=10，两等式左右两边分别相减，可得到a−c=−5，将a2+b2+c2−ab−bc−ac，利用完全平方公式，变为12(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2，再将上面的式子的值代入，问题得解． 【详解】解：∵a−b=5，c−b=10， ∴a−c=−5， 即：a2+b2+c2−ab−bc−ac =12(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2 =12×52+(−10)2+−52 =75， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，将a2+b2+c2−ab−bc−ac变为12(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2是难点． 4．（3分）（2020·甘肃天水·中考真题）观察等式：2+22=23−2；2+22+23=24−2；2+22+23+24=25−2；…已知按一定规律排列的一组数：2100,2101,2102,⋯,2199,2200，若2100=S，用含S的式子表示这组数据的和是(　　　) A．2S2−S B．2S2+S C．2S2−2S D．2S2−2S−2 【答案】A 【分析】由题意得出2100+2101+2102+⋯+2199+2200=2100(1+2+⋯+299+2100)，再利用整体代入思想即可得出答案． 【详解】解：由题意得：这组数据的和为： 2100+2101+2102+⋯+2199+2200 =2100(1+2+⋯+299+2100) =2100(1+2101−2) =2100(2101−1) =2100(2100×2−1) ∵2100=S， ∴原式=S(S×2−1)=2S2−S, 故选：A． 【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：2+22+23+⋯+2n−1+2n=2n+1−2，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 5．（3分）（24-25七年级·四川眉山·期中）观察下列各式： (x−1)(x+1)=x2−1； (x−1)(x2+x+1)=x3−1； (x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1； … 根据规律计算： 22022−22021+22020−22019+……+24−23+22−2的值是（   ） A．22023−23 B．22023−1 C．−22023 【答案】A 【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为(x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x3+x2+x+1)=xn+1−1，利用规律，当x=−2，n=2022时，代入其中即可求解． 本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题． 【详解】解：由(x−1)(x+1)=x2−1； (x−1)(x2+x+1)=x3−1； (x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1； … 观察发现： (x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x3+x2+x+1)=xn+1−1， 当x=−2，n=2022时，得 (−2−1)(22022−22021+22020−22019⋯+24−23+22−2+1)=(−2)2023−1， ∴22022−22021+22020−22019⋯+24−23+22−2+1=(−2)2023−1−3=−22023−1−3=22023+13， ∴22022−22021+22020−22019⋯+24−23+22−2=22023+13−1=22023−23． 故选：A． 6．（3分）（24-25七年级·重庆沙坪坝·开学考试）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项式x进行如下操作：规定a1=b1=x，且满足以下规律： a2=2a1，a3=2a2，a4=2a3，…，an=2an−1，… b2=b1+1，b3=b2+1，b4=b3+1，…，bn=bn−1+1，… c1=2b1b3，c2=a2b2，c3=2b3b5，c4=a4b4，… 其中n为正整数，以此类推： ①a8=128x；②b1+b2+b3+b4+…+b15=15x+105：③当x=1时，cn=1n−1n+2；④当x=1时， c1+c2+c3+c4+…+c20=8863+299×411．以上说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意知，将n=8代入an=2an−1=2n−1x，可判断①的正误；由bn=bn−1+1=x+n−1，b1+b2+b3+b4+…+b15=x+x+1+x+2+…+x+14，计算求解，可判断②的正误；由当x=1时，c2=a2b2=2×2=4，与c2=12−12+2=14≠4矛盾，可判断③的正误；由c1+c2+c3+c4+…+c20=11−13+13−15+…+119−121+22+24×2+26×3…+218×9+220×10，记S=22+24×2+26×3…+218×9+220×10，则22S=24×1+26×2…+220×9+222×10，3S=222×10−22−24−26…−218−220，记T=22+24+26…+218+220，则22T=24+26…+218+220+222，3T=222−22，即T=222−223，S=222×10−22−24−26…−218−2203=222×103−222−229，代入计算求解，进而可判断④的正误． 【详解】解：∵a1=x， ∴a2=2a1=2x，a3=2a2=4x=22x，a4=2a3=8x=23x，… ∴an=2an−1=2n−1x， ∴a8=27x=128x，①正确，故符合要求； ∵b1=x， ∴b2=b1+1=x+1，b3=b2+1=x+2，b4=b3+1=x+3，… ∴bn=bn−1+1=x+n−1， ∴b1+b2+b3+b4+…+b15=x+x+1+x+2+…+x+14 =15x+1+2+3+…+14 =15x+105，②正确，故符合要求； 当x=1时，c2=a2b2=2×2=4， ∵c2=12−12+2=14≠4， ∴③错误，故不符合要求； 当x=1时，an=2n−1，bn=n， ∴c1=21×3=11−13，c2=2×2=22，c3=23×5=13−15，c4=23×4=24×2，…，c19=219×21=119−121，c20=220×10， ∴c1+c2+c3+c4+…+c20=11−13+13−15+…+119−121+22+24×2+26×3…+218×9+220×10， 记S=22+24×2+26×3…+218×9+220×10，则22S=24×1+26×2…+220×9+222×10， ∴22S−S=24×1+26×2…+220×9+222×10−22−24×2−26×3…−218×9−220×10， ∴3S=222×10−22−24−26…−218−220， 记T=22+24+26…+218+220，则22T=24+26…+218+220+222， ∴22T−T=24+26…+218+220+222−22−24−26…−218−220， ∴3T=222−22，即T=222−223， ∴S=222×10−22−24−26…−218−2203=222×103−222−229， ∴c1+c2+c3+c4+…+c20=1−121+S =2021+222×103−222−229 =2021+103×411−19×411+49 =8863+299×411， ∴④正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数运算，数字的规律探究，幂的乘方的逆运算．解题的关键在于根据题意推导规律． 7．（3分）（24-25七年级·广西南宁·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得12=1−12；取第二次得12+122=1−122；取第三次得12+122+123=1−123；……若1250=m，则1251+1252+1253+⋯+12100用含m的式子表示为（   ） A．2m+1 B．m−m2 C．1−m2 D．m2−m+1 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究，根据1250=m，得到12100=12502=m2，利用1251+1252+1253+⋯+12100=1+12+122+⋯+1250+1251+⋯+12100−1+12+122+⋯+1250进行求解即可． 【详解】解：∵1250=m， ∴12100=12502=m2， ∴1251+1252+1253+⋯+12100=1+12+122+⋯+1250+1251+⋯+12100−1+12+122+⋯+1250 =1−12100−1−1250 =m−m2； 故选B． 8．（3分）（24-25七年级·重庆·期中）已知多项式P=x2+y2，Q=2x−2y+a，T=xy+b（a，b为常数），下列说法： 其中正确的个数是（   ） ①当a≤−1时，无论x，y取何值，都有P−Q≥0； ②若a+2b=2，且2P+Q+2T=0，则x+y=0； ③若a=2b，则存在整数x，y，使得P+Q−2T=1； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方的非负性等知识点，结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可，熟练掌握配方法的步骤是解决此题的关键． 【详解】∵P−Q=x2+y2−2x−2y+a， ∴P−Q=x2−2x+1+y2+2y+1−a−2=x−12+y+12−a+2 ∵x−12≥0，y+12≥0 ∵当a≤−1时，2+a≤1， ∴−2+a≥−1， ∴x−12+y+12−a+2≥−1，即P−Q≥−1，故①错误； ∵2P+Q+2T=0， ∴2x2+y2+2x−2y+a+2xy+b=0， ∴x+y2+x+12+y−12+a+2b−2=0， ∵a+2b=2， ∴x+y2+x+12+y−12=0， ∴x+y=0，x+1=0，y−1=0，故②正确； P+Q−2T=x2+y2+2x−2y+a−2xy+b=x−y2+2x−y+a−2b， 设x−y=m， ∴P+Q−2T=m2+2m+a−2b， ∵a=2b ， ∴P+Q−2T=m2+2m=m+12−1， ∴要使P+Q−2T=m2+2m=m+12−1=1， ∴m=−1±2， ∵x，y是整数，x−y=m，而m=−1±2不是整数， ∴不存在整数x，y使得P+Q−2T=1，故③错误， 综上所述，正确的有1个， 故选：B． 9．（3分）（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1；图2中阴影部分周长为l2，面积为S2，若 l2− l122=3S2−S1，则b与c满足的关系为（    ） A．3b=5c B．b=2c C．3b=7c D．6b=7c 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含a，b，c的式子表示出l1，l2，S1，S2，代入 l2− l122=3S2−S1进行运算，即可求解；能表示出各个量，正确进行整式运算是解题的关键． 【详解】解：由图可知，长方形的长为a+b，宽为a+c， l1=a+b−c+a−c+b+c+a−b+a+c−b=4a， S1=a+ba+c−a2−b2−c2=ab+ac−b2+bc−c2， l2=2a+2c+2b+2a+c−b=4a+c， S2=ba+c−b+cb−c+ca−c=ab+ac−b2+2bc−2c2， ∴S2−S1=bc−c2，l2−l1=4c， ∵  l2− l122=3S2−S1， ∴4c2=3bc−c2， 解得b=7c3，即3b=7c， 故选：C． 10．（3分）（2022·重庆·二模）对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：−2x；D：y2；E：2x−y有以下几个结论： ①若y为正整数，则多项式B⋅C+A+D+E的值一定是正数； ②存在有理数x，y，使得A+D+2E的值为−2； ③若关于x的多项式M=3A−B+m⋅B⋅C（m为常数）不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于−3．上述结论中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据整式的乘法混合运算，及完全平方公式为非负的特点，结合特殊值代入法求解． 【详解】解：①B⋅C+A+D+E=−2x(x+1)+2x2+y2+2x−y=y2−y， 当y=1时，B⋅C+A+D+E=0．故①是错误的； ②当A+D+2E=−2， 即2x2+y2+2(2x−y)=−2， ∴2(x+1)2+(y−1)2=1， 当x=−1时，y=0或者y=2．所以②是正确的． ③∵M=3(A−B)+m⋅B⋅C =3(2x2−x−1)+m(x+1)⋅(−2x) =(6−2m)x2+(−3−2m)x−3， ∵M不含x的一次项， ∴−3−2m=0， ∴m=−1.5， ∴M=9x2−3≥−3，∴③是错误的； 综上，只有②是正确的． 故选：B． 【点睛】本题考查整式的乘法运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握整数的乘法运算法则是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：22−0×4=4； 第2个等式：32−1×5=4； 第3个等式：42−2×6=4； 第4个等式：52−3×7=4； …… （1）第5个等式是 ； （2）根据上述规律猜想第n个等式是 （用含n的等式表示）． 【答案】 62−4×8=4 n+12−n−1×n+3=4 【分析】（1）结合题意，发现数字规律即可求解； （2）由变化规律可知，第n个等式左边的被减数为n+12，减数为n−1×n+3，右边均为4，即可求解． 【详解】解：（1）依据规律可知， 第5个等式：62−4×8=4， 故答案为：62−4×8=4； （2）由变化规律可知，第n个等式左边的被减数为n+12，减数为n−1×n+3，右边均为4， 猜想第n个等式：n+12−n−1×n+3=4， n+12−n−1×n+3 =n2+2n+1−n2+3n−n−3 =4， 故猜想成立， 故答案为：n+12−n−1×n+3=4． 【点睛】本题考查了数字规律的探索，完全平方公式和多项式的乘法；解题的关键是通过示例归纳出数字变化规律． 12．（3分）（24-25七年级下·四川巴中·期中）已知2x+2⋅3x+2=36x−3，则x= ． 【答案】8． 【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可． 【详解】解：2x+2⋅3x+2=36x−3， 根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为：(2×3)x+2=(62)x−3， 即6x+2=62x−6， x+2=2x−6， 解得，x=8 故答案为：8． 【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程． 13．（3分）（24-25七年级下·安徽滁州·期中）已知x=28+211． （1）若x=m2，则自然数m= ； （2）若x+2n是一个完全平方数，则自然数n= ． 【答案】 48 12 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用； （1）根据题意得出281+23=m2，进而即可求解； （2）根据完全平方公式得出x+2n=242+2⋅24⋅26+2n，进而得出2n=262，即可求解． 【详解】（1）因为x=m2，所以28+211=m2， 所以281+23=m2，所以162×32=m2， 所以482=m2， 所以自然数m=48； 故答案为：48． （2）x+2n=242+2⋅24⋅26+2n， ∴只有2n=262时，原式为完全平方数，即自然数n=12. 故答案为：12． 14．（3分）（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不重复的数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且A+B+C=411．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、x+y，则x+y= ；xy= ． 【答案】 9 18 【分析】根据x、y、x+y的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和是63，但是1~9这9个数字之和是45，所以可得x+y+x+y=18，从而求出x+y的值；因为12+22+32+42+52++62+72+82+92=285，A+B+C=411，可以得到x2+y2+x+y2=126，配方得x+y2−2xy+x+y2=126，把x+y=9代入即可求出xy的值． 【详解】解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于21， ∴三个圆上的数字之和应为3×21=63， 其中的x、y、x+y这三个数每个都加了两次， ∵1+2+3+4+5+6+7+8+9=45， ∴45+x+y+x+y=63， 则有2x+y=63−45， 解得：x+y=9； ∵每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且A+B+C=411， ∴12+22+32+42+52+62+72+82+92+x2+y2+x+y2=411， ∵12+22+32+42+52+62+72+82+92=285， ∴x2+y2+x+y2=411−285， ∴x2+y2+x+y2=126， 整理得：x2+y2+2xy−2xy+x+y2=126， ∴x+y2−2xy+x+y2=126， ∵x+y=9； ∴92−2xy+92=126， ∴81−2xy+81=126， ∴2xy=36， 解得：xy=18． 故答案为：9；18． 【点睛】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算．解决本题的关键是理解x、y、x+y这三个数每个都加了两次，并且能把x2+y2凑成完全平方式． 15．（3分）（24-25七年级下·浙江金华·期末）将多项式ax2+bx+ca≠0变形为ax+m2+n的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：x2−4x−5=x2−4x+22−22−5=x−22−9， ∵ x−22≥0，∴ x−22−9≥−9，∴当x=2时，多项式x2−4x−5有最小值−9． 已知a，b为实数，多项式x+33x+a展开后x的一次项系数为m，多项式3x+2x+b展开后x的一次项系数为n，且m，n均为正整数，则当m+n=17时，ab的最大值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出m=a+9，n=3b+2，进而根据m+n=17，可得a=6−3b，然后得出，根据配方法，即可求解． 【详解】解：∵x+33x+a=3x2+a+9x+3a ∴m=a+9， ∵3x+2x+b=3x2+3b+2x+2b ∴n=3b+2 ∵m+n=17 ∴a+9+3b+2=17 ∴a=6−3b ∴ab=6−3bb=−3b2+6b =−3b2−2b+1+3 =−3b−12+3 ∵−3b−12≤0 ∴−3b−12+3≤3 ∴当b=1时，ab的最大值为3， 故答案为：3． 16．（3分）（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d且2a3b4c5d=10000，则4a+3b+2c+d的值为 ． 【答案】2 【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由10000=24×54=42×54=20×42×54=2−2×43×54=24×40×54和a＜b＜c＜d即可得到a，b，c，d的值，故可求解． 【详解】∵10000=24×54=42×54=20×42×54=2−2×43×54=24×40×54，3不是10000的公约数， ∴3b=1 则b=0 ∴2a×4c×5d=10000 ∵整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d ∴10000=2−2×43×54符合题意 ∴a=-2，b=0，c=3，d=4 ∴4a+3b+2c+d=-8+0+6+4=2 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）①已知a=12,mn=2, 求a2⋅(am)n的值， ②若x2n=2,求(−3x3n)2−4(−x2)2n的值． 【答案】①116;②56 . 【分析】①根据幂的乘方、同底数幂的运算法则计算，再代入计算； ②根据幂的乘方及逆运算，把原式化简为含x2n的形式，再代入计算． 【详解】解：①a2•（am）n=a2•amn=a2•a2=a4， 当a=12 时，原式=（12）4=116； ②（-3x3n）2-4（-x2）2n=9x6n-4x4n=9（x2n）3-4（x2n）2， 当x2n=2时，原式=9×23-4×22=72-16=56． 【点睛】此题主要考查幂的乘方、同底数幂的运算，要熟练且灵活掌握． 18．（6分）（24-25七年级·广西南宁·期中）阅读：在计算x−1xn+xn−1+xn−2+…+x+1的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： (1)【观察】① x−1x+1=_____； ② x−1x2+x+1=_____； ③ x−1x3+x2+x+1=_____；…… (2)【猜想】由此可得：x−1xn+xn−1+xn−2+…+x+1=__________； (3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值． 【答案】(1)x2−1；x3−1；x4−1 (2)xn+1−1 (3)52025−14 【分析】此题主要考查了平方差公式、多项式乘以多项式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键 （1）利用平方差公式和多项式乘以多项式计算即可； （2）利用（1）中变化规律进而得出答案； （3）设x=5,n=2024，则5−152024+52023+52022+⋯+5+1=52025−1，即可求解． 【详解】（1）解：x−1x+1=x2−1； x−1x2+x+1=xx2+x+1−x2+x+1=x3+x2+x−x2−x−1=x3−1； x−1x3+x2+x+1=xx3+x2+x+1−x3+x2+x+1=x4+x3+x2+x−x3−x2−x−1=x4−1， 故答案为：x2−1；x3−1；x4−1； （2）解：（1）总结得到，x−1xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1=xn+1−1， 故答案为：xn+1−1； （3）解： 设x=5,n=2024， 根据x−1xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1=xn+1−1 则5−152024+52023+52022+⋯+5+1=52025−1， ∴52024+52023+52022+52021+…+5+1=52025−14． 19．（8分）阅读下面的文字,回答后面的问题： 求5+52+53+…+5100的值. 解：令S=5+52+53+…+5100①， 将等式两边同时乘以5得到:5S=52+53+54+…+5101②， ②-①得:4S=5101−5 ∴S=5101−54即5+52+53+…+5100=5101−54. 问题:(1)求2+22+23+…+2100的值； (2)求4+12+36+…+4×340的值. 【答案】（1）2101−2.（2）2×341−1. 【分析】（1）根据已知材料的方法解答即可（2）先把式子化简成与题干中的式子一致的形式再解答. 【详解】解：（1）令S=2+22+23+…+2100①， 将等式两边同时乘以2得到:2S=22+23+24+…+2101②， ②-①得:S=2101−2 ∴即2+22+23+…+2100=2101−2. （2）4+12+36+…+4×340=41+3+32+33+…+340 令S=41+3+32+33+…+340①， 将等式两边同时乘以3得到:3S=43+32+33+…+341②， ②-①得:2S=4341−1 S=2×341−1. 【点睛】此题重点考查学生对同底数幂的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法是解题关键. 20．（8分）（24-25七年级·河南许昌·期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C A>B>C将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1；图2中阴影部分周长为l2，面积为S2． (1)若a=5，b=3，c=2图1中阴影部分周长l1=_____，图2中阴影部分周长l2=_____； (2)求图2中阴影部分面积S2与图1中阴影部分面积S1的差（用含a，b，c的代数式表示）． (3)若l2−l122=3S2−S1，那么b与c满足下列_____关系． A．3b=5c    B．b=2c    C．3b=7c    D．6b=7c 【答案】(1)20；28 (2)S2−S1=bc−c2 (3)C 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用．正确用含a、b、c的代数式表示出l1、S1、l2、S2是解题的关键． （1）先分别用含a、b、c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将a=5，b=3，c=2代入计算，即可求解； （2）先分别用含a、b、c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积S2与图1中阴影部分面积S1的差，即可； （3）先分别用含a、b、c的代数式表示出l1、S1、l2、S2，再代入l2−l122=3S2−S1进行运算，即可求解． 【详解】（1）解：根据图形可知，长方形的边长为a+b，宽为a+c， 则l1=a+b−c+a−c+b+c+a−b+a+c−b=4a， l2=2a+2c+2b+2a+c−b=4a+c， 将a=5，b=3，c=2代入，得出l1=4×5=20，l2=4×5+2=28， 故答案为：20；28． （2）解：根据图形可知，长方形的边长为a+b，宽为a+c， 则S1=a+ba+c−a2−b2−c2=ab+ac−b2+bc−c2， S2=ba+c−b+cb−c+ca−c=ab+ac−b2+2bc−2c2， 故S2−S1=bc−c2． （3）解：由（1）和（2）得出l1=4a，l2=4a+c，S2−S1=bc−c2， 故l2−l1=4c， 将S2−S1=bc−c2，l2−l1=4c代入l2−l122=3S2−S1，得4c22=3bc−c2， 整理得：4c2=3bc−3c2， 即3b=7c， 故答案为：C． 21．（10分）（24-25七年级·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式(3x+2)(x−3)，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式B=(x−2)(x+m)=x2+(a−1)x−3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究(x−4)(x−2)，x(x−6)及x−52x−72等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x=3对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式M=(2x−b)(cx−7c)=ax2−(8a−4c)x+5b−4是“3-系多项式”，则a=________，b=________，c=________． 【答案】(1)−23或3 (2)−3 (3)2，−2，1 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用； (1）根据题意，令3x+2x−3=0，解方程得出x的值，即可得出答案； (2）根据题意，把x=2代入多项式B，得B=4+2a−1−3a=0，然后解关于a的方程即可得出a的值，再把a的值代入B，进而得出答案； (3）根据题意，由“3-系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令3x+2x−3=0， ∴3x+2=0或x−3=0， 解得：x=−23或x=3， 故答案为：−23或3； （2）根据题意，把x=2代入B，得B=4+2a−1−3a=0， 解得：a=2， 把a=2代入B，得B=x2+x−6=x−2x+3， 令x+3=0， 解得：x=−3， ∴多项式B的另一个零点是−3； （3）∵M=2x−bcx−7c， ∴M的两个零点分别是b2或7， 根据“3−系多项式”的定义，有b2+7=6， ∴b=−2 把b=−2代入M， 得M=2x−bcx−7c =2x+2cx−7c =2cx2−12cx−14c ∵ M=ax2−8a−4cx+5b−4， ∴ a=2c,5b−4=−14c， ∴ c=1,a=2 故答案为：2，−2，1． 22．（10分）（24-25七年级·湖北荆州·期末）如果xn=y，那么我们规定(x,y]=n．例如：因为42=16，所以(4,16]=2． (1)−2,16=______ ；若(2,y]=6，则y=______ ； (2)已知(4,12]=a，(4,5]=b，(4,y]=c，若a+b=c，求y的值； (3)若(5,10]=a，(2,10]=b，令t=2aba+b． ①求25a16b的值； ②求t的值． 【答案】(1)4，64 (2)y=60 (3)①25a16b=1100；②t=2 【分析】（1）由(−2)4=1，可直接得出(−2,16]=4；由26=64，可得出y=64； （2）由题意可得出4a=12，4b=5，4c=y．根据a+b=c，得出4a+b=4c，即4a⋅4b=4c，进而即可求出y=12×5=60； （3）①由题意可得出5a=10，2b=10，再根据25a=52a=5a2=100，16b=24b=2b4=10000，即可求出25a16b=1100；②根据(5a)b=10b，即得出5ab=10b，结合题意可得出(5,10b]=ab．由①知5a=2b=10，即得出5a+b=5a⋅5b=2b×5b=10b，进而得出(5,10b]=a+b，即说明ab=a+b，代入t=2aba+b中求值即可． 【详解】（1）解：∵(−2)4=16， ∴(−2,16]=4； ∵(2,y]=6，且26=64， ∴y=64． 故答案为：4，64； （2）解：∵(4,12]=a，(4,5]=b，(4,y]=c，若a+b=c， ∴4a=12，4b=5，4c=y． ∵a+b=c， ∴4a+b=4c，即4a⋅4b=4c， ∴y=12×5=60； （3）解：①∵(5,10]=a，(2,10]=b， ∴5a=10，2b=10， ∴25a=52a=5a2=102=100，16b=24b=2b4=104=10000， ∴25a16b=10010000=1100； ②∵ (5a)b=10b， ∴5ab=10b， ∴(5,10b]=ab． 由①知：5a=2b=10， ∴5a+b=5a⋅5b=2b×5b=10b， ∴(5,10b]=a+b， ∴ab=a+b， ∴t=2aba+b=2． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 23．（12分）（24-25七年级·河南安阳·期末）拓广探索： 若x满足9−xx−4=4，求9−x2+x−42的值． 解：设9−x=a，x−4=b， 则9−xx−4=ab=4，a+b=9−x+x−4=5， ∴9−x2+x−42=a2+b2=a+b2−2ab=52−2×4=17． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足5−xx−2=2，求5−x2+x−22的值． (2)已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)28 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设5−x=a，x−2=b，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，MF=x−1，FD=x−3，设x−1=a，x−3=b，长方形EMFD的面积ab=x−1x−3=48，a−b=x−1−x−3=2，即可得出a+b=14，则S阴=x−12−x−32 =a2−b2即可得出答案． 【详解】（1）解：设5−x=a，x−2=b， 则5−xx−2=ab=2，a+b=5−x+x−2=3， ∴5−x2+x−22=a2+b2=a+b2−2ab=32−2×2=5； （2）∵正方形ABCD的边长为x， AE=1，CF=3， ∴MF=DE=x−1，FD=x−3， 设x−1=a，x−3=b， 则ab=x−1x−3=48，a−b=x−1−x−3=2， ∴a+b2=a−b2+4ab=22+4×48=196， ∴a+b=14， ∴S阴=x−12−x−32 =a2−b2=a+ba−b =14×2=28， ∴阴影部分的面积为28． 24．（12分）（24-25七年级·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a，b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用1块A木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含a，b的式子表示），并求所用C木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的A，B，C三种木片拼出了一个面积为2a2+6ab+3b2的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：a+ba−b=a2−b2；情境二：所拼正方形的边长为a+2b，所用C木片的数量为4；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为2a+3b，宽为a+b，图形见解析 【分析】情境一：设等腰梯形的高为ℎ，可求ℎ=a−b2，分别表示出图1和图2的面积，即可求解； 情境二：可得正方形面积为a2+4b2+mab，由拼成了一个正方形可得a2+4b2+mab是一个完全平方式，即可得m=4，据此即可求解； 情境三：能构成长方形，则2a2+6ab+3b2能进行分解，故去掉1个ab后即可进行因式分解，从而可求解； 本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：情境一： 如图，设等腰梯形的高为ℎ， ∴2ℎ+b=a， ∴ℎ=a−b2， ∴图1的面积为S1=4×12a+b×a−b2=a+ba−b， 图2的面积为S1=a2−b2， ∵S1=S2， ∴a+ba−b=a2−b2， ∴可以得到的乘法公式为：a+ba−b=a2−b2； 情境二： 拼成的正方形面积为a2+4b2+mab， ∵拼成的是一个正方形， ∴a2+4b2+mab是一个完全平方式， ∴m=4， ∴a2+4b2+mab=a2+4b2+4ab=a+2b2， ∴所拼正方形的边长为a+2b，所用C木片的数量为4； 情境三： 赞同丁同学的说法． 理由：∵2a2+6ab+3b2不能进行因式分解，即转化不了长乘以宽， ∴A，B，C三种木片不能拼出一个面积为2a2+6ab+3b2的长方形， 去掉一块C以后，面积为2a2+5ab+3b2=a+b2a+3b， ∴该情况下所拼长方形的长为2a+3b，宽为a+b， 长方形如图所示：