2025_2026学年高一数学上学期第一次月考必修第一册第1~2章含解析湘教版

这是一份2025_2026学年高一数学上学期第一次月考必修第一册第1~2章含解析湘教版，共21页。试卷主要包含了测试范围，综合难度系数，若 ，则实数 的取值范围为，下列关系式正确的是，下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．测试范围：湘教版必修第一册 第 1 章 集合与逻辑 和 第 2 章 一元二次函数、方程和不等式.
5．综合难度系数：0.65.
第 Ⅰ 卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．设全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判断阴影部分表示 ，然后求解 ，再根据并集的概念求解即可.
【详解】由图可知阴影部分表示的集合为 ，
因为 ，
所以 或 ，
所以 ，
所以图中阴影部分表示的集合为 .
故选： .
2．命题“ ， ”的否定是（ ）
/
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】根据存在量词的命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】解：因为命题“ ， ”为存在量词命题，
所以其否定为： ， .
故选：B
3．若关于 的不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】C
【分析】分类讨论 的值，由一元二次不等式的解法得出实数 的取值范围.
【详解】当 时，不等式 对一切实数 都成立.
当 时，要使得不等式 对一切实数 都成立，则 ，解得 .
综上， .
故选：C
4．命题α:" 或 ."是命题β:" ."的（ ） 条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】B
【分析】根据题意，得出等价命题为“若 ，则 且 ”，结合充分条件、必要条件的判定方
法，即可求解.
【详解】由命题“若 或 ，则 ”的等价命题为“若 ，则 且 ”，
当 时， 且 不一定成立，所以充分性不成立；
反正：当 且 时，则 一定成立，即必要性成立，
即 是 且 成立的必要不充分条件，
所以命题“ 或 ”，是命题“ ”成立的必要不充分条件.
故选：B.
5．当 ， ，且满足 时，有 恒成立，则 k 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
/
【答案】C
【分析】由基本不等式求得 的最小值，然后解相应不等式可得．
【详解】由已知 ，当且仅当
时等号成立，即 的最小值是 3，
∴ ，解得 ，
故选：C．
6．若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分 ， 和 三种情况分类讨论，其中当 时，利用判别式列不等式求解即可，
最后求并集.
【详解】当 时，不等式为 ，即 ，显然 在 有解，符合题意；
，命题“ ”为真命题，
当 时，对于抛物线 ，开口向下，
显然 在 有解，符合题意；
当 时，对于抛物线 ，开口向上，
只需 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 ，
综上，实数 的取值范围是 或 ，即 .
故选：D
7．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将 10g 的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在
天平的右盘，使天平平衡；第二次将 10g 的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天
平平衡，则两次称得重物的总重量（ ）
A．等于 20g B．小于 20g C．大于 20g D．与左右臂的长度有关
【答案】C
【分析】设天平左臂长为 a，右臂长为 b，第一次称得的重物为 xg，第二次称得的重物为 yg，由题意得
， ，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为天平两臂不等长，所以设天平左臂长为 a，右臂长为 b，则 ．
/
设第一次称得的重物为 xg，第二次称得的重物为 yg，则 ， ，
故 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
但 ，等号不成立，所以 ，故两次称得重物的总重量大于 20g．
故选：C.
8．设集合 ，在 上定义运算“·”为： ，其中 ，
.那么满足条件 的有序数对 共有（ ）
A．12 个 B．8 个 C．6 个 D．4 个
【答案】A
【分析】结合集合新定义得 ，去绝对值结合 的取值范围分类讨论即可求解.
【详解】由已知得 ，
故 ，化简得 .
当 时， ， ， ， ；
当 时， ， ， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， .
综上，满足条件的有序数对 共有 12 对.
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用元素与集合的关系以及集合与集合的关系判断即可．
【详解】对于 A，空集中不含有任何元素，故 A 正确；
对于 B，空集是非空集合的子集，可知 ，故 B 正确；
对于 C，应该用 “ ”符号，即 ，故 C 错误；
对于 D， 是集合 中的元素，即 ，故 D 正确.
/
故选：ABD.
10．下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
【答案】CD
【分析】结合不等式的性质对选项一一分析判断即可得．
【详解】对于 A， ，因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，即知 A 不正确.
对于 B，由 时知 B 不正确.
对于 C，因为 ，可得 ，即 ，
所以 ，即 ，即知 C 正确.
对于 D，因为 ， ，所以 ，故 D 正确．
故选：CD
11．若实数 a， b 满足 则下列说法正确的为（ ）
A．当 时， 最大值为 B．当 时， 最小值为
C．当 时， 有最大值 D．当 时， 最小值
【答案】ABD
【分析】对于 A，B，D 利用重要不等式判断即可；对于 C，运用“万能 k 法”判断方程是否有解即可.
【详解】对于 A，当 时， ，解得 ，
当且仅当 时等号成立， 有最大值，最大值为 18，选项 A 正确；
对于 B，当 时， ，则 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时 时 有最小值，最小值为 ，选项 B 正确；
对于 C，当 时， ，
/
设 ，则 化为 ，
即 ，
因为关于 的方程 有解，
所以 ，解得 ，
所以 没有最大值，选项 C 错误；
对于 D，当 时， ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
有最小值，最小值为 ，选项 D 正确．
故选：ABD．
第 Ⅱ 卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知不等式 的解集为 ，若 ，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，结合一元二次不等式的解集求出 ，即可计算作答.
【详解】因不等式 的解集为 ，则 是方程 的两根，
即有 ，于是得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
13．已知 ， ，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
.
【答案】
【分析】因为 是 的充分不必要条件，所以 对应的集合是 对应的集合的真子集，根据集合的关系列不等
式即可.
【详解】解不等式 得
记
/
因为 是 的充分不必要条件，所以 A 是 B 的真子集，
所以 ，解得 .
所以 的取值范围为 .
14．已知关于 的不等式 的解集中恰有 5 个整数解，则实数 的范围
是 .
【答案】 或 .
【分析】利用分解因式解不等式 ，然后分类讨论 与 大小，结合解
集中恰有 5 个整数解，可得答案.
【详解】因为 ，
所以 .
①当 ，即 时，不等式解集为 ，因解集中恰有 5 个整数，得
，解得 ；
②当 ，即 时，不等式解集为 ，因解集中恰有 5 个整数，得
，解得 ；
③ ，即 时，不等式解集为空集，不合题意.
综上：当不等式 的解集中恰有 5 个整数解时， 的范围是
或 .
故答案为： 或 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题 13 分）
设集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【详解】（1）若 ，则 ，
所以 ， ………………………(2 分)
/
， ………………………(4 分)
故 或 . ………………………
(6 分)
（2）因为 ，所以 . ………………………(8 分)
①当 时， ，解得 ，满足题意； ………………………(10 分)
②当 时， ，解得 .
综上，实数 的取值范围是 . ………………………(13
分)
16．（本小题 15 分）
（1）已知 ，求 的最大值
（2）已知 ，求 的最大值
【详解】（1）因为 ，所以 ， ………………………(2 分)
当且仅当 ， ，即 时等号成立. ………………………(3 分)
所以 ， ………………………(6
分)
所以，函数 的最大值为 . ………………………(7 分)
（2）因为 ，所以 ， ………………………(8 分)
所以
， ………………………(12 分)
当且仅当 ，即 时，等号成立. ………………………(14 分)
所以， 的最大值为 . ………………………(15 分)
17．（本小题 15 分）
某厂家拟 2025 年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量） 万件与
年促销费用 万元 满足 ( 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是
/
2 万件.已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的
销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（此处每件产品年平均成本按 元来计算）.
（1）求 的值；
（2）将 2025 年该产品的利润 万元表示为年促销费用 万元的函数；
（3）该厂家 2025 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【详解】（1）由题意知，当 时， （万件），则 ，解得 ； ………………(3 分)
（2）由（1）可得 .所以每件产品的销售价格为 （元），
2025 年的利润 . ………………(7
分)
（3） 当 时， ， ………………(8 分)
，当且仅当 时等号成立. ………………(11 分)
， ………………(13 分)
当且仅当 ，即 万元时， （万元）. ………………(14 分)
故该厂家 2025 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 29 万元. ………………(15 分)
18．（本小题 17 分）
设函数 .
（1）若 ，求 的解集；
（2）若不等式 对一切实数 恒成立，求 a 的取值范围；
（3）解关于 的不等式： .
【详解】（1）由函数 ，
若 ，可得 ， ………………(1
分)
又由 ，即不等式 ，即 ，
因为 ，且函数对应的抛物线开口向上， ………………(2 分)
所以不等式 的解集为 ，即 的解集为 . ………………(3 分)
（2）由 对一切实数 恒成立，
即 对 恒成立，
/
， ， ………………(5 分)
，
， ………………(8
分)
当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 的取值范围是 . ………………(9分)
（3）依题意， 等价于 ，
当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 . ………………(10 分)
当 时，不等式可化为 ，此时 ，
所以不等式的解集为 . ………………(11 分)
当 时，不等式化为 ，
①当 时， ，不等式的解集为 ； ………………(12 分)
②当 时， ，不等式的解集为 或 ； ………………(13
分)
③当 时， ，不等式的解集为 或 ； ………………(15 分)
综上，当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 . ………………(17 分)
19．（本小题 17 分）
对于给定的非空数集 ，定义集合
，
，当 时，称 A 具有孪生性质.
（1）若集合 ，求集合 ， ；
/
（2）若集合 ， ，且 ，求证： ；
（3）若集合 ，且集合 C 具有孪生性质，记 为集合 C 中元
素的个数，求 的最大值.
【详解】（1）因为集合 ，
所以由 1+1=2，1+6=7，6+6=12，可得 ， ………………(2 分)
， ， ，可得 . ………………(4 分)
（2）由于集合 ， ，
则 集合的元素在 0， ， ， 中产生，
且 ， ， ………………(4 分)
而 ，故 B 中最大元素 属于 ，而 为 4 个元素中的最大者，
故 ，即 ， ………………(7 分)
故 ，故 中的 4 个元素为 0， ， ，且 与 0，或 或 重复，
而 ，故 即 ， ………………(9 分)
（3） 因为集合 ，所以集合 ，
设 满足题意，设 ，
则 ，
………………(10 分)
∴ ，又 ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ， ………………(12 分)
中最小的元素为 0，最大的元素为 ， ，
∴ ，即 ，
∴ . ………………(14 分)
实际上当 时满足题意，
证明如下：设 ， ，
则 ， ，
依题意有 ，即 ，故 m 的最小值为 675，
/
于是当 时，C 中元素最多， ………………(16 分)
即 时满足题意，
综上所述，集合 C 中元素的个数的最大值是 1350. ………………(17 分)
/