2025_2026学年高一数学上学期第一次月考02新人教A版必修第一册第一章~第二章含解析

这是一份2025_2026学年高一数学上学期第一次月考02新人教A版必修第一册第一章~第二章含解析，共9页。试卷主要包含了测试范围，下列叙述正确的是，已知实数满足，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第二章。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】命题p：，，则命题p的否定为，,故选：D.
2．与集合相等的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】12的所以正因数有，所以.故选：B.
3．已知，则与大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以.故选：C.
4．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由可得：，当时，，所以，则的取值范围为，
满足其一个充分不必要条件的集合为，则为的真子集,故其一个充分不必要条件是：.故选:A.
5．已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为（ ）
A．1B．3C．4D．不确定
【答案】B
【详解】由，则集合有2个元素，所以的非空子集个数为个.
6．下列叙述正确的是（ ）
A．，
B．命题“，”的否定是“，且”
C．命题“，”的否定是真命题
D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件
【答案】C
【详解】对于A：因为，故A错误；对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B错误；对C：命题“，”的否定为：“，”，显然，则命题“，”为真命题，故C正确；对于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”，故“且”是“”的充分条件，故D错误；故选：C.
7．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于，因为，故A错误；对于B，因为，
是偶数，所以，故B错误；对于C，，，故错误；对于D，，，则，故D正确.
8．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】C
【详解】由题意可知：，是方程的两根，且，则，可得，，
则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：C.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知实数满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】因为，所以，因为，所以，故A错误；因为，所以，因为，所以，故B错误；因为，，所以，故C正确；因为，所以，所以，又，所以，故D正确.故选：CD.
10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．关于的不等式的解集为
D．若，则的最大值为1
【答案】ACD
【详解】因为关于的不等式的解集为，所以整理得
则．，解得．
，即，解得，则．故选：ACD．
11．已知集合恰有两个子集，则的值可能为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】AC
【详解】由，可得由题可知中只有一个元素.
当时，解得，此时，符合题意；
当时，即，则或是方程的解.
当是方程的解时，解得，此时，符合题意；
当是方程的解时，无解.故或4.故选：AC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是 ．
【答案】
【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得，
又是的充分不必要条件．
13．已知集合，，若，则实数的值为 ．
【答案】或.
【详解】因为的解集为，所以，又，所以，，所以，，所以，，解得或.
14．若位于第一象限的点的坐标是方程的一组解，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由，故，故，
则，故的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合，，．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集.已知，，则，解得.
故实数的取值范围为.
（2）当时，因为，所以，解得，此时成立；
当时，，解得.因为，，则或，
解得或，故此时.综上，若，则实数的取值范围为.
16．（15分）已知函数，，
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，求不等式的解集；
【答案】(1)；(2)答案见解析；
【详解】（1）不等式，
当时，恒成立，则；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）当时，，
当时，或；
当时，；
当时，或，
所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17．（15分）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)75人；(2)存在，7
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，解得，又，
所以调整后的技术人员的人数最多75人;
（2）假设存在实数满足条件.由技术人员年人均投入不减少得, 解得.
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有,
两边同除以得,整理得,故有,
因为, 当且仅当时等号成立, 所以,
又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以,
，即存在这样的m满足条件，其值为7.
18．（17分）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证:若，，则；
(3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题：若，，则必有；
命题：若，，且，则必有.
【答案】(1)集合不是“好集”， 有理数集是“好集”，理由见解析；(2)证明见解析；
(3)命题、均为真命题，理由见解析
【详解】（1）（1）集合不是“好集”. 理由：假设集合是“好集”.因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”.
有理数集是“好集”. 理由： 因为，，对任意的，，有，且时，，
所以有理数集是“好集”.
（2）证明:因为集合是“好集”，所以，若，，则，即.所以，即.
（3）命题、均为真命题，理由如下：
对任意一个“好集”，任取，，若，中有0或1时，显然.若，均不为0，1，
由定义可知，，，所以，即，所以.由（2）可得，即.同理可得. 若或，则.若且，则.
所以，所以.由（2）可得，所以.
综上可知，，即命题为真命题，若，且，则，所以，即命题q为真命题.
19．（17分）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____．
其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，
因此的最小值为3.
根据上述材料解决以下问题．
(1)已知为正实数，且，求证：；
(2)已知，且，则的最小值是多少?
(3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法：令，则化为．
原式
当且仅当，即，即，时，等号成立．
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少?
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【详解】（1），
当且仅当，即时，等号成立，得证．
（2），
当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是
（3），
令，原式，令，
原式，
当且仅当，即，时，等号成立．所以的最大值为