2025_2026学年高二数学上学期第一次月考选择性必修第一册第一~二章含解析沪教版

这是一份2025_2026学年高二数学上学期第一次月考选择性必修第一册第一~二章含解析沪教版，共14页。试卷主要包含了测试范围，难度系数，过点P作圆O，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知点A(2，0)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角为
【答案】π3（或60°）
【解析】由题意得直线AB的斜率k＝3)－03－2＝3，
设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝3；因为0°≤α4，所以点M在圆C外．【9分】
当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
由圆心C到切线的距离d′＝|k－2＋1－3k|\r(k2＋1)＝r＝2，解得k＝34;
所以切线方程为y－1＝34(x－3)，【12分】
即3x－4y－5＝0.
综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
因为|MC|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，所以过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1；
【14分】
19．（1）已知椭圆C的一个焦点为(1，0)，且过点(0，3)，求：椭圆C的标准方程；
（2）已知椭圆经过P(－23，1)，Q(3，－2)两点，求：此椭圆的标准方程；
（3）已知椭圆与椭圆x24＋y23＝1有相同的离心率，且经过点(2，－3)，求：此椭圆的标准方
程；
【答案】（1）x24＋y23＝1；（2）x215＋y25＝1；（3）x28＋y26＝1或y2253＋x2254＝1；
【解析】（1）根据题意，椭圆的焦点在x轴上，
故设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，
显然c＝1，b＝3，则a2＝b2＋c2＝4，
故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1; 【4分】
（2）设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则有12m＋n＝1，3m＋4n＝1，)解得m＝\f(11515)，
则所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1; 【8分】
（3）椭圆x24＋y23＝1的离心率是e＝12，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，
所以\f(c12a2＝b2＋c2，43b2)＝1，解得a2＝8，b2＝6，)
所以所求椭圆方程为x28＋y26＝1.
7 / 9
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，
所以\f(c12a2＝b2＋c2，34b2)＝1，所以a2＝\f(253254)，
所以椭圆的标准方程为y2253＋x2254＝1.
所求椭圆标准方程为x28＋y26＝1或y2253＋x2254＝1；【14分】
20．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）；
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，
求：S的最小值，并求此时直线l的方程；
【解析】（1）[证明] 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令x＋2＝0，1－y＝0，)解得x＝－2，y＝1.)
所以无论k取何值，直线总经过定点(－2，1) 【4分】
（2）[解] 由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，
要使直线不经过第四象限，则必须有－\f(1＋2kk1＋2k≥1，解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞)；【10分】
（3）[解] 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2kk)，0)，B(0，1＋2k).
依题意得－\f(1＋2kk1＋2k＞0，解得k>0.
因为S＝12·|OA|·|OB|＝12·\f(1＋2kk))·|1＋2k|
＝12·(1＋2k)2k＝12\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1k)＋4)≥12×(2×2＋4)＝4，
等号成立的条件是k>0，且4k＝1k，即k＝12，
所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0；【18分】
【说明】1、求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程；
2、求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式(或二次
函数)求解最值；
3、求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本
不等式求解；
21．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为 ， ，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的
绝对值等于4.
（1）双曲线C的标准方程；
（2）过点 作直线 交双曲线的右支于A，B两点，且M为 的中点，求直线 的方程；
8 / 9
（3）已知定点 ，点D是双曲线右支上的动点，求 的最小值；
【提示】（1）利用双曲线的定义求出双曲线C的标准方程.
（2）设出直线 的方程，与双曲线方程联立，结合中点坐标公式求出直线方程.
（3）利用双曲线定义，结合线段和差大小关系求出最小值；
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
【解析】（1）依题意，双曲线焦点在 轴上，半焦距 ，
实半轴长 ，则虚半轴长 ，
所以双曲线C的标准方程为 ；【4分】
（2）显然直线 不垂直于 轴，否则弦 中点纵坐标为0，
设直线 的方程为 ，即 ，设 ，
由 消去 得： ，
依题意， ，由M为 的中点，得 ，解得 ，
此时方程为 ， ，符合题意，
所以直线 的方程为 ；【10分】
（3）由 ，得点 在双曲线夹含虚轴的区域内，
又点 在双曲线右支上，即 ，
因此 ，
当且仅当 是线段 与双曲线右支的交点时取等号，
所以 的最小值为 ；【18分】
9 / 9