（复习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义08 直线与椭圆、双曲线、抛物线+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
知识点二：直线与双曲线的位置关系
代数法：设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
知识点三：直线与抛物线的位置关系
设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
知识点四：直线与圆锥曲线的相交的弦长公式：
若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长
弦长
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
高频考点一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
【例题1-1】题已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】C
【详解】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.故选：C
【例题1-2】过点P（4，4）且与双曲线只有一个交点的直线有（ ）．
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【详解】解；双曲线方程为：，当k不存在时，直线为x＝4，与1的图象有且只有一个公共点，当k存在时，直线为：y＝k（x﹣4）+4，代入双曲线的方程可得：
，
（1）若＝0，k时，y＝（x﹣4）+4与双曲线的渐近线yx平行，
所以与双曲线只有1个公共点，
（2）k时， ，
即k，此时直线y（x﹣4）+4与双曲线相切，只有1个公共点．综上过点P（4，4）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．故选：D.
【变式1-1】直线与曲线的公共点的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】当时，曲线，即，双曲线右半部分；一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行；当时，曲线，即，椭圆的左半部分；画出曲线和直线的图像，如图所示：

根据图像知有个公共点.故选：B
【变式1-2】已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．无数条
【答案】A
【详解】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.
①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；
②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点.
若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.
综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.故选：A.
高频考点二：根据直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系求参数
【例题2-1】已知实数，满足：，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．5
【答案】B
【详解】令，则直线与有交点情况下，直线在x轴上截距最大，假设直线与椭圆相切，则，即，所以，可得，即，要使在x轴上截距最大，即.故选：B.
【例题2-2】已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】直线方程与双曲线方程联立：得：,当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去；当时，