（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义05 直线的倾斜角与斜率+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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知识点一：直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角．
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
知识点诠释：
1．要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；
②轴正向；
③小于的角．
2．从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
3．倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合．
4．直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．
5．已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置．
知识点二：直线的斜率
1．定义：
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
知识点诠释：
（1）当直线与x轴平行或重合时，，；
（2）直线与x轴垂直时，，k不存在．
由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．
2．直线的倾斜角与斜率之间的关系
由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
知识点三：斜率公式
已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．
知识点诠释：
1．对于上面的斜率公式要注意下面五点：
（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；
（2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
（3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
（4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；
（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
2．斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
（1）由、点的坐标求的值；
（2）已知及中的三个量可求第四个量；
（3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求；
（4）证明三点共线．
知识点四：两直线平行的条件
设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即．
因此，若，则．
反之，若，则．
知识点诠释：
1．公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；
2．当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则．
知识点五：两直线垂直的条件
设两条直线的斜率分别为．若，则．
知识点诠释：
1．公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2．当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．
【题型归纳目录】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
题型五：直线平行
题型六：直线垂直
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
【典型例题】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
【例题1-1】（多选）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
【变式1-1】下列命题中正确的是（ ）．
A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．平行于x轴的直线的倾斜角为
D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
【变式2-1】下列命题中，错误的是______．（填序号）
①若直线的倾斜角为，则；
②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；
③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
【例题2-1】设直线、的斜率分别为、，倾斜角分别为、，若，则|___．
【变式2-1】直线经过点，，，则直线倾斜角的取值范围是_____.
【变式2-2】已知坐标平面内三点，，．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围．
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
【例题3-1】（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（ ）
A．-2B．0C．1D．2
【变式3-1】已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．-2
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
【例题4-1】若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是______．
【变式4-1】已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.
【变式4-2】已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．或 B． C． D．
题型五：直线平行
【例题5-1】直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ）
A．重合B．平行C．平行或重合D．相交
【变式5-1】若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率； ②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；
其中正确命题的个数是______．
【变式5-2】已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝_________
【变式5-3】直线：，：，若，则________．
题型六：直线垂直
【例题6-1】关于直线：，：，若，则__________.
【变式6-1】若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．
【变式6-2】若直线l1与l2的斜率k1、k2是关于k的方程的两根，若l1⊥l2，则b=_____．
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
【例题7-1】在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
【变式7-1】在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.
同步巩固练习
一、单选题
1．已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．若直线与直线平行，则（ ）
A．或0B．C．1或0D．1
3．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．-2
6．已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．已知在直角坐标系中，等边中与原点重合，若的斜率为，则的斜率可能为______.
8．若直线，的夹角为，则m的值为___________.
9．直线的倾斜角的取值范围是_______.
三、解答题
10．（1）若直线l的倾斜角，求直线l斜率k的范围；
（2）若直线l的斜率，求直线l倾斜角的范围.
11．已知点，，，.
（1）若直线与直线平行，求实数的值；
（2）当时，求直线倾斜角的取值范围.
2．1 直线的倾斜角与斜率 随堂检测
1.过，两点的直线的倾斜角是（ ）
A．45B．60°C．120°D．135°
2.直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3.过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4.直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.若直线与直线平行，则（ ）
A．或0B．C．1或0D．1
6.已知直线与互相垂直，则（ ）
A．B．C．1D．1或
7.已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.
9.已知点A的坐标为，在坐标轴上有一点B，若，则点B的坐标为________．
10.在线段上运动，已知，则的取值范围是_______.
11.（1）设坐标平面内三点､､，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；
（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.