（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义07 直线的交点坐标与距离公式+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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知识点一：直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．
知识点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．
知识点二：过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
知识点三：两点间的距离公式
两点间的距离公式为．
知识点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．
知识点四：点到直线的距离公式
点到直线的距离为．
知识点诠释：
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．
知识点五：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为．
知识点诠释：
（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．
【题型归纳目录】
题型一：判断两直线的位置关系
题型二：过两条直线交点的直线系方程
题型三：交点问题
题型四：对称问题
题型五：两点间的距离
题型六：点到直线的距离
题型七：两平行直线间的距离
题型八：距离问题的综合灵活运用
题型九：线段和与差的最值问题
【典型例题】
题型一：判断两直线的位置关系
【例题1-1】（多选）与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（ ）
A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3 C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0
【答案】BD
【解析】对于A，联立，方程组无解，两直线平行；
对于B，联立方程组，解得：，有唯一解，与原直线相交；
对于C，联立方程组有无数解，与原直线重合；
对于D，联立方程组有唯一解，与原直线相交．故选：BD．
【变式1-1】（多选）已知集合，集合，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为集合，集合，且，
所以直线与直线平行或交于点，当两线平行时，；
当两线交于点时，，解得．综上得a等于或2．故选：AD．
【方法技巧与总结】
分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．
题型二：过两条直线交点的直线系方程
【例题2-1】已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为，故选：B
【变式2-1】求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
【解析】设过直线x+y+1＝0 与 2x+3y﹣4＝0的交点的直线方程为 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，
即 （1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率为 2，解得 λ，
∴所求的直线方程为 2x+y+8＝0．
【变式2-2】求经过直线与的交点，且过点的直线方程．
【解析】解法一：联立直线方程，解方程组得，
由两点式得所求直线的方程为，即．
解法二：易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为，
将点的坐标代入，得，解得，
故所求直线方程为，整理得．
【方法技巧与总结】
直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．
题型三：交点问题
【例题3-1】若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得．
方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误.故选：C．
【变式3-1】曲线与的交点的情况是（ ）
A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点
【答案】A
【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点．故选：A
【变式3-1】在中，已知点，边上的中线所在直线的方程是，边上的高线所在直线的方程是，求直线，的方程．
【解析】由，解得，即，又，，
所以直线的方程是，即；
因为边上的高线所在直线的方程是，所以直线的斜率为，
所以直线的方程是，即．
【方法技巧与总结】
直接联立两直线方程，解方程即可．
题型四：对称问题
【例题4-1】点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为， 则，解得，所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为．故答案为：
【变式4-1】已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射回到时点，则光线所经过的路程为_____．
【答案】
【解析】直线的方程为：，点关于轴的对称点，设点关于直线的对称点，则，，解得，．，
光线所经过的路程．故答案为：．
【变式4-2】已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
【解析】（1）因为，所以．设直线的方程为（，且）．
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，即点的坐标为．
把点的坐标代入直线的方程，得，解得，所以直线的方程为．
（2）由，得，所以与的交点坐标为．
另取上不同于A的一点，设关于的对称点为，
则，得，即点的坐标为．
所以过与的直线的方程为，即．
【方法技巧与总结】
（1）点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为
（2）点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
（3）直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
（4）直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
题型五：两点间的距离
【例题5-1】已知的顶点为，则边上的中线长为____．
【答案】
【解析】设的中点为，因为的顶点，，则，又，
所以 ．故答案为：．
【变式5-2】已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________．
【答案】
【解析】设，则，解得，点的坐标为，
故答案为：．
【方法技巧与总结】
两点间的距离公式为．
题型六：点到直线的距离
【例题6-1】已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为．
（1）求点B，C的坐标；
（2）求的面积．
【解析】（1）设点，因为在直线上，所以， ①
又，的中点为，且点在的中线上，所以， ②
联立①②，得，即点．由题意，得，所以，
所以所在直线的方程为，即， ③
因为点在AB边上的中线上，所以点的坐标满足直线方程， ④
联立③④，得，即．
（2）由（1）得，
到直线的距离为，所以，
故的面积为7．
【变式6-1】已知的三个顶点是，则的面积为________．
【答案】
【解析】，设所在直线方程为，把点，的坐标代入可求得
，求得，，直线的方程为，即，
点到直线的距离．故答案为：
【变式6-2】点到直线的距离的取值范围为____．
【答案】
【解析】记为点到直线的距离，则，其中；当变化时，的最大值为5，最小值为，则的最大值为的最小值为，即距离的取值范围为．故答案为：．
【方法技巧与总结】
点到直线的距离为．
题型七：两平行直线间的距离
【例题7-1】两平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将直线化为，则这两条平行直线间的距离为．故选：D．
【变式7-1】若平面内两条平行线：：间的距离为，则实数 _____．
【答案】-1
【解析】平面内两条平行线：：，或．
当时，两条平行直线即 ：：，它们之间的距离为，不满足条件．
当时，两条平行直线即：：，它们之间的距离为，满足条件，故实数．故答案为：
【变式7-2】设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是______．
【答案】
【解析】由于直线，整理得：，
故，解得，即直线恒过点；则过点作直线，且，
则最大距离．故答案为：．
【方法技巧与总结】
直线与直线的距离为．
题型八：距离问题的综合灵活运用
【例题8-1】已知点在直线上，则的最小值为______
【答案】2
【解析】由点在直线上得上，且表示点与原点的距离∴的最小值为原点到直线的距离，即∴的最小值为2.故答案为2
【变式8-1】已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______．
【答案】
【解析】，，为某一直角三角形的三边长，为斜边则点在直线：上，表示原点到的距离平方，当取最小值时，即为原点到直线：的距离平方最小，则由点到直线距离公式可得 所以的最小值为9.故答案为：．
【变式8-2】数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．
【答案】
【解析】函数，表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，点关于轴的对称点，所以，所以的最小值为：．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
利用距离的几何意义进行等价转换．
题型九：线段和与差的最值问题
【例题9-1】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】由关于的对称点为，所以，可得，即对称点为，
又所以“将军饮马”的最短总路程为．故选：D
【变式9-1】直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】依题意可知，关于直线的对称点为，，
即求的最大值，，当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，也即的最大值是．故选：A
【变式9-2】已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】如图，作B关于l的对称点，设，则，解得，所以．因为与B关于l对称，所以，所以，当且仅当P为与l的交点时取等号．所以的最大值为，故答案为：
【方法技巧与总结】
利用三角形的性质进行判断.
【同步练习】
一、单选题
1．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
【答案】D
【解析】方法一 由题意得，即，所以或，解得或．
方法二 因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3．故选：D
2．若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意得：点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为原点到直线的距离，即 ，故选：C
3．若点在直线：上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知的几何意义为点到点距离的平方，故其最小值为点到直线：的距离的平方，即，故选：B.
4．直线和间的距离为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】由题意，直线，由平行线的距离公式：
故选：C
5．直线关于对称直线，直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，直线与直线交于点，直线过原点，因为直线与直线l关于直线对称，所以原点关于直线的对称点为，且直线l过点A、B，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即.故选：C
6．已知点，直线：，则点P到直线l的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知点P到直线l的距离为，时，，时，，，所以，综上，．故选：C．
二、填空题
7．若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．
【答案】或
【解析】方法一：由，得两直线的交点坐标为．当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，则，解得，此时直线m的方程为；当直线m的斜率不存在时，，点到直线m的距离等于1，满足条件．综上，直线m的方程为或．
方法二：设直线m的方程为，即，则，解得或，所以直线m的方程为或．
故答案为：或
8．已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．
【答案】
【解析】当，直线和平行，不满足题意，故，此时联立方程，解得，因为交点在第二象限，所以，解得，故实数的取值范围为．
故答案为：
三、解答题
9．已知．
(1)若直线l过点P，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
(2)是否存在直线l，使得直线l过点P，且原点到直线l的距离为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
②当直线的方程为，即．根据题意，得，解得：，
所以直线的方程为．故直线的方程为或．
（2）（2）方法一：不存在．理由如下：若直线过点，则当原点到直线的距离最大时，直线与垂直，此时最大距离为，而，故不存在这样的直线．
方法二：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知原点到直线的距离为2，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
则原点到直线的距离为，令，整理得，
则，方程无解，所以没有符合题意的直线．
综上，不存在符合题意的直线．
10．已知斜率存在的两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．
(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；
(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
【解析】（1）①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，
由斜截式得l1的方程y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，
由点斜式得l2的方程y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，
在直线l1上取点A（0，3），则点A到直线l2的距离为d4，
化简得16k2+24k+9＝16k2+16，解得k，∴l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0．
②若l1、l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝4，它们之间的距离为4，满足条件，
综上所述，两条直线的方程为l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0或l1：x＝0，l2：x＝4．
（2）当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2的距离最大，两点连线的直线的斜率为，
∴直线l1与l2的斜率均为，此时，最大距离为5，
l1：4x﹣3y+9＝0，l2：4x﹣3y﹣16＝0．
11．已知直线和点，．
(1)在直线l上求一点P，使的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使的值最大．
【解析】（1）设A关于直线l的对称点为，则，解得，故，
又∵P为直线l上的一点，则，
当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值，
点P即是直线与直线l的交点．由 ，解得，故所求的点P的坐标为．
（2）由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，
此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点,
又∵直线AB的方程为，∴由 ，解得，故所求的点P的坐标为．
2．3 直线的交点坐标与距离公式 随堂检测
1.已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，因为直线过点，
所以，得，所以所求直线方程为，故选：D
2.若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，可得3，解得a＝2，故选：A．
3.已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】表示点到点和点的距离之和．因为点关于直线的对称点为，所以m的最小值为点与点之间的距离，即．此时点为与的交点.故选：C
4.已知 ，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C．10 D．
【答案】C
【解析】依题意，点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，如图，
在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，则有，当且仅当点与重合时取“=”，
因此，，所以 的最小值为10．故选：C
5.直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．
【答案】
【解析】由题意可得，解得，且，
故答案为：
6.直线关于点的对称直线的方程为________．
【答案】
【解析】方法一 ：设对称直线上一点，则点关于的对称点为，所以点在直线上，代入得．
方法二 ：易知直线关于点的对称直线与直线平行，故设为．由点到这两条直线的距离相等，得，解得（舍去）或－11，即所求直线方程为．
方法三 ：易知点，在直线上，且它们关于点的对称点分别为，，则所求直线的方程为，即．故答案为：．
7.设，已知直线l1：，过点作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是 ．
【答案】
【解析】由于直线l1：，整理得，
由，解得，即直线l1恒过点；则过点作直线l2，且l1∥l2，
所以直线l1与l2之间距离的最大值为点与点间的距离．
故答案为：．
8.已知实数a，b满足，则的最小值为___________．
【答案】5
【解析】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和．如图，设点N关于直线对称的点为，
则，解得，当三点共线时，最小，即最小
所以的最小值为．故答案为：5．
9.已知直线．
(1)若直线在轴上的截距为，求实数的值；
(2)直线与直线平行，求与之间的距离．
【解析】（1）直线，令，解得，所以；
（2）直线与直线平行可知，解得，所以，即，满足条件，
所以直线与直线间距离.
10.已知直线，点．
（1）求点关于直线的对称点；
（2）求直线，关于点的对称直线的方程．
【解析】（1）设点关于直线l的对称点为，则这两点的中点为，
所以，解得m，n，所以点关于直线l的对称点为；
（2）由题意知，直线的斜率为，设其方程为，
在直线上取一点，它关于点的对称点为，而该点在直线上，
所以，解得，所以直线的方程为．
11.如图，已知的三个顶点分别为，，．
（1）试判断的形状；
（2）设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
【解析】（1）根据两点间的距离公式，得，，
，，即，
所以是直角三角形．
（2）依题意，线段BC的中点，，
所以BC边上中线的长为．
12.两平行直线，分别过，．
（1），之间的距离为5，求两直线方程；
（2）若，之间的距离为d，求d的取值范围．
【解析】（1）当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意；
当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得，
解得或，当时，；当时，．
故两直线方程为或．
（2）如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大为，当，旋转到和重合时，距离为0，又两平行直线，不重合，故．