（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义09 直线与圆、圆与圆的位置关系+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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知识点一：直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点．
2．直线与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．
有两组实数解时，直线与圆C相交；
有一组实数解时，直线与圆C相切；
无实数解时，直线与圆C相离．
（2）几何法：
由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：
当时，直线与圆C相交；
当时，直线与圆C相切；
当时，直线与圆C相离．
知识点诠释：
（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．
（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．
（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．
知识点二：圆的切线方程的求法
1．点在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
知识点诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
（1）过圆上一点的切线方程是；
（2）过圆上一点的切线方程是
．
知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法
1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
知识点四：圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系：
（1）圆与圆相交，有两个公共点；
（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；
（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．
2．圆与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解．
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离．
（2）几何法：
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．
当时，两圆相交；
当时，两圆外切；
当时，两圆外离；
当时，两圆内切；
当时，两圆内含．
知识点诠释：
判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．
3．两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
4．两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
【题型归纳目录】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
题型三：切线与切线长问题
题型四：弦长问题
题型五：判断圆与圆的位置关系
题型六：由圆的位置关系确定参数
题型七：公共弦与切点弦问题
题型八：公切线问题
题型九：圆中范围与最值问题
题型十：圆系问题
【典型例题】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
【例题1-1】直线和圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相切或相交C．相离D．相切
【答案】A
【解析】由，得，所以圆心为，半径为．因为圆心到直线的距离为，所以直线和圆相交．
故选：A
【变式1-1】圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切B．相离C．相交D．无法确定
【答案】C
【解析】直线可化为，所以恒过定点．把代入，有：，所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交．故选：C
【方法技巧与总结】
直线与圆的位置关系判断方法
法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径．
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
【例题2-1】已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆：，圆心，直线平分圆：，直线过圆心，即，
，
当且仅当，即，的最大值为．故选：B
【变式2-1】若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图．
当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得．设，则．由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则．故选：C．
【变式2-2】若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，所以直线与半圆有个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：
当直线经过点时，，当直线与圆相切时，，解得或（舍），由图可知，当直线与曲线有个公共点时，，故选：B．
【变式2-3】若圆上存在四个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【解析】由题设，且半径，又圆上存在四个点到的距离为，
∴到的距离，可得．故选：C
【方法技巧与总结】
直接联立求解．
题型三：切线与切线长问题
【例题3-1】已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________．
【答案】
【解析】由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，即．又到的距离，故切线长的最小值是
故答案为：
【变式3-1】由直线上的点向圆引切线（为切点），则线段的最小长度为________．
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，点到直线的距离，于是得，当且仅当垂直于直线时取“=“，所以线段的最小长度为．故答案为：
【方法技巧与总结】
求圆的切线方程一般有三种方法：
（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；
（2）待定系数法；
（3）定义法．
一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．
题型四：弦长问题
【例题4-1】在平面直角坐标系中，圆被直线截得的弦长2，则实数的值为______．
【答案】
【解析】因为，所以圆心到直线的距离，所以，解得．
故答案为：
【变式4-1】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为__________．
【答案】
【解析】由题意得，直线的斜率存在，设，，直线MN的方程为，与联立，得，，得，，．因为，所以，则，于是，（由点A及C在y轴上可判断出，同号）所以，两式消去，得，满足，所以．故答案为：
【变式4-2】已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．
【答案】
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，则由，得，所以
， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
原点到直线l的距离为： 当且仅当，即时取得等号．由，解得 由 故直线l的方程为：，即
【方法技巧与总结】
弦长问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．
题型五：判断圆与圆的位置关系
【例5-1】已知圆和，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
【答案】C
【解析】由题意，知圆的圆心，半径．圆的方程可化为，则其圆心，半径．因为两圆的圆心距，故两圆外切．故选：C．
【变式5-2】已知圆（，为常数）与．若圆心与圆心关于直线对称，则圆与的位置关系是（ ）
A．内含B．相交C．内切D．相离
【答案】B
【解析】，，半径为，关于直线的对称点为，即，所以，圆半径为，，又，所以两圆相交．故选：B．
【方法技巧与总结】
已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：
（1）两圆外离；
（2）两圆外切；
（3）两圆相交；
（4）两圆内切；
（5）两圆内含；
题型六：由圆的位置关系确定参数
【例6-1】若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】到点的距离为2的点在圆上，所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，即两圆相交，故，解得或，
所以实数a的取值范围为，故选：A．
【变式6-1】已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【解析】
，点的轨迹是以为直径的圆，又点在圆上，故点是圆与圆的交点，
因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即，解得：．的最小值为4．
故选：D．
【方法技巧与总结】
利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可．
题型七：公共弦与切点弦问题
【例题7-1】已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 ____．
【答案】
【解析】：的标准方程为，则圆心，半径．
因为四边形的面积，要使四边形面积最小，则需最小，此时与直线垂直，直线的方程为，即，联立，解得．则，则以为直径的圆的方程为，与的方程作差可得直线的方程为．故答案为：．
【变式7-1】已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______
【答案】
【解析】由圆，得到圆心，半径，由题意可得：，，，
，在中，由勾股定理可得：，
当最小时，最小，此时所求的面积也最小，点是直线上的动点，当时，有最小值，此时，所求四边形的面积的最小值为；
故答案为：
【变式7-2】已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆：化为标准方程：，其圆心，半径．
过点P引圆C的两条切线，切点分别为点A、B，如图：
在△PAC中，有，即，变形可得：．
设，则．所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小．
而的最小值为点C到直线的距离，即，所以．故选：B
【变式7-3】已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为圆，即为，所以圆心，半径．
．要使最小，则需最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为，即，联立，解得，即．则以PM为直径的圆O的方程为．直线AB为圆M与圆O公共弦所在直线，
联立相减可得直线AB的方程为．故选：A．
【方法技巧与总结】
（1）圆的切线方程的求法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
（3）两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
题型八：公切线问题
【例题8-1】已知圆．若圆与圆有三条公切线，则的值为___________．
【答案】
【解析】由，得，所以圆的圆心为，半径为，
因为圆，所以圆的圆心为，半径为，因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，即，解得，所以的值为．
故答案为：．
【变式8-1】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如下图所示，设直线交轴于点，
由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，
则，，，，为的中点，为的中点，，由勾股定理可得．故选：C．
【变式8-2】已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（ ）
A．B．17C．D．15
【答案】C
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
则．故选：C
【方法技巧与总结】
利用几何法进行转化．
题型九：圆中范围与最值问题
【例题9-1】已知直线与圆交于不同的两点，，点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】解 由，得．设，，则，，因为，所以
．令，则，，
所以，当且仅当时等号成立．所以的最大值为．故答案为：．
【变式9-1】直线分别与x轴､y轴相交于A､B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为___________．
【答案】2
【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，，，则，
点在圆上，圆心为，则圆心到直线距离，故点到直线的距离的范围为，则．的最小值为．
故答案为：．
【变式9-2】若点M为圆上任意一点，直线过定点P，则的最大值为______．
【答案】
【解析】整理直线方程得，由，得，所以．
由圆的方程知圆心，半径，所以．
故答案为：
【变式9-3】当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为圆的圆心为，半径，又因为直线过定点A（-1，1），故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有，即，解得．故选：C．
【变式9-4】已知圆．
（1）直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；
（2）设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．
【解析】（1）由题意得C（2，0），圆C的半径为3．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，
由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切．
综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．
（2）由题意得圆心C到直线的距离，
设圆C的半径为r，所以r＝3，所以，
点P到直线距离的最大值为，
则的面积的最大值．
【方法技巧与总结】
涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题
同步巩固练习
一、单选题
1．设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【解析】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．故选：B．
2．求与直线平行且将圆的周长平分的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆的圆心坐标，所求直线将圆平分，则直线过圆的圆心，又因为与直线平行，则所求直线的斜率为，利用点斜式得到直线方程为，整理成一般式为故选：C
3．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．15
【答案】B
【解析】由圆，可知圆心，半径为3，又，所以，即点的轨迹方程为，故点到点距离的最小值为.故选：B.
4．若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，即，化简得，所以点的轨迹为以为圆心，的圆，则圆心到直线的距离，所以点C到直线的距离的最小值为；故选：A.
5．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（ ）
A．1B．5C．1或5D．不存在
【答案】C
【解析】设点P∵即整理得：∴点P的轨迹为以为圆心，半径的圆，∵圆的为圆心，半径的圆，由题意可得：或∴或故选：C．
二、填空题
6．直线与半圆有两个交点，则的值是____．
【答案】
【解析】由半圆，即，如图所示，当直线在第三象限与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得：或(舍去)，当直线过点时，直线与圆有两个交点和，把代入中，可得 ，解得，则直线与圆有两个交点时，的范围是．故答案为：
三、解答题
7．已知圆，平面上一动点P满足：且，.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过点N的直线l（斜率为正）交圆G于A､C两点，交P的轨迹于B､D两点（A､B在第一象限），若，求直线l的方程.
【解析】(1)设，则，整理得：.
(2)由题知l斜率为正，设直线，
则原点到直线l的距离为：，故，
又圆，所以圆心，半径为2，所以G到直线l的距离为：，
故，
又，所以，所以，
整理得：，解得：，（舍负），
所以直线l的方程为：.
8．已知直线过定点，且与圆交于、两点．
(1)求直线的斜率的取值范围．
(2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为.
若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，由题意可得，解得.因此，直线的斜率的取值范围是.
（2）设，，设直线的方程为.
联立，得，其中，所以，，
则，
所以为定值.
2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系 随堂检测
1.圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能
【答案】C
【解析】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径，圆心到直线2x+y+1＝0的距离由，可得圆与直线的位置关系为相交．故选：C
2.过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【解析】由圆心为，半径为，斜率存在时，设切线为，则，可得，
所以，即，斜率不存在时，显然不与圆相切；综上，切线方程为．
故选：C
3.已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
【答案】B
【解析】由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4，
两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交．故选：B．
4.若直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b≤1 B．﹣1≤b≤1 C．b≤﹣1 D．﹣1＜b≤1或b
【答案】D
【解析】曲线x即 x2+y2＝1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y＝x+b经过点A（0，1）时，求得b＝1，当直线y＝x+b经过点B（1，0）时，求得b＝﹣1，当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y＝x+b的距离等于半径，可得1，求得b，或b（舍去）．故当直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1＜b≤1或b，
故选：D．
5.如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】问题可转化为圆和圆相交，两圆圆心距，由得，解得，即．故选：D
6.已知直线过点且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】直线过点且斜率为1，设，圆上恰有3个点到的距离为1，
圆心到直线的距离等于半径减去1，圆心到直线的距离为，解得．
故选：D．
7.过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，即，圆心为，半径．当斜率不存在时，直线与圆相切，切点为；当斜率为0时，直线与圆相切，切点为．故直线方程为斜率，直线方程为，即．故选：A．
8.在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（ ）
A．4条B．3条C．2条D．1条
【答案】A
【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，，显然，即圆与圆外离，所以两圆的公切线的条数是4．故选：A
9.已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数．当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，故选：C
10.直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
【答案】4
【解析】圆C：，其圆心坐标为，半径为3．圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，则．故答案为：4．
11.设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________．
【答案】或
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
由，得或，此时，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线，因为圆的圆心，半径，
所以圆心C到直线l的距离．因为，所以，解得，
所以直线l的方程为，即．综上，直线l的方程为或．
故答案为：或
12.圆与圆的公共弦长为______．
【答案】
【解析】设圆：与圆：交于，两点把两圆方程相减，化简得
即：圆心到直线的距离，又而，所以故答案为：
13.已知圆：与：相交于A、B两点．
（1）求公共弦AB所在的直线方程；
（2）求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
（3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
【解析】（1）将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
（2）设经过A、B两点的圆的方程为（为常数），
则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，
解得，故所求方程为．
（3）由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为．
故面积最小的圆的方程为．