（复习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义05 三角形中线，角平分线方法技巧篇+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
高频考点一：中线长问题
方法一：中线向量形式
【例题1-1】在中，是边上的点，，，平分，的面积是的面积的两倍．
(1)求的面积；
(2)求的边上的中线的长．
【答案】(1)(2)．
【详解】（1）由已知及正弦定理可得：，
化简得：．又因为：
，所以，
所以，所以△ACD的面积为．
（2）由（1）可知，因为AE是△ABC的边BC上的中线，所以，
所以，
所以△ABC的边BC上的中线AE的长为．
【例题1-2】已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：
(1)求角的大小；
(2)求边中线长的最小值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1），由余弦定理可得，即，
由正弦定理可得，，.
，即，又，所以.
（2）由（1）知，，的面积为，所以，解得.
由平面向量可知，所以
，当且仅当时取等号，
故边中线的最小值为.
【变式1-1】已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)设，，分别是的三个内角，,，所对的边，且边上的中线，求面积的最大值．
【答案】(1)(2)．
【详解】（1），令，得，即函数的单调递减区间为．
（2）由（1）知得，所以，即，
又，得，而由是边上的中线可得，
故，
所以，所以当且仅当时等号成立，
所以的面积为．所以的面积的最大值为．
【变式1-2】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且满足______．
请从以下三个条件中选择一个作为已知条件补充在题目上，并完成下面问题：
①外接圆半径；②；③．
(1)求锐角；
(2)求的BC边上的中线的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【详解】（1）解：若选①，由，解得，又A为锐角，故；
若选②，由正弦定理得，即，
又，所以，则，又A为锐角，故；
若选③，由，则有，即，
又A为锐角，所以，所以，故；综上所述；
（2）解：由余弦定理可得，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以．设BC的中点为M，则，等式两边平方可得：，当且仅当时等号成立，所以，即BC边上的中线的最大值为．
方法二：中线分第三条边所成两角互余
核心技巧：
【例题2-1】如图,已知的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若边上的中线，且，求的周长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）∵，由余弦定理可得，
∴， ∴，由，∴.
（2）如图，由（1）得，，① 由余弦定理知，即，②
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③
由①②③，得，所以，
所以的周长．
【例题2-2】在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小.
（2）若边上的中线，且,求的周长.
【答案】（1）（2）
【详解】解：（1）由已知
由正弦定理得： 由余弦定理得：
在中，因为,所以
（2）由，得①
由（1）知，即 ②
在中，由余弦定理得：
在中，由余弦定理得：
因为，所以③
由①②③，得，所以
所以的周长.
【变式2-1】在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若BC边上的中线长为，且，求的面积.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，化简得，
因为，所以，因为,所以；
（2）设中线交于，则，
由余弦定理得，即，
化简得，因为，所以，所以.
高频考点二：已知角平分线问题
方法一：内角平分线定理
【例题3-1】在中，，的角平分线交于点，的面积是面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为，即，在中，作边上高，垂足为，
则，故选:A.
【例题3-2】如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
(1)求及线段的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)，BC＝6(2)
【详解】（1）由题意在中，，∴，
∴，而，，∴，
由余弦定理得（舍去），即.
（2）在中，，，，
∴，∵AE平分∠BAC，，
由正弦定理得：，其中，
∴，则,,
∵AD为BC边的中线，∴，∴.
【变式3-1】已知的内角的对边分别为，且
(1)求的值；
(2)给出以下三个条件：
条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
【答案】(1)；(2)条件正确，(i)；(ii).
【详解】（1），
，，，得Z，
由，得；
（2）若条件①正确，由，得，
由余弦定理，得，即，
解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确；
(i)由，，得，解得，
由余弦定理，得，
因为，所以，由正弦定理，得，即；
(ii)由正弦定理，得，即，
因为平方，，所以，
在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，
又，上述两式相除，得，解得，所以.
方法二：等面积法（核心方法）
【例题4-1】记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圆面积为，求的最大值；
(3)若，且的角平分线，求．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）由题知，即，
由，解得．
（2）由外接圆面积为得外接圆半径，由（1），所以，
由正弦定理得，解得，由余弦定理得，
即，化简得，当且仅当a＝c时等号成立．
所以ac的最大值为．
（3）因为BD是的角平分线，则，
所以的面积，
所以，则，
由，所以，解得（负值舍去），
综上，．
【例题4-2】在中，内角所对的边分别为，已知
(1)求角.
(2)的角平分线交于点，且，求的最小值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1），
故，
即，，，
故，，，故，，.
（2），的平分线交于点，故，
由三角形的面积公式可得，化简得，又，所以，则，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
【变式4-1】条件①， 条件②，条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，
(1)求；
(2)若是的角平分线，且，求的最小值．
【答案】(1)条件选择见解析，；(2)
【详解】（1）解：选①：因为，由正弦定理可得，
即，所以，
而，，故，因为，所以；
选②：因为，由正弦定理，
即，由余弦定理，因为，所以；
选③：因为，
正弦定理及三角形内角和定理可得，即，
因为、，则，所以，，，所以，所以，即.
（2）解：由题意可知，，
由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即，
因此，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
【变式4-2】在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求C；
(2)若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值.
【答案】(1)(2)18
【详解】（1）设外接圆的半径为R，由正弦定理得：
，
则可化为，整理得.
由余弦定理得，又，所以.
（2）由和的面积之和等于的面积，得，
可得，即.则，
当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为18.
方法三：角平分线分第三条边所成两角互余
核心技巧：
【例题5-1】已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.
(1)若为的角平分线，求的周长；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）在中，，①
在中，，②
因为为的角平分线，所以，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，又因为，所以，，
所以的周长为.
（2）在中，，在中，，
因为，所以，所以，
因为，所以，因为，所以所以所以，
令，则，则，，，
当时， ，当 时， ，所以在上单调递减，在上单调递增所以，所以的取值范围为.
【例题5-2】已知中，角，，所对的边分别为，，，点D在边上，为的角平分线．．
(1)求；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)(2)
【详解】（1），，即
由正弦定理可得
，，即
（2），即
设，则，，解得
【变式5-1】已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)，；(2)答案见解析
【详解】（1），
由，得，，
∴函数的单调递增区间为，；
（2）由，得，
又中，，可知；
若选①：由，可知，可化为，
又，则，又中，故，所以，
则，故；
若选②：为的中线，且，在中，，，则有，
在中，，在中，，
又，
则
则，又知，故；故；
若选③：为的角平分线，且.由题意知，，
即，整理得
又在中，，，则有，故
解之得，，故.
第05讲 三角形中线，角平分线方法 随堂检测
1.在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（ ）
A．3B．C．1或2D．2或3
【答案】C
【详解】由得，∴，∵，∴，即.在中，由余弦定理可得，整理得，
在中，，∴，即 （*），
当时，（*）式可解得，；
当时，（*）式可解得，；故选：C
2.在中，角,，的对边分别为，，，已知，若角的内角平分线的长为3，则的最小值为（ ）
A．12B．24C．27D．36
【答案】A
【详解】因为，所以，即，
所以，又因，所以，由，得，
所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：A.
3.在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 __________.
【答案】
【详解】由题意是的角平分线，，由角平分线的性质知：，设，因为，
则，则,所以，整理得，解得或（舍）.所以,.故答案为：
4．在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则______.
【答案】##
【详解】由题设，则，又，则，故，又，即，在△中，由余弦定理知：，即，得，故，在△中，由余弦定理知：，
故，故或，
又，即，故.
故答案为：
5.已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)中内角，，所对的边分别为，，，，求的内角平分线的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为
所以，,解得，,
所以的单调递减区间为．
（2）因为，所以．
因为，所以，所以，所以，故，
由题意知，，所以，
即，所以．
6.已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
又在中，,
∴，即，
又，∴,又，∴，即角B的大小为.
（2）∵.是的角平分线，而，
∴，即，∴.
∵，∴，∵，∴，即,
当且仅当时取等号，则，即的面积的最小值为.
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足．
(1)求角B．
(2)若边上的中线长为，求的面积和周长．
【答案】(1)(2)，周长为．
【详解】（1）由外接圆半径为得，由，得，
利用正弦定理得：，即，
化简得，由C为的内角，得，可得，
又B为的内角，所以．
（2）由正弦定理得：，设D为边上的中点，则，
在中，，在中，，
因为，所以，可得，
由余弦定理，即，，
由三角形面积公式得：，
由，得，得，所以周长为．