（复习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义04 平面向量的拓展应用+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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角度1：两个向量所成角为锐角
例题2．已知平面向量，，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】(1)或；(2)
【详解】（1），，解得：或，
当时，，；
当时，，；综上所述：或10
（2）若共线，则，解得：或，
当时，，，此时同向；
当时，，，此时反向；
若与的夹角为锐角，则，解得：且，
的取值范围为.
例题3．已知：､是同一平面内的两个向量，其中=（1，2），
(1)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围；
(2)求在上投影向量.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1），
又与的夹角为锐角，且与不平行，
，解得且，
实数的取值范围是
（2）由题得，，
在上的投影向量为.
【变式1-1】式已知向量，（）．
(1)若，求t的值；
(2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题可知，
∵，∴，∴．
（2）若，则，，
∵与的夹角为锐角，∴，且与不共线，
∴，解得且，∴m的取值范围是．
角度2：两个向量所成角为钝角
【例题2-1】已知，则向量与向量的夹角为钝角时的取值范围是__________．
【答案】且
【详解】因为，向量与向量的夹角为钝角，则，所以，且向量与向量不共线，即，解得且.
故答案为：且.
【变式2-1】已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】夹角为钝角，且不共线，即且，解得：且，的取值范围为.故选：B.
【变式2-2】已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_________．
【答案】且
【详解】由题意得，向量与向量的夹角为钝角，即，且向量与向量不共线，则 ，且 ，故 ，且 ，解得且，
故答案为：且.
高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题
方法一：定义法
【例题3-1】已知在三角形中，，点，分别为边，上的动点，，其中，点，分别为，的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
则，而，
，而的对称轴为，
故当时，，故选：B
【例题3-2】已知向量，满足：，，，则______；若为非零实数，则的最小值为______．
【答案】
【详解】，，
两式作差可得，所以，
，
所以，所以．
，
当，即时不等式等号成立，所以的最小值为．故答案为：；．
【变式3-1】设向量满足.与的夹角为60°，则的取值范围是____.
【答案】
【详解】由题意可得：，
则，当时，等号成立，
所以的取值范围是.故答案为：.
方法二：几何法
【例题4-1】已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在平面内一点，作，，，则，则，
因为，则，故为等腰直角三角形，则，
取的中点，则，
所以，，所以，，因为，
所以，，则，
所以，.
当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.故选：B.
【例题4-2】已知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】向量,向量均为单位向量，,.
如图，设.则是等边三角形.向量满足与的夹角为, .
因为点在外且为定值,所以的轨迹是两段圆弧,是弦AB所对的圆周角.因此：当AC是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|,在中,由正弦定理可得:.
取得最大值2.故选：D
【变式4-1】已知向量，，为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】因为，所以，可得，因为，
所以，如图所示：在平面直角坐标系中，，，不妨设，，延长到使得，则，点为平面直角坐标系中的点，，则，，
则满足题意时，，结合点，为定点，且，由正弦定理可得：，可得，
则点的轨迹是以为圆心，为半径的优弧上，当三点共线，即点位于图中点位置时，取得最大值，其最大值为，故选：A.
【变式4-2】已知向量，满足，且，若向量满足，则的最大值为________.
【答案】
【详解】因为，所以，又，，
如图，向量的终点在以A点为圆心1为半径的圆上，又，
所以的最大值为，即的最大值为.故答案为：.
方法三：三角不等式法
向量模的三角不等式来求解：.
【例题5-1】已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，所以，，
由平面向量模的三角不等式可得.
当且仅当与方向相反时，等号成立.因此，的最小值为.故选：C.
【变式5-1】设为单位向量，若向量满足，则的最大值是____________．
【答案】
【详解】试题分析：因为向量满足，所以，当所以＋≤＝，当且仅当＝，即时等号成立，所以的最大值．
【变式5-2】已知向量，，满足，，，，若，则的最小值为__________，最大值为____________．
【答案】 5．
【详解】设，则，所以，
，
由二次函数性质可得，，即：所以,且， 所以的最小值为，最大值为.故答案为：；.
方法四：坐标法
【例题6-1】已知边长为1的正方形位于第一象限，且顶点，分别在，的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【详解】解：当与重合时，，此时，；
当与不重合时，设，，因为，所以，
，，
，，
，所以当，即时，取得最大值3.综上可知的最大值为3.故选：C.
【例题6-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，的坐标为，点为动点，且满足，记，若的最小值为，则的最大值为________．
【答案】
【详解】设点，由已知可得，则，化简可得，
,
，
因为点在以点为圆心，半径为的圆上，由可得，即，
不妨设，其中，，
则，故，当且仅当时，取最小值，
令，其中，则，，所以，，
因为函数的最小值为，则，所以，的最大值为.故答案为：.
方法五：转化法
【例题7-1】已知向量 满足 ， ， ，若向量满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，，以为y轴， 为x轴，建立直角坐标系，设，，，所以，由，可得 ，
化简可得 ，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，原点到的距离为 ，所以的取值范围是，即
故选：C．
【例题7-2】已知向量，，，满足，与的夹角为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，设，点在轴上，设点在第一象限，，设，则，则，
整理得，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，设圆心为，
又，当直线过点且垂直于轴时，取得最小值，最小值为，
即的最小值为.故选：D.
【变式7-1】若向量，，，且，则的最小值为______．
【答案】
【详解】由题设，，，又，
∴，则，又，
则，∴要求的最小值，即求定点到直线的距离，
∴.故答案为：
【变式7-2】已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意设，，，，，，所以，，，设，，由得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，，点在直线上，所以的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径2，即．故选：B．
高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题
方法一：定义法
【例题8-1】如图，正方形的边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设与的夹角为，则，
，因为，所以，
故选：C
【变式8-1】四边形ABCD中，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】D
【详解】延长交于，因为，，
∴，为等边三角形，设，则，
∴，所以当时，的最小值为.
故选：D.
【变式8-2】如图所示，扇形的弧的中点为，动点分别在上（包括端点），且，，，则的取值范围______．
【答案】
【详解】如图所示，连接、和，因为且为的中点，
可得为平行四边形，所以，设，其中，
因为，可得，，在中，可得，
在中，可得，又因为且，
所以，
所以
，设，根据二次函数的性质，可得函数的对称轴为，且在在上单调递减，在在上单调增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，又由，即函数的最大值为，
所以的取值范围.故答案为：.
方法二：向量数量积几何意义法
【例题9-1】《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，
观察图形可知，当点在线段上时，在方向上的射影取最大值，且，则，所以，，故的最大值为.故选：C.
【例题9-2】在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】解：由，可知点P在以AB为直径的圆O上运动，
设线段CO与圆O交于点D，延长CO与圆O交于点E，则，，．
则当点P与D重合时，在上的投影向量的模最小，此时；
当点P与E重合时，在方向上的投影向量的模最大，此时．
所以的取值范围是．故答案为：
【变式9-1】已知平面上两定点A、B满足，动点P、Q分别满足，则的取值范围是 ．
【答案】[－6,6]
【详解】若，由题意知：在以为圆心，1为半径的圆上；在以为圆心，2为半径的圆上.
又，，则：最大时，同向，此时，最小时，反向，此时，综上，的范围为[－6,6].故答案为：[－6,6]
方法三：坐标法（自主建系法）
【例题10-1】如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，梯形为直角梯形，
，，即，
由，同理可得，又向量在向量上的投影向量的模为4，所以，以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则，
，所以，
由且可得，令，则由对勾函数单调性知，
当时单调递减，时单调递增，故，由知，，故，故选：D
【例题10-2】如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，
则，，，设点坐标为，则，，，
∴，∴当时，，
故答案为：．
【变式10-1】已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以中点为原点建立如下直角坐标系；
则，，，设，则，，
则，即，则，其中，，
则，
则，故选：D.
【变式10-2】已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如下图构建平面直角坐标系，且，，，
所以在以为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为，
而，故，
综上，只需求出定点与圆上点距离平方的范围即可，
而圆心与的距离，故定点与圆上点的距离范围为，
所以.故选：B
平面向量的拓展应用随堂检测
1.若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，，令与共线，则，即，即，解得，此时，，即，与反向，又与的夹角为钝角，所以且与不反向共线，即且，解得且，故选：C
2.已知向量，满足，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设向量，的夹角为，则，易知，即
所以，所以，即.故选：D.
3.已知，若与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为___________.
【答案】且
【详解】若与的夹角为钝角,则，且与不共线，即，得且.
故答案为：且.
4.在中，，，点满足，，则的最小值为______.
【答案】3
【详解】∵，
∴
，
则当时，，∴.故答案为：3
5.已知向量，满足，，则的最小值是______，最大值是______．
【答案】 6
【详解】解：，且，
，当且仅当与反向时取等号. 此时的最小值为6.
， ，当且仅当时取到等号，所以的最大值为2.故答案为：6；2.
6.（1）已知，，求向量在上的投影向量的坐标．
（2）已知， 若的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由题意可得：，
向量在方向上的投影向量为：；
（2）因为的夹角为锐角，所以，解得：，又当与共线时，可得：，解得：，此时，此时与同向，需排除，
所以的取值范围是：.
7.在三角形中，是的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）在上的投影向量的模长即，故在上的投影向量为．
（2），
因为，，所以，即，，故的取值范围为.
8.在如图所示的平面图形中，，，求：
(1)设，求的值；
(2)若且，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：因为，
所以，所以，即
（2）解：因为，所以记
因为，所以，设，
则所以，，
所以
所以，当时，取得最小值，最小值为，
又因为，所以，
所以，即的最小值为.