(暑期班)2025年高二数学暑假讲义第09讲 直线与圆的位置关系+课后练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
2.1几何法（优先推荐）
2.2代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
①直线与圆相交
②直线与圆相切
③直线与圆相离
【即学即练1】直线与曲线的交点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
知识点02：直线与圆相交
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
【即学即练2】已知直线：与圆交于两点，则________.
知识点03：直线与圆相切
1、圆的切线条数
①过圆外一点，可以作圆的两条切线
②过圆上一点，可以作圆的一条切线
③过圆内一点，不能作圆的切线
2、过一点的圆的切线方程（）
①点在圆上
步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则
步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）
②点在圆外
记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出
（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）
3、切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
【即学即练3】由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______.
知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
【即学即练4】已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型01判断直线与圆的位置关系
【例1】圆上到直线距离为的点有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．无数个
【例2】（多选）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点 B．直线与圆相离
C．圆心到直线距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最小值为
【变式1】直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
题型02由直线与圆的位置关系求参数
【例1】若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知圆：，直线，若直线与圆总有交点，则的取值范围为______
【变式1】过点的直线与圆相切，则直线的斜率为______.
题型03直线与圆相交问题
【例1】已知点，，曲线任意一点满足．
(1)求曲线的方程；
(2)设直线与圆交于、两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【变式1】若不等式的解集为区间，且,则（ ）
A．B．C．D．2
【变式2】已知圆，过点的直线交圆于、两点，且，则直线的方程是______.
题型04求切线方程
【例1】过点作圆：的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例2】已知圆经过点和，且圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)过点作直线与圆相切，求直线的方程．
【变式1】在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切
(1)求圆的方程；
(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．
题型05切线长（切点弦）问题
【例1】过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4B．C．D．2
【例2】已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为__________；直线过定点__________.
【变式1】由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．
题型06已知切线求参数
【例1】在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是___________.
【变式1】若直线，与相切，则最大值为（ ）
A．B．C．3D．5
【变式2】已知直线：上存在点，使得过点可作两条直线与圆：分别切于点，，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型07圆的弦长与中点弦问题
【例1】设直线与圆相交所得弦长为，则______；
【例2】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为__________.
【变式1】已知圆，直线与圆相交于，两点，则______．
【变式2】圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)求圆在轴截得的弦长．
题型08已知圆的弦长求方程或参数
【例1】已知圆，过圆内一点的直线被圆所截得的最短弦的长度为2，则（ ）
A．2B．C．D．3
【例2】已知圆过两点，，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．
【变式1】若直线截圆所得弦长，则的值为______.
【变式2】已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
(1)求圆的方程；
(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
题型09圆内接三角形面积
【例1】已知直线与圆交于，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是___________.
【例2】已知圆．
(1)若一直线被圆所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设不过圆心的直线与圆交于，两点，把的面积表示为的函数，并求的最大值．
【变式1】在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（ ）
A．B．C．D．
【变式2】已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为___________.
题型10直线与圆中的定点定值问题
【例1】（多选）已知圆，直线：，则（ ）
A．存在，使得与圆相切
B．对任意，与圆相交
C．存在，使得圆截所得弦长为1
D．对任意，存在一条直线被圆截，所得弦长为定值
【例2】直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.
【变式1】直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【变式2】若直线：与圆：交于，两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，实数（ ）
A．B．C．1D．2
题型11根据直线与圆位置关系求距离最值
【例1】已知直线：与轴、轴分别交于，两点，动直线：和：交于点，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.
【变式3】已知直线与圆有公共点，且与直线交于点，则的最小值是__________．
课后巩固练习
一、单选题
1．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知两点，，是圆上的点，满足，则这样的点有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
4．已知BC是圆的动弦，且 ，则BC的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
5．直线被圆截的的弦长为（ ）
A．B．C．
6．已知直线与圆交于不同的两点M，N，且，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．圆：与直线：交于、，当最小时，的值为（ ）
A．B．2C．D．1
8．已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则_______．
10．若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是__________．
三、解答题
11．已知圆过三个点，过点引圆的切线，求：
(1)圆的一般方程；
(2)圆过点的切线方程.
12．已知，，，圆经过三点.
(1)求圆C的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
(2)若经过点的直线l与圆C交于两点，求弦长的取值范围.
B能力提升
1．已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
2．已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为________．
第09讲 直线与圆的位置关系 随堂检测
1.已知圆，直线，则圆与直线（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交且直线过圆C的圆心
2.直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A．16B．25C．49D．81
3.过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的斜率是（ ）
A．1B．2C．-2D．-1
4.直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．，D．
5.已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
6.已知直线和圆，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7.若直线与圆相切，则______.
8.经过点且与圆相切的直线方程为__________．
9.过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．
10.过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为__________.
11.已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为.
(1)求该圆的方程；
(2)求过点的该圆的切线方程.
12.已知圆经过点、，圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，，求实数的值.
13.已知圆：，直线：.
(1)设直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；
(2)设直线与圆相交于两点，求弦中点的轨迹方程.
课程标准
学习目标
①理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法。
②会求与圆有关的直线方程与圆的方程。
③会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等。
④会求待定参数并能解决与之相关的综合问题。
通过本节课的学习，会判断直线与圆的位置关系，会求切线方程、弦长及弦所在的直线方程，会根据直线与圆的位置求待定参数及圆的方程，能解决与直线、圆有关的综合问题.
直线与圆的位置关系的图象
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
图象
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相交。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相切。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相离。