（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义06 直线的方程+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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知识点一：直线的点斜式方程
方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
知识点诠释：
1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
2．当直线的倾斜角为时，直线方程为；
3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：．
4．表示直线去掉一个点；表示一条直线．
知识点二：直线的斜截式方程
如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
知识点诠释：
1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；
3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．
4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．
5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距．
知识点三：直线的两点式方程
经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式．
知识点诠释：
1．这个方程由直线上两点确定；
2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程．
3．直线方程的表示与选择的顺序无关．
4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
知识点四：直线的截距式方程
若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距．
知识点诠释：
1．截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线．
2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距．
知识点五：直线方程几种表达方式的选取
在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．
知识点六：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式．
知识点诠释：
1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线．
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程．
知识点七：直线方程的不同形式间的关系
直线方程的五种形式的比较如下表：
知识点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．
知识点八：直线方程的综合应用
1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．
对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
（1）从斜截式考虑
已知直线，，
；
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
（2）从一般式考虑：
且或，记忆式（）
与重合，，，
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
【题型归纳目录】
题型一：点斜式直线方程
题型二：斜截式直线方程
题型三：两点式直线方程
题型四：截距式直线方程
题型五：中点坐标公式
题型六：直线的一般式方程
题型七：直线方程的综合应用
题型八：判断动直线所过定点
题型九：直线与坐标轴形成三角形问题
题型十：直线方程的实际应用
【典型例题】
题型一：点斜式直线方程
【例题1-1】方程表示（ ）
A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线
【变式1-1】已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为________．
【变式1-2】已知直线l经过点P(4, 1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程.
【方法技巧与总结】
（1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标．
（2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为．
题型二：斜截式直线方程
【例题2-1】已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的斜截式方程为______.
【变式2-1】与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
题型三：两点式直线方程
【例题3-1】有关直线方程的两点式，有如下说法：
①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程；
②直线方程也可写成；
③过点，的直线可以表示成.
其中正确说法的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3-1】经过点､的直线的两点式方程为___________.
题型四：截距式直线方程
【例题4-1】已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
【变式4-1】若直线与垂直，则的方程的截距式为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为 ( )
A． B． C． D．
题型五：中点坐标公式
【例题5-1】已知点，，则经过点且经过线段AB的中点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．
【变式5-2】若直线与直线，分别交于点､，且线段的中点坐标为，直线的一般式方程是___________.
题型六：直线的一般式方程
【例题6-1】如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式6-1】已知①直线的倾斜角为30°；②直线不经过坐标原点．写出一个同时满足①②的直线方程：________．（用一般式方程表示）
题型七：直线方程的综合应用
【例题7-1】直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（ ）
A．与相交 B．与平行
C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关
【变式7-1】“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式7-2】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ）
A． B． C．3 D．6
题型八：判断动直线所过定点
【例题8-1】直线经过的定点是______．
【变式8-1】不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型九：直线与坐标轴形成三角形问题
【例题9-1】已知直线：.
(1)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程.
(2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值.
【变式9-1】已知直线.
(1)若直线不能过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【变式9-2】已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.
（1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；
（2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程.
同步巩固练习
一、单选题
1．已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（ ）
A．2， B．－2， C．－2， D．2，
2．过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．已知直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，则m＝（ ）
A．2 B． C．－2 D．
4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线l过点，倾斜角，下列方程可以表示直线l的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，0），直线l的一般式方程是 __．
8．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________.
9．当点到直线l：距离的最大值时，直线l的一般式方程是______．
三、解答题
10．已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
11．已知直线，互相垂直，且相交于点．
(1)若的斜率为2，与轴的交点为Q，点在线段PQ上运动，求的取值范围；
(2)若，分别与y轴相交于点A，B，求的最小值．
12．已知直线过点．
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)若与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，求（为坐标原点）面积的最小值．
2．2 直线的方程 随堂检测
1.已知直线的两点式方程为，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2.过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
3.若直线与直线平行，则实数等于（ ）
A． B． C．或 D．
4.直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
5.设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
6.已知直线的倾斜角，且过点，则该直线的方程为 __ ．
7.已知点、，则直线AB的两点式方程是______．
8.已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．
9.直线l过点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点（A､B不重合），若点M恰为线段的中点，则直线l的方程为___________.
10.已知直线l过点.
（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；
（2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值.
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
是直线上一定点，是斜率
不垂直于轴
斜截式
是斜率，是直线在y轴上的截距
不垂直于轴
两点式
，是直线上两定点
不垂直于轴和轴
截距式
是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距
不垂直于轴和轴，且不过原点
一般式
、、为系数
任何位置的直线