数学八年级上册（2024）13.3 三角形的内角与外角课时训练

这是一份数学八年级上册（2024）13.3 三角形的内角与外角课时训练，共9页。
一．选择题
1．已知△ABC是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．1：2：2
2．如图，Rt△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，线段AD是∠CAB的平分线，∠ADB的度数为（ ）
A．80°B．100°C．110°D．150°
3．在△ABC中，∠B﹣∠C＝60°，且∠B是∠C的5倍，那么该三角形是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．等腰三角形
4．在探究证明“三角形的内角和是180°时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．如图①所示，过三角形一边上点D作ED∥CB，DF∥AC
B．如图②所示，过三角形内部一点P作QR∥BC，ST∥AC，MN∥AB
C．如图③所示，过点C作CD⊥AB于点D
D．如图④所示，过三角形外部一点P作QR∥BC，ST∥AC，MN∥AB
5．如图，在△ABC中，AD是△ABC的一条角平分线，BE是△ABC的边AC上的高，AD，BE相交于点O．若∠ABC＝82°，∠C＝56°，则∠AOB的度数是（ ）
A．118°B．112°C．111°D．103°
6．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（ ）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得∠1＝40°．则∠2的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
8．如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′），连接CA′．若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在3倍关系，则∠ACA′的度数不可能为（ ）
A．15°B．45°C．60°D．90°
9．一副三角板，按图所示叠放在一起，其中∠A＝30°，∠E＝45°，则图中∠α的度数是（ ）
A．15°B．25°C．30°D．45°
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，连接AE，则∠AEB的度数是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
二．填空题
11．如果一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，那么此三角形的最大外角等于 度．
12．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A＝ ．
13．给出下面四个说法：
①三角形三个内角的和为360°；
②三角形一个外角大于它的任何一个内角；
③三角形一个外角等于它任意两个内角的和；
④三角形的外角和等于360°．其中说法正确的是 ．
14．在△ABC中，AE和BD分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，且AE和BD相交于点F，∠BAC的度数为50°，∠ABC的度数为76°，连接FC，则∠AFC的度数为 ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于D2……依次类推，∠ABD3与∠ACD3角平分线交于点D4，则∠BD4C的度数为 ．
三．解答题
16．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．
（3）如图③，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝α，∠ADC＝β，则∠P＝ （用α、β的代数式表示）．
17．【初步认识】
（1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A＝100°，则∠P＝ ；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是 ；
【继续探索】
（2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系；
【拓展应用】
（3）如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M．在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出∠A的度数．
18．在△ABC中，点D是边BC上的一点，∠ABD＝∠ADB，BF平分∠ABC，与AD交于点E，与AC交于点F．
（1）如图1，若BE⊥AD，∠ACB＝45°，求∠CAD的度数；
（2）如图2，∠DAM是△ABD的一个外角，AH平分∠DAM，与BF的延长线交于点H，∠DAC＝∠C，求证：∠H＝∠C．
19．如图1，已知钝角△ABC中（∠ACB为钝角），∠B＝∠BAC，点D是线BC上的一个动点，且不与B、C重合，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H．设∠AEH＝α，∠ADC＝β．
（1）若∠B＝30°，∠CAD＝20°，求α、β的度数；
（2）试探究α与β的关系，并说明理由；
（3）如图2，设∠B＝m°，将“点D是线段BC上的一个动点”改为“若D是BC延长线上点”，其它条件不变，探究α与β的关系．
20．【结论发现】
小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论应用】
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝40°，点E是△ABC的内角∠ABC平分线与外角∠ACD平分线的交点，则∠E的度数为 °；
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝40°，延长AB至点E，延长BC至点D，已知∠ABC、∠CBE的角平分线与∠ACD的角平分线及其反向延长线交于P、F，求∠F的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．已知∠A＝140°，∠D＝80°，则∠E+∠F的度数为 °．
21．直线MN与直线PQ相交于点O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动（点A、B均不与点O重合）．
（1）如图1，MN⊥PQ，∠BAO与∠ABO的角平分线相交于点E，则∠AEB的度数为 ；
（2）如图2，MN⊥PQ，∠BAP与∠ABM的角平分线相交于点E，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（3）如图3，若∠MOQ≠90°，∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于点E，延长BA至点G，∠OAG的角平分线交射线EO于点F．点A、B在运动的过程中，试探索∠F与∠E之间的数量关系，并证明．
22．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．
解决问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝ °．
Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数．
Ⅲ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝α，∠BPC＝β，则∠BDC＝ ．
23．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝ °；
（2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ °；
（3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数．
参考答案
一．选择题
二．填空题
11．135．
12．60°．
13．④．
14．128°．
15．30°．
三．解答题
16．（1）证明：∵根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）解：∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，
则有x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC，
∴∠ABC﹣∠P＝∠P﹣∠ADC，
∴∠P=12(∠ABC+∠ADC)=12(36°+16°)=26°，
则∠P的度数为26°；
（3）解：如图，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180°﹣∠2＝180°﹣∠1，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠ADC+（180°﹣∠3），
∠P+∠1＝∠ABC+∠4，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝α，∠ADC＝β，
∴∠P=12(∠ABC+∠ADC)=12(α+β)，
故答案为：∠P=12(α+β)．
17．解：（1）如图①，由条件可知：
∠ABP=∠CBP=12∠ABC，∠ACP=∠BCP=12∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠P=180°−(∠CBP+∠BCP)=180°−12(∠ABC+∠ACB)=140°；
如图②，由条件可知：
∠CBM=∠ABM=12∠ABC，∠DCM=∠ACM=12∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCM＝∠M+∠CBM，
∴2∠DCM＝∠A+2∠CBM＝2（∠M+∠CBM），整理得，∠A＝2∠M．
故答案为：140°，∠A＝2∠M．
（2）∵BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB，
∴∠CBN=∠EBN=12∠CBE，∠BCN=∠FCN=12∠BCF，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠CBE+∠BCF＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°+∠A，
∴∠N=180°−(∠CBN+∠BCN)=180°−12(∠CBE+∠BCF)=90°−12∠A，
∴∠N=90°−12∠A；
（3）由题意知，∠NBM＝90°，∠N=90°−12∠A，∠A＝2∠M，
∴当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，
①当∠NBM＝3∠M时，∠NBM＝3∠M，
∴∠M＝30°，
∴∠A＝2∠M＝60°；
②当∠NBM＝3∠N时，90°=3(90°−12∠A)，
∴∠A＝120°；
③当∠M＝3∠N时，12∠A=3(90°−12∠A)，
∴∠A＝135°；
④当∠N＝3∠M时，90°−12∠A=32∠A，
∴∠A＝45°．
综上所述，∠A的度数为60°或120°或135°或45°．
18．（1）解：由条件可知AB＝AD，
∵BF平分∠ABC，BE⊥AD，
∴∠ABE＝∠DBE，∠BEA＝∠BED＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BAE≌△BDE（ASA），
∴AB＝BD，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝60°﹣45°＝15°，
（2）证明：设∠ABD＝∠ADB＝α，
由外角性质可知：∠DAM＝∠ABD+∠ADB＝2α，
∵AH平分∠DAM，
∴∠MAH=∠DAH=12∠DAM=α，
∴∠MAH＝∠ABD，
∴AH∥BC，
∴∠H＝∠HBC，
由条件可知∠HBC=12∠ABC=12α，
∵∠DAC＝∠C，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝α，
∴∠C=12α，
∴∠H＝∠C．
19．解：（1）∵∠CAD＝20°，AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE=12∠CAD=12×20°=10°，
∵∠BAC＝∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°，
∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝30°﹣10°＝20°，
∵EH⊥AB，
∴∠AEH＝90°﹣∠BAE＝90°﹣20°＝70°，即α＝70°，
∵∠B＝30°，∠BAD＝10°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+10°＝40°，即β＝40°．
（2）设∠DAC＝2y，∠BAC＝∠B＝x，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE=12∠DAC=y，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝x﹣y，
∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝x﹣2y，
∵EH⊥AB，
∴∠AEH＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（x﹣y），
即α＝90°﹣（x﹣y），
∵∠BAD＝x﹣2y，∠B＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x﹣2y，
即β＝2x﹣2y，
∴α=90°−12β，
∴2α+β＝180°．
（3）设∠CAD＝2n°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE=12∠CAD=n°，
∵∠BAC＝∠B＝m°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝（m+n）°，
∵EH⊥AB，
∴∠AEH＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（m+n）°，
∴∠AEH＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（m+n）°，即α＝90°﹣（m+n）°，
∵∠B＝m°，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝（m+2n）°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣m°﹣（m+2n）°＝180°﹣2（m+n）°，
即β＝180°﹣2（m+n）°，
∴β＝2α．
20．解：（1）设∠ABE＝α，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠CBP＝∠ABE＝α，∠ABC＝2∠ABE＝2α，∠ACD＝2∠DCE，
∵∠ACD＝∠ABC+∠A＝2α+∠A，∠DCE＝∠CBE+∠E＝α+∠E，
∴2α+∠A＝2（α+∠E）
整理得：∠E=12∠A，
∴当∠A＝40°时，∠E＝20°，
即∠E的度数为20°，
故答案为：20；
（2）∵∠ABC和∠CBE是邻补角，
∴∠ABC+∠CBE＝180°，
∵BE平分∠ABC，BF平分∠CBE，
∴∠CBE=12∠ABC，∠CBF=12∠CBE，
∴∠CBE+∠CBF=12(∠ABC+∠CBE)=12×180°=90°，
即∠PBF＝90°，
∴∠P+∠F＝90°，
由（1）可知∠P=12∠A=20°，
∴∠F＝90°﹣∠P＝70°，
即∠F的度数为70°；
（3）①延长BA，CD交于M，延长BE，CE交于N，如图所示：
∵∠MAD＝180°﹣∠BAD，∠MDA＝180°﹣∠CDA，
∴∠MAD+∠MDA＝360°﹣（∠BAD+∠CDA）
∴∠M＝180°﹣（∠MAD+∠MDA）＝180°﹣360°+（∠BAD+∠CDA）
即∠M＝∠BAD+∠CDA﹣180°，
同理：∠N＝∠CEF+∠BFE﹣180°，
∵∠BAD＝140°，∠CDA＝80°，
∴∠M＝140°+80°﹣180°＝40°，
由（1）可知：∠N=12∠M=20°∠N=12∠M=12×40°＝20°，
∴∠CEF+∠BFE＝180°+∠N＝180°+20°＝200°，
即∠E+∠F的度数为200°，
故答案为：200．
21．解：（1）由条件可知∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE=12∠ABO，∠BAE=12∠BAO，
∴∠ABE+∠BAE=12(∠BAO+∠ABO)=12×90°=45°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝135°，
故答案为：135°；
（2）不会发生变化．理由如下：
∵∠BAP与∠ABM的角平分线相交于点E，
∴∠EAB=12∠PAB，∠EBA=12∠MBA，
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠PAB＝∠ABO+∠AOB＝90°+∠ABO，∠MBA＝∠BAO+∠AOB＝90°+∠BAO，
∴∠EAB+∠EBA=12(90°+∠ABO+90°+∠BAO)=90°+12(∠ABO+∠BAO)，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°+45°＝135°，
∴∠AEB＝180°﹣135°＝45°；
（3）∠E+∠F＝90°．
如图：
由角平分线定义可知∠1=∠2=12∠BAO，∠3=∠4=12∠BOQ，∠5=∠6=12∠OAG，
由外角的性质可得：∠FOQ＝∠5+∠F，∠E+∠1＝∠3，
∴∠5+∠F+∠E+∠1＝∠3+∠FOQ＝180°，
∵∠1+∠2+∠5+∠6＝180°，∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∴∠1+∠5＝90°，
∴∠E+∠F＝90°．
22．解：（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由如下：
如图①，连接AD，点F是AD延长线上一点，
根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）Ⅰ．由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A，
又∵∠A＝40°，∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50；
Ⅱ．由（1）可得∠BPC＝∠A+∠ABP+∠ACP，
∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD，
∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠A＝130°﹣40°＝90°，
又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，
∴∠ABD+∠ACD=12（∠ABP+∠ACP）＝45°，
∴∠BDC＝45°+40°＝85°．
Ⅲ．由（1）可得∠BPC＝∠A+∠ABP+∠ACP，
∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD，
∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠A＝β﹣α，
又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，
∴∠ABD+∠ACD=12（∠ABP+∠ACP）=12（β﹣α），
∴∠BDC＝α+12（β﹣α）=12（α+β），
故答案为：12（α+β）．
23．解：（1）∵∠ABC＝60°，BD、BE是∠ABC的“三分线”，
∴∠ABD=∠DBE=∠EBC=13∠ABC=20°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝20°+20°＝40°；
故答案为：40；
（2）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
当BD是∠B的“邻BC三分线”，
∴∠CBD=13∠ABC=15°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝90°；
当BD是∠B的“邻AB三分线”，
∴∠CBD=23∠ABC=30°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝75°；
综上，∠BDC＝75°或90°；
故答案为：75或90；
（3）∵BP⊥CP，
∴∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∵BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，
∴∠PBC=23∠ABC，∠PCB=23∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=23(∠ABC+∠ACB)=90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°．
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答案
B
C
A
C
C
B
C
C
A
B