第43讲　第2课时　直线与椭圆高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第43讲　第2课时　直线与椭圆高考数学一轮复习讲义练习，共7页。试卷主要包含了 设直线l， 已知椭圆C， 已知A1是椭圆M等内容，欢迎下载使用。

举题说法
直线与椭圆的位置关系
例1 设F1，F2分别是椭圆 eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，设过定点M(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，则直线l的斜率k的取值范围为___________________．
变式1 (2024·池州二模)已知实数x，y满足mx2＋2y2＝4(m＞0)，若|x＋2y|的最大值为4，则m＝( )
A. eq \f(\r(3),3)B. eq \f(1,3)
C. eq \f(\r(2),2)D. eq \f(1,2)
椭圆的中点弦问题
例2 (2024·邵阳二联)已知直线l：x－2y－2＝0与椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点．若弦AB被直线m：x＋2y＝0平分，则椭圆C的离心率为( )
A. eq \f(1,2)B. eq \f(\r(2),4)
C. eq \f(\r(3),2)D. eq \f(\r(5),4)
解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1) 根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
(2) 点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点的坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量．
变式2 若椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,5)＝1上存在不同的两点A，B关于直线y＝3x＋m对称，则实数m的取值范围是( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))
椭圆中的弦长、面积问题
例 3-1 (2025·湛江期中)已知椭圆E： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)，\f(\r(6),2)))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 已知过点M(－1，1)的直线l与E交于A，B两点，若|MA|·|MB|＝ eq \f(10,7)，求直线l的方程．
斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])或|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[(y1＋y2)2－4y1y2])(k≠0).
例 3-2 (2025·漳州期初)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为 eq \f(\r(2),2)，点P为C上一点，△PF1F2的周长为2 eq \r(2)＋2，其中O为坐标原点．
(1) 求椭圆C的方程．
(2) 直线l：y＝x＋m与C交于A，B两点．
①求△OAB面积的最大值；
②设 eq \(OQ,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程．
随堂内化
1. 已知椭圆 eq \f(x2,2)＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝ eq \f(4\r(2),3)，则实数m＝( )
A. －1 B. － eq \r(2) C. eq \f(1,2) D. －1或1
2. 设直线l：y＝kx＋3与椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1相交于A，B两点，且AB的中点为M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))，则k＝_________________.
3. (2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C： eq \f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝( )
A. eq \f(2,3) B. eq \f(\r(2),3)
C. － eq \f(\r(2),3) D. － eq \f(2,3)
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. 若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,16)＝1的交点个数为( )
A. 1个 B. 至多一个
C. 2个 D. 0个
2. 已知直线y＝－ eq \f(1,2)x＋2与椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，线段AB的中点为P(2，1)，则椭圆C的离心率是( )
A. eq \f(\r(3),2) B. eq \f(1,2)
C. eq \f(3,4) D. eq \f(1,4)
3. (2024·张家口调研)已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一条弦所在直线的方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是( )
A. eq \f(1,2) B. eq \f(\r(2),2)
C. eq \f(\r(3),2) D. eq \f(\r(5),5)
4. (2024·汕头一模)如图，设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|＝4|QF2|，则直线PF2的斜率为( )
(第4题)
A. － eq \f(1,2) B. －1
C. －2 D. －3
二、 多项选择题
5. 已知椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1上不同的三点A(x1，y1)，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(9,5)))，C(x2，y2)与焦点F(4，0)的距离成等差数列，若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，则( )
A. x1＋x2＝8 B. x1＋x2＝16
C. 直线BT的斜率k＝ eq \f(5,4)D. 直线BT的斜率k＝－ eq \f(4,5)
6. (2025·嘉兴期初)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1(－c，0)，F2(c，0)，以F1F2为直径的圆与C在第一象限交于点P，延长线段PF2交C于点Q.若|PF2|＝2|QF2|，则( )
A. |QF2|＋|PF1|＝|QF1| B. S△PQF1＝ eq \f(4a2,3)
C. 椭圆C的离心率为 eq \f(\r(5),3) D. kQF1＝－ eq \f(2,11)
三、 填空题
7. (2024·娄底一模)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，下顶点为A，过A，F的直线l与椭圆C交于另一点B，若直线l的斜率为1，且|AB|＝ eq \f(8,3)，则椭圆C的标准方程为___________________．
8. (2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点分别为F1，F2，离心率为 eq \f(1,2).过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是___________________．
四、 解答题
9. 已知A1(－2，0)是椭圆M： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点，且M经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)，\f(3\r(3),4))).
(1) 求椭圆M的方程；
(2) 若直线l：y＝k(x－1)与M交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且 eq \f(1,x1)＋ eq \f(1,x2)＝－1，求弦AB的长．
10. (2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0，3)和P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)))为椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上两点．
(1) 求C的离心率；
(2) 若过点P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
B组 能力提升练
11. (2024·安阳质检)已知椭圆E： eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A，B，过顶点A的直线与E交于点P，点Q在E上，AP⊥AQ.
(1) 设直线AP，PB的斜率分别为k，k1，求证：k·k1为定值；
(2) 求△APQ面积的最大值．