第43讲　第1课时　椭圆的概念及基本性质高考数学一轮复习讲义练习

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举题说法
椭圆的定义及应用
例1 (1) (2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A. eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1(y＞0)
B. eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,8)＝1(y＞0)
C. eq \f(y2,16)＋ eq \f(x2,4)＝1(y＞0)
D. eq \f(y2,16)＋ eq \f(x2,8)＝1(y＞0)
(2) (2019·全国乙卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A. eq \f(x2,2)＋y2＝1B. eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1
C. eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1D. eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,4)＝1
(1) 椭圆的定义具有双向作用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.
(2) 椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
变式1 (2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A. 13B. 12
C. 9D. 6
椭圆的标准方程
例2 (1) 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3，0)，且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为__________________．
(2) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))在椭圆上，|BP|＝ eq \f(16,5)，则椭圆C的标准方程为___________________．
求椭圆方程的两个基本方法
(1) 定义法：根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．
(2) 待定系数法：先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
椭圆的简单几何性质
视角1 离心率
例 3-1 (1) (2024·苏锡常镇二调)已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为( )
A. eq \f(2\r(2),3)B. eq \f(\r(6),3)
C. eq \f(\r(3),3)D. eq \f(1,3)
(2) (2024·湛江二模)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足|PF1|2＝19|PF2|2，则C的离心率的取值范围是___________________．
(1) 求椭圆的离心率的方法：①求出a，c，直接求出e；②借助a，b，c之间的关系，构造出a，c的齐次式，通过两边除以a2，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值．
(2) 求椭圆离心率的取值范围：关键在于找到含有a与c的不等关系，得出不等式常见的途径有：①椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等；②题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式．
变式 3-1 (2025·湖州、衢州、丽水期中)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过左焦点F作直线l与圆M：x2＋y2＝ eq \f(c2,4)相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|＝3|EF|，则椭圆C的离心率为___________________．
视角2 椭圆中最值与范围
例 3-2 (1) 若O和F分别为椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为( )
A. 2B. 3
C. 6D. 8
(2) 已知F1，F2分别为椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，设点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则|MA|＋|MF2|的最小值为( )
A. 4－ eq \f(\r(10),2)B. 2－ eq \f(\r(10),2)
C. 4＋ eq \f(\r(10),2)D. 2＋ eq \f(\r(10),2)
变式 3-2 已知点A(1，1)，F1是椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的左焦点，P是椭圆上任意一点，则|PF1|＋|PA|的取值范围是( )
A. [3，5]B. [3，＋∞)
C. [3， eq \r(5)]D. ( eq \r(5)，＋∞)
圆锥曲线的第二定义
到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线．当0＜e＜1时为椭圆，当e＝1为抛物线，当e＞1时为双曲线．定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e为圆锥曲线的离心率．
例4 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且 eq \(BF,\s\up6(→))＝2 eq \(FD,\s\up6(→))，则C的离心率为___________________．
变式4 过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于A，B两点，若|AF|∶|BF|＝2∶3，且直线与长轴的夹角为 eq \f(π,4)，则椭圆的离心率为( )
A. eq \f(1,5)B. eq \f(\r(2),5)
C. eq \f(\r(3),5)D. eq \f(2,5)
随堂内化
1. (2024·潍坊二模)(多选)已知椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1的焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则( )
A. C的焦距为2 eq \r(5)
B. C的离心率为 eq \f(\r(5),3)
C. △F1PF2的周长为3＋ eq \r(5)
D. △F1PF2面积的最大值为2 eq \r(5)
2. (2025·宁波期中)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过上顶点A作直线AF2交椭圆于另一点B.若|AB|＝|F1B|，则椭圆C的离心率为( )
A. eq \f(1,3)B. eq \f(1,2)
C. eq \f(\r(3),3)D. eq \f(\r(2),2)
3. (2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,6)＝1的两个焦点，点P在C上，cs ∠F1PF2＝ eq \f(3,5)，则|OP|＝( )
A. eq \f(13,5)B. eq \f(\r(30),2)
C. eq \f(14,5)D. eq \f(\r(35),2)
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. (2024·绍兴二模)已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为 eq \f(1,2)，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为( )
A. eq \r(3) B. 2 eq \r(3)
C. 4 eq \r(3) D. 6 eq \r(3)
2. (2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若 eq \(PF1,\s\up6(→))· eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝( )
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
3. (2024·广州一模)设B，F2分别是椭圆C： eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点和上焦点，点P在C上，且 eq \(BF2,\s\up6(→))＝2 eq \(F2P,\s\up6(→))，则C的离心率为( )
A. eq \f(\r(3),3) B. eq \f(\r(65),13)
C. eq \f(1,2) D. eq \f(\r(3),2)
4. (2024·南平三检)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在C上，点B在y轴上， eq \(F1A,\s\up6(→))⊥ eq \(F1B,\s\up6(→))， eq \(F2A,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3) eq \(F2B,\s\up6(→))，则C的方程为( )
A. eq \f(x2,2)＋y2＝1 B. eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1
C. eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1 D. eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,4)＝1
二、 多项选择题
5. (2025·温州一模)已知点A(－a，0)，B(a，0)，l1：ax－y＝0，l2：ax＋y＝0，其中a＞1.P为平面内一点，记点P到l1，l2的距离分别为d1，d2，则下列条件中能使点P的轨迹为椭圆的是( )
A. |PA|＋|PB|＝4a
B. |PA|2＋|PB|2＝4a2
C. d1＋d2＝4a
D. d eq \\al(2,1)＋d eq \\al(2,2)＝4a2
6. (2024·阜阳一测)已知O为坐标原点，椭圆C： eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若A，B两点都在C上，A，O，B三点共线，P(不与A，B重合)为上顶点，则( )
A. |AB|的最小值为4
B. |AF1|＋|BF1|为定值
C. 存在点A，使得AF1⊥AF2
D. kPA·kPB＝－ eq \f(1,3)
三、 填空题
7. (2024·武汉4月调研)设椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,12)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P满足|PF1|∶|PF2|＝2∶3，则△PF1F2的面积为__________________．
8. (2024·唐山一模)已知椭圆E： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交E于A，B两点，C(0，－1)是线段BF1的中点，且 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))2，则E的方程为__________________．
9. (2024·青岛一模)已知O为坐标原点，F为椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C的离心率为___________________.
四、 解答题
10. (2024·开封二模)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且 eq \(AF1,\s\up6(→))· eq \(AF2,\s\up6(→))＝0.
(1) 求椭圆C的离心率；
(2) 若射线AF1与C交于点B，且|AB|＝ eq \f(8,3)，求△ABF2的周长．
11. 已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，直线x＝4是椭圆的一条准线．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 设点P在椭圆上，且|PF1|2－|PF2|2＝4，求cs ∠F1PF2的值；
(3) 设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))是椭圆内一点，在椭圆上求一点Q，使得|PQ|＋2|QF2|的值最小．
B组 能力提升练
12. (2024·佛山二模)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点A，B在C上，且满足 eq \(F1A,\s\up6(→))＝2 eq \(F2B,\s\up6(→))， eq \(F1B,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝4c2－ eq \f(a2,16)，则C的离心率为( )
A. eq \f(2\r(2),3) B. eq \f(\r(6),3)
C. eq \f(2,3) D. eq \f(\r(3),3)
13. (2024·杭州二模)机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12 cm，开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于___________________.
(第13题)