第43讲　椭　圆高考数学一轮复习讲义练习

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激活思维
1. (人A 选必一P107例1改)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，则它的标准方程是( D )
A. eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,100)＝1B. eq \f(x2,100)＋ eq \f(y2,36)＝1
C. eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,10)＝1D. eq \f(x2,10)＋ eq \f(y2,6)＝1
【解析】 由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0).由椭圆的定义知c＝2，2a＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))\s\up12(2))＋ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))\s\up12(2))＝2 eq \r(10)，所以a＝ eq \r(10)，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6，所以所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,10)＋ eq \f(y2,6)＝1.
2. (人A 选必一P109练习T1改)设椭圆 eq \f(x2,100)＋ eq \f(y2,36)＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是( B )
A. 20B. 14
C. 2 eq \r(5)D. eq \r(14)
【解析】 由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，又椭圆 eq \f(x2,100)＋ eq \f(y2,36)＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，即|PF1|＝6，且a＝10，所以6＋|PF2|＝20，故|PF2|＝14.
3. (人A 选必一P115练习T4(3)改)(多选)已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8，则( ACD )
A. 长轴的长为10
B. 短半轴的长为6
C. 焦点坐标可以是(0，4)
D. 椭圆的标准方程可以是 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1
【解析】 由题意知2c＝8，即c＝4.又e＝ eq \f(c,a)＝0.8，所以a＝5，2a＝10，A正确．因为a2－b2＝c2，所以b2＝9，b＝3，B错误．若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1，D正确．若椭圆的焦点在y轴上，则一个焦点坐标是(0，4)，椭圆的标准方程为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,25)＝1，C正确．
4. (人A 选必一P112例4改)(多选)已知椭圆的方程为16x2＋25y2＝400，则( BCD )
A. 长轴的长为5
B. 离心率e＝ eq \f(3,5)
C. F(3，0)是一个焦点
D. 椭圆上存在一点P到两焦点的距离的和等于10
【解析】 把原方程化成标准方程，得 eq \f(x2,52)＋ eq \f(y2,42)＝1，于是a＝5，b＝4，c＝ eq \r(25－16)＝3，因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3,5)，两个焦点坐标分别是(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点P到两焦点的距离的和等于2a＝10.
5. (人A 选必一P112练习T3改)已知椭圆过点(3，0)，离心率e＝ eq \f(\r(6),3)，则椭圆的标准方程为_ eq \f(y2,27)＋ eq \f(x2,9)＝1或 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,3)＝1_．
【解析】 当椭圆的焦点在x轴上时，则a＝3， eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(6),3)，所以c＝ eq \r(6)，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，所以椭圆的标准方程为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,3)＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，则b＝3， eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(6),3)，所以 eq \f(\r(a2－b2),a)＝ eq \f(\r(6),3)，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为 eq \f(y2,27)＋ eq \f(x2,9)＝1.综上，椭圆的标准方程为 eq \f(y2,27)＋ eq \f(x2,9)＝1或 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,3)＝1.
聚焦知识
1. 椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_椭圆_．这两个定点叫做椭圆的_焦点_，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距_．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1) 若_a＞c_，则集合P为椭圆；
(2) 若_a＝c_，则集合P为线段；
(3) 若_a＜c_，则集合P为空集．
2. 椭圆的标准方程和几何性质
3. 常用结论
(1) 通径：过焦点且垂直于长轴的弦，长度为 eq \f(2b2,a)，是最短的焦点弦．
(2) 中点弦：椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦的斜率k＝－ eq \f(b2x0,a2y0).
(3) 焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
①焦点三角形的周长为2(a＋c).
②S△F1PF2＝ eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|.
③当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．
④|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
⑤|PF1|·|PF2|≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2))) eq \s\up12(2)＝a2.
⑥4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为_2a_；
短轴B1B2的长为_2b_
焦距
|F1F2|＝_2c_
离心率
e＝ eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c
的关系
_a2＝b2＋c2_