第43讲　第1课时　椭圆的概念及基本性质高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第43讲　第1课时　椭圆的概念及基本性质高考数学一轮复习讲义练习，共14页。

举题说法
椭圆的定义及应用
例1 (1) (2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( A )
A. eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1(y＞0)
B. eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,8)＝1(y＞0)
C. eq \f(y2,16)＋ eq \f(x2,4)＝1(y＞0)
D. eq \f(y2,16)＋ eq \f(x2,8)＝1(y＞0)
【解析】 设点M(x，y)，P(x，y0)，P′(x，0)，因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x，2y).又P在圆x2＋y2＝16(y＞0)上，所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1(y＞0)，即点M的轨迹方程为 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1(y＞0).
(2) (2019·全国乙卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( B )
A. eq \f(x2,2)＋y2＝1B. eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1
C. eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1D. eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,4)＝1
【解析】 如图，设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.
(例1(2)答)
方法一：在△AF1B中，由余弦定理推论得cs ∠F1AB＝ eq \f(4n2＋9n2－9n2,2·2n·3n)＝ eq \f(1,3).在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n· eq \f(1,3)＝4，解得n＝ eq \f(\r(3),2).从而2a＝4n＝2 eq \r(3)，则a＝ eq \r(3)，b2＝a2－c2＝3－1＝2.故椭圆C的方程为 eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1.
方法二：在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4n2＋4－2·2n·2·cs ∠AF2F1＝4n2，,n2＋4－2·n·2·cs ∠BF2F1＝9n2，))又∠AF2F1，∠BF2F1互补，所以cs ∠AF2F1＋cs ∠BF2F1＝0，两式消去cs ∠AF2F1，cs ∠BF2F1，得3n2＋6＝11n2，解得n＝ eq \f(\r(3),2).从而2a＝4n＝2 eq \r(3)，则a＝ eq \r(3)，b2＝a2－c2＝3－1＝2，故椭圆C的方程为 eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1.
(1) 椭圆的定义具有双向作用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.
(2) 椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
变式1 (2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( C )
A. 13B. 12
C. 9D. 6
【解析】 由椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|MF1|＋|MF2|,2))) eq \s\up12(2)＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．
椭圆的标准方程
例2 (1) 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3，0)，且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为_ eq \f(x2,9)＋y2＝1或 eq \f(y2,81)＋ eq \f(x2,9)＝1_．
【解析】 方法一：若椭圆的焦点在x轴上，设方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0).由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝3×2b，,\f(9,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，))所以椭圆的标准方程为 eq \f(x2,9)＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0).由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝3×2b，,\f(0,a2)＋\f(9,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝9，,b＝3，))所以椭圆的标准方程为 eq \f(y2,81)＋ eq \f(x2,9)＝1.综上所述，椭圆的标准方程为 eq \f(x2,9)＋y2＝1或 eq \f(y2,81)＋ eq \f(x2,9)＝1.
方法二：设椭圆的方程为 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,m)＝1，,2\r(m)＝3×2\r(n)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,m)＝1，,2\r(n)＝3×2\r(m)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝9，,n＝1))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝9，,n＝81，))所以椭圆的标准方程为 eq \f(x2,9)＋y2＝1或 eq \f(y2,81)＋ eq \f(x2,9)＝1.
(2) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))在椭圆上，|BP|＝ eq \f(16,5)，则椭圆C的标准方程为_ eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1_．
【解析】 由B(0，b)，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))，|BP|＝ eq \f(16,5)，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(3\r(3),5))) eq \s\up12(2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5))) eq \s\up12(2)，解得b＝ eq \r(3).又点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))在椭圆上，则 eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)))\s\up12(2),a2)＋ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(3),5)))\s\up12(2),b2)＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1.
求椭圆方程的两个基本方法
(1) 定义法：根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．
(2) 待定系数法：先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
椭圆的简单几何性质
视角1 离心率
例 3-1 (1) (2024·苏锡常镇二调)已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为( A )
A. eq \f(2\r(2),3)B. eq \f(\r(6),3)
C. eq \f(\r(3),3)D. eq \f(1,3)
【解析】 设椭圆E的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，右焦点为F(c，0)，所以直线l的方程为y＝x－c.因为原点O到直线l的距离等于E的短轴长，所以 eq \f(c,\r(2))＝2b，得c2＝8b2.又a2＝b2＋c2，所以c2＝8(a2－c2)，即8a2＝9c2，所以e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2\r(2),3).
(2) (2024·湛江二模)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足|PF1|2＝19|PF2|2，则C的离心率的取值范围是_ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10－\r(19),9)，1))_．
【解析】 因为|PF1|2＝19|PF2|2，所以|PF1|＝ eq \r(19)|PF2|，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝( eq \r(19)＋1)|PF2|，所以|PF2|＝ eq \f((\r(19)－1)a,9)∈[a－c，a＋c]，则e＝ eq \f(c,a)≥ eq \f(10－\r(19),9)，又0＜e＜1，所以C的离心率的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10－\r(19),9)，1)).
(1) 求椭圆的离心率的方法：①求出a，c，直接求出e；②借助a，b，c之间的关系，构造出a，c的齐次式，通过两边除以a2，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值．
(2) 求椭圆离心率的取值范围：关键在于找到含有a与c的不等关系，得出不等式常见的途径有：①椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等；②题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式．
变式 3-1 (2025·湖州、衢州、丽水期中)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过左焦点F作直线l与圆M：x2＋y2＝ eq \f(c2,4)相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|＝3|EF|，则椭圆C的离心率为_ eq \f(\r(3)－1,2)_．
【解析】 如图，设椭圆C的右焦点为F1，连接PF1，ME，由圆M：x2＋y2＝ eq \f(c2,4)可知圆心M(0，0)，半径r＝ eq \f(c,2).显然|EM|＝ eq \f(c,2)，|MF|＝c，且EM⊥EF，因此可得sin ∠EFM＝ eq \f(1,2)，所以∠EFM＝30°，可得|EF|＝ eq \f(\r(3),2)c，|PE|＝3|EF|＝ eq \f(3\r(3),2)c，从而|PF|＝2 eq \r(3)c.又易知|FF1|＝2c.由余弦定理可得|PF1|2＝|PF|2＋|FF1|2－2|PF||FF1|cs 30°＝12c2＋4c2－2×2 eq \r(3)c×2c× eq \f(\r(3),2)＝4c2，解得|PF1|＝2c.由椭圆定义可得|PF1|＋|PF|＝2c＋2 eq \r(3)c＝2a，即a＝( eq \r(3)＋1)c，因此离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(1,\r(3)＋1)＝ eq \f(\r(3)－1,2).
(变式3-1答)
视角2 椭圆中最值与范围
例 3-2 (1) 若O和F分别为椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为( C )
A. 2B. 3
C. 6D. 8
【解析】 由椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1可得F(－1，0).设P(x，y)(－2≤x≤2)，则 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,4)))＝ eq \f(1,4)x2＋x＋3＝ eq \f(1,4)(x＋2)2＋2，又－2≤x≤2，所以当x＝2时， eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(FP,\s\up6(→))取得最大值6.
(2) 已知F1，F2分别为椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，设点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则|MA|＋|MF2|的最小值为( A )
A. 4－ eq \f(\r(10),2)B. 2－ eq \f(\r(10),2)
C. 4＋ eq \f(\r(10),2)D. 2＋ eq \f(\r(10),2)
【解析】 由题得F1(－1，0)，F2(1，0)，如图，连接MF1，由于|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，所以|MF2|＝4－|MF1|，所以|MA|＋|MF2|＝|MA|＋4－|MF1|＝4＋|MA|－|MF1|，因为||MA|－|MF1||≤|AF1|，当且仅当M，A，F1三点共线时等号成立，所以－|AF1|≤|MA|－|MF1|≤|AF1|，所以|MA|＋|MF2|≥4－|AF1|＝4－ eq \f(\r(10),2).
(例3-2(2)答)
变式 3-2 已知点A(1，1)，F1是椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的左焦点，P是椭圆上任意一点，则|PF1|＋|PA|的取值范围是( A )
A. [3，5]B. [3，＋∞)
C. [3， eq \r(5)]D. ( eq \r(5)，＋∞)
【解析】 设F2是椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的右焦点，则|PF1|＋|PA|＝2a＋|PA|－|PF2|.因为－|AF2|≤|PA|－|PF2|≤|AF2|，|AF2|＝ eq \r((1－1)2＋(1－0)2)＝1，a＝2，所以3≤2a＋|PA|－|PF2|≤5，则|PA|＋|PF1|∈[3，5].
圆锥曲线的第二定义
到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线．当0＜e＜1时为椭圆，当e＝1为抛物线，当e＞1时为双曲线．定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e为圆锥曲线的离心率．
例4 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且 eq \(BF,\s\up6(→))＝2 eq \(FD,\s\up6(→))，则C的离心率为_ eq \f(\r(3),3)_．
【解析】 方法一：不妨设椭圆C的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，如图，过点D作DE⊥y轴，垂足为E.因为△BOF∽△BED，所以 eq \f(|OF|,|DE|)＝ eq \f(|BF|,|BD|)＝ eq \f(2,3)，则|DE|＝ eq \f(3,2)c.设D(xD，yD)，则xD＝ eq \f(3,2)c.根据椭圆的第二定义，有|DF|＝e eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－\f(3,2)c))＝a－ eq \f(3c2,2a).根据椭圆性质，有|BF|＝a，|DF|＝ eq \f(a,2)，所以a－ eq \f(3c2,2a)＝ eq \f(a,2)，整理得a2＝3c2，所以离心率e＝ eq \f(\r(3),3).
方法二：不妨设椭圆C的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则F(c，0)，B(0，b)，设D(xD，yD)，则 eq \(BF,\s\up6(→))＝(c，－b)， eq \(FD,\s\up6(→))＝(xD－c，yD).由 eq \(BF,\s\up6(→))＝2 eq \(FD,\s\up6(→))，解得xD＝ eq \f(3,2)c，yD＝－ eq \f(1,2)b.把点D的坐标代入椭圆方程并化简得 eq \f(c2,a2)＝ eq \f(1,3)，所以e＝ eq \f(\r(3),3).
(例4答)
变式4 过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于A，B两点，若|AF|∶|BF|＝2∶3，且直线与长轴的夹角为 eq \f(π,4)，则椭圆的离心率为( B )
A. eq \f(1,5)B. eq \f(\r(2),5)
C. eq \f(\r(3),5)D. eq \f(2,5)
【解析】 如图，设左准线与x轴的交点为M，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，过点A作AH⊥BD，垂足为H，交x轴于点E.设|AB|＝5t，因为|AF|∶|BF|＝2∶3，所以|AF|＝2t，|BF|＝3t.又因为直线与长轴的夹角为 eq \f(π,4)，所以∠BAH＝ eq \f(π,4)，则|BH|＝ eq \f(\r(2),2)|AB|＝ eq \f(5\r(2),2)t.由椭圆的第二定义，得|BH|＝|BD|－|AC|＝ eq \f(|BF|,e)－ eq \f(|AF|,e)＝ eq \f(3t,e)－ eq \f(2t,e)＝ eq \f(t,e)，所以 eq \f(t,e)＝ eq \f(5\r(2),2)t，解得e＝ eq \f(\r(2),5).
(变式4答)
随堂内化
1. (2024·潍坊二模)(多选)已知椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1的焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则( ABD )
A. C的焦距为2 eq \r(5)
B. C的离心率为 eq \f(\r(5),3)
C. △F1PF2的周长为3＋ eq \r(5)
D. △F1PF2面积的最大值为2 eq \r(5)
【解析】 设椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则a2＝9，b2＝4，c2＝9－4＝5，故a＝3，b＝2，c＝ eq \r(5)，所以C的焦距为2 eq \r(5)，故A正确；C的离心率为 eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(5),3)，故B正确；△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6＋2 eq \r(5)，故C错误；对于D，当点P位于椭圆的上、下顶点时，△F1PF2的面积最大，最大值为 eq \f(1,2)×2×2 eq \r(5)＝2 eq \r(5)，故D正确．
2. (2025·宁波期中)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过上顶点A作直线AF2交椭圆于另一点B.若|AB|＝|F1B|，则椭圆C的离心率为( C )
A. eq \f(1,3)B. eq \f(1,2)
C. eq \f(\r(3),3)D. eq \f(\r(2),2)
【解析】 如图，因为△ABF1的周长为4a，|AF1|＝|AF2|＝a，|AB|＝|F1B|，所以|AB|＝|F1B|＝ eq \f(3,2)a，|BF2|＝ eq \f(a,2).又cs ∠AF2F1＋cs ∠BF2F1＝0，所以 eq \f(c,a)＋ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))\s\up12(2)＋(2c)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))\s\up12(2),2×\f(a,2)×2c)＝0，化简得3c2＝a2，则 eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(3),3)＝e，所以椭圆C的离心率为 eq \f(\r(3),3).
(第2题答)
3. (2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,6)＝1的两个焦点，点P在C上，cs ∠F1PF2＝ eq \f(3,5)，则|OP|＝( B )
A. eq \f(13,5)B. eq \f(\r(30),2)
C. eq \f(14,5)D. eq \f(\r(35),2)
【解析】 方法一：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs ∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－ eq \f(6,5)|PF1||PF2|＝12②.联立①②，解得|PF1||PF2|＝ eq \f(15,2)，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而 eq \(PO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(PF1,\s\up6(→))＋ eq \(PF2,\s\up6(→)))，所以|OP|＝| eq \(PO,\s\up6(→))|＝ eq \f(1,2)| eq \(PF1,\s\up6(→))＋ eq \(PF2,\s\up6(→))|＝ eq \f(1,2) eq \r(|\(PF1,\s\up6(→))|2＋2\(PF1,\s\up6(→))·\(PF2,\s\up6(→))＋|\(PF2,\s\up6(→))|2)＝ eq \f(1,2) eq \r(21＋2×\f(15,2)×\f(3,5))＝ eq \f(\r(30),2).
方法二：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs ∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－ eq \f(6,5)|PF1||PF2|＝12②，联立①②解得|PF1|2＋|PF2|2＝21.由中线定理可知(2|OP|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2 eq \r(3)，解得|OP|＝ eq \f(\r(30),2).
练案❶ 趁热打铁，事半功倍．请老师布置同学们及时完成《配套精练》．
练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(提高版)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．
2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考增分提速天天练》(提高版)，成书可向当地发行咨询购买．
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. (2024·绍兴二模)已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为 eq \f(1,2)，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为( B )
A. eq \r(3) B. 2 eq \r(3)
C. 4 eq \r(3) D. 6 eq \r(3)
【解析】 由 eq \f(c,a)＝ eq \f(1,2)可得a2＝4c2＝4(a2－b2)(*)，因2a＝4，即a＝2，代入(*)解得b＝ eq \r(3)，故短轴长为2b＝2 eq \r(3).
2. (2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若 eq \(PF1,\s\up6(→))· eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝( B )
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
【解析】 因为 eq \(PF1,\s\up6(→))· eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而S△F1PF2＝b2tan 45°＝1＝ eq \f(1,2)×|PF1|·|PF2|＝1，所以|PF1|·|PF2|＝2.
3. (2024·广州一模)设B，F2分别是椭圆C： eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点和上焦点，点P在C上，且 eq \(BF2,\s\up6(→))＝2 eq \(F2P,\s\up6(→))，则C的离心率为( A )
A. eq \f(\r(3),3) B. eq \f(\r(65),13)
C. eq \f(1,2) D. eq \f(\r(3),2)
【解析】 如图，令椭圆半焦距为c，依题意，B(b，0)，F2(0，c)，由 eq \(BF2,\s\up6(→))＝2 eq \(F2P,\s\up6(→))，得 eq \(F2P,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(－b，c)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)，\f(c,2)))，则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)，\f(3c,2)))，而点P在椭圆上，所以 eq \f(1,4)＋ eq \f(9,4)· eq \f(c2,a2)＝1，解得e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(3),3)，所以C的离心率为 eq \f(\r(3),3).
(第3题答)
4. (2024·南平三检)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在C上，点B在y轴上， eq \(F1A,\s\up6(→))⊥ eq \(F1B,\s\up6(→))， eq \(F2A,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3) eq \(F2B,\s\up6(→))，则C的方程为( D )
A. eq \f(x2,2)＋y2＝1 B. eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1
C. eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1 D. eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,4)＝1
【解析】 因为椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以设椭圆C的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,a2－1)＝1，设B(0，y0)，A(m，n)，则 eq \(F2A,\s\up6(→))＝(m－1，n)， eq \(F2B,\s\up6(→))＝(－1，y0)，因为 eq \(F2A,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3) eq \(F2B,\s\up6(→))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1＝－\f(2,3)×(－1)，,n＝－\f(2,3)y0，))所以m＝ eq \f(5,3)，n＝－ eq \f(2,3)y0，所以A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，－\f(2,3)y0)).又因为 eq \(F1A,\s\up6(→))⊥ eq \(F1B,\s\up6(→))， eq \(F1A,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，－\f(2,3)y0))， eq \(F1B,\s\up6(→))＝(1，y0)，所以 eq \f(8,3)－ eq \f(2,3)y eq \\al(2,0)＝0，所以y0＝±2，所以A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(4,3)))或A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，－\f(4,3))).因为点A在C上，所以 eq \f(\f(25,9),a2)＋ eq \f(\f(16,9),a2－1)＝1，即9a4－50a2＋25＝0，解得a2＝5或a2＝ eq \f(5,9).因为椭圆C的焦点在x轴上，所以a2＝5，故椭圆C的方程为 eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,4)＝1.
(第4题答)
二、 多项选择题
5. (2025·温州一模)已知点A(－a，0)，B(a，0)，l1：ax－y＝0，l2：ax＋y＝0，其中a＞1.P为平面内一点，记点P到l1，l2的距离分别为d1，d2，则下列条件中能使点P的轨迹为椭圆的是( AD )
A. |PA|＋|PB|＝4a
B. |PA|2＋|PB|2＝4a2
C. d1＋d2＝4a
D. d eq \\al(2,1)＋d eq \\al(2,2)＝4a2
【解析】 对于A，根据椭圆的定义，|PA|＋|PB|＝4a＞|AB|，所以点P的轨迹为椭圆，故A正确；对于B，设P(x，y)，则有(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2＝4a2⇒x2＋y2＝a2，所以点P的轨迹为圆，故B错误；对于C，由 eq \f(|ax－y|,\r(a2＋1))＋ eq \f(|ax＋y|,\r(a2＋1))＝4a⇒|ax－y|＋|ax＋y|＝4a eq \r(a2＋1)，分情况去掉绝对值符号，可知点P的轨迹为4条线段，不是椭圆，故C错误；对于D，由 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|ax－y|,\r(a2＋1)))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|ax＋y|,\r(a2＋1)))) eq \s\up12(2)＝4a2⇒a2x2＋y2＝2a2(a2＋1)，因为a＞1，所以点P的轨迹为椭圆，故D正确．
6. (2024·阜阳一测)已知O为坐标原点，椭圆C： eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若A，B两点都在C上，A，O，B三点共线，P(不与A，B重合)为上顶点，则( BCD )
A. |AB|的最小值为4
B. |AF1|＋|BF1|为定值
C. 存在点A，使得AF1⊥AF2
D. kPA·kPB＝－ eq \f(1,3)
【解析】 对于A，由椭圆的方程可知a＝ eq \r(6)，b＝ eq \r(2)，c＝ eq \r(a2－b2)＝2，所以焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，P(0， eq \r(2)).因为点A(x1，y1)在椭圆上，所以y eq \\al(2,1)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x eq \\al(2,1),6)))，|AB|＝2|AO|＝2 eq \r(x eq \\al(2,1)＋y eq \\al(2,1))＝2 eq \r(x eq \\al(2,1)＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x eq \\al(2,1),6))))＝2 eq \r(2＋\f(2x eq \\al(2,1),3))≥2 eq \r(2)，即|AB|≥2 eq \r(2)，故A错误；对于B，由椭圆的对称性可知，|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＝2 eq \r(6)，故B正确；对于C，因为c＞b，所以以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，则存在点A，使得AF1⊥AF2，故C正确；对于D，设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，P(0， eq \r(2))，则kPA·kPB＝ eq \f(y1－\r(2),x1)· eq \f(－y1－\r(2),－x1)＝ eq \f(y eq \\al(2,1)－2,x eq \\al(2,1))＝ eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x eq \\al(2,1),6)))－2,x eq \\al(2,1))＝－ eq \f(1,3)，故D正确．
(第6题答)
三、 填空题
7. (2024·武汉4月调研)设椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,12)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P满足|PF1|∶|PF2|＝2∶3，则△PF1F2的面积为_12_．
【解析】 由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则有 eq \f(|PF1|,|PF2|)＝ eq \f(|PF1|,10－|PF1|)＝ eq \f(2,3)，即|PF1|＝4，|PF2|＝6.由|F1F2|＝2c＝2 eq \r(25－12)＝2 eq \r(13)，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得∠F1PF2＝90°，故S△PF1F2＝ eq \f(1,2)×4×6＝12.
8. (2024·唐山一模)已知椭圆E： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交E于A，B两点，C(0，－1)是线段BF1的中点，且 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))2，则E的方程为_ eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,6)＝1_．
【解析】 由于C(0，－1)是线段BF1的中点，O(0，0)是线段F2F1的中点，所以OC∥F2B，故F2F1⊥AB.设椭圆焦距为2c，则F2(c，0)，F1(－c，0)，将x＝c代入椭圆方程可得 eq \f(c2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1，故|y|＝ eq \f(b2,a)，因此A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，C(0，－1)是线段BF1的中点，所以|BF2|＝2＝ eq \f(b2,a)，故b2＝2a， eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－4)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(－c，－3)，由 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))2得12＝c2＋9，解得c2＝3.由b2＝2a＝a2－c2，得a2＝9，b2＝6，故椭圆E的方程为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,6)＝1.
(第8题答)
9. (2024·青岛一模)已知O为坐标原点，F为椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C的离心率为_ eq \f(\r(5)－1,2)_.
【解析】 由椭圆的对称性可知，AB垂直于x轴，不妨设A在第一象限，如图，又OA⊥OB，所以∠AOF＝ eq \f(π,4)，所以△AOF为等腰直角三角形，故A(c，c)，所以 eq \f(c2,a2)＋ eq \f(c2,b2)＝1，即a2c2＋b2c2＝a2b2，所以a2c2＋(a2－c2)c2＝a2(a2－c2)，整理得e4－3e2＋1＝0，解得e2＝ eq \f(3－\r(5),2)或e2＝ eq \f(3＋\r(5),2)(舍去)，故e＝ eq \r(\f(3－\r(5),2))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(5)－1,2).
(第9题答)
四、 解答题
10. (2024·开封二模)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且 eq \(AF1,\s\up6(→))· eq \(AF2,\s\up6(→))＝0.
(1) 求椭圆C的离心率；
【解答】 依题意可得上顶点A(0，b)，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，所以 eq \(AF1,\s\up6(→))＝(－c，－b)， eq \(AF2,\s\up6(→))＝(c，－b).又 eq \(AF1,\s\up6(→))· eq \(AF2,\s\up6(→))＝0，所以 eq \(AF1,\s\up6(→))· eq \(AF2,\s\up6(→))＝－c2＋(－b)2＝0，即b2＝c2，即a2－c2＝c2，所以a2＝2c2，所以离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(2),2).
(2) 若射线AF1与C交于点B，且|AB|＝ eq \f(8,3)，求△ABF2的周长．
【解答】 由(1)可得b＝c，a＝ eq \r(2)c，则椭圆方程为 eq \f(x2,2c2)＋ eq \f(y2,c2)＝1，射线AF1的方程为y＝ eq \f(b,c)x＋b＝x＋c，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋c，,\f(x2,2c2)＋\f(y2,c2)＝1，))整理可得3x2＋4cx＝0，解得x＝0或xB＝－ eq \f(4,3)c，则yB＝－ eq \f(1,3)c，即B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)c，－\f(1,3)c))，所以|AB|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,3)c))\s\up12(2))＝ eq \f(4\r(2),3)c＝ eq \f(8,3)，解得c＝ eq \r(2)，则a＝2，所以△ABF2的周长C△ABF2＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
(第10题答)
11. 已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，直线x＝4是椭圆的一条准线．
(1) 求椭圆的标准方程；
【解答】 根据题意知，椭圆的焦点在x 轴上，且c＝1， eq \f(a2,c)＝4，则a2＝4，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程是 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1.
(2) 设点P在椭圆上，且|PF1|2－|PF2|2＝4，求cs ∠F1PF2的值；
【解答】 因为|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2－|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)(|PF1|－|PF2|)＝4(|PF1|－|PF2|)＝4，所以|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝ eq \f(5,2)，|PF2|＝ eq \f(3,2)，又|F1F2|＝2，所以|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，所以∠PF2F1＝90°，所以cs ∠F1PF2＝ eq \f(|PF2|,|PF1|)＝ eq \f(3,5).
(3) 设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))是椭圆内一点，在椭圆上求一点Q，使得|PQ|＋2|QF2|的值最小．
【解答】 如图，过点Q 作准线x＝4 的垂线，垂足为H，则由椭圆的第二定义知e＝ eq \f(1,2)＝ eq \f(|QF2|,|QH|)，所以|QH|＝2|QF2|，则|PQ|＋2|QF2|＝|PQ|＋|QH|.易知，当且仅当P，Q，H 三点共线时，|PQ|＋|QH|的值最小，此时|PQ|＋2|QF2|＝4－ eq \f(1,2)＝ eq \f(7,2)，点Q的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(6),3)，1)).综上，椭圆上存在点Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(6),3)，1))，使得|PQ|＋2|QF2|取最小值，且最小值为 eq \f(7,2).
(第11题答)
B组 能力提升练
12. (2024·佛山二模)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点A，B在C上，且满足 eq \(F1A,\s\up6(→))＝2 eq \(F2B,\s\up6(→))， eq \(F1B,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝4c2－ eq \f(a2,16)，则C的离心率为( B )
A. eq \f(2\r(2),3) B. eq \f(\r(6),3)
C. eq \f(2,3) D. eq \f(\r(3),3)
13. (2024·杭州二模)机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12 cm，开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于_ eq \f(3\r(17),17)_.
(第13题)
【解析】 如图(1)，设∠BCD＝α，由AB＝AC＝12，BC＝8，故cs α＝ eq \f(4,12)＝ eq \f(1,3).又CD＝6，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC cs α＝36＋64－2×6×8× eq \f(1,3)＝68，即BD＝2 eq \r(17).设椭圆中心为O，作圆锥的轴截面AMN，与底面直径BC交于点E，与椭圆交于点P，Q，连接PQ，AE交BD于点G，过点O作OT∥PQ，以点O为原点，DB为x轴，OT为y轴，建立如图(2)所示的平面直角坐标系，则 eq \f(AG,AE)＝ eq \f(2,3).又由△APQ∽△AMN得PQ＝ eq \f(2,3)MN＝ eq \f(16,3)，DG＝ eq \f(1,3)DB＝ eq \f(2\r(17),3)，从而OG＝ eq \r(17)－ eq \f(2\r(17),3)＝ eq \f(\r(17),3)，则得P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(17),3)，\f(8,3))).不妨设椭圆方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1，把a＝ eq \r(17)和点P的坐标代入方程，解得b＝2 eq \r(2)，则c＝ eq \r(17－8)＝3，故e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3,\r(17))＝ eq \f(3\r(17),17).
图(1)
图(2)
(第13题答)