第45讲　抛物线高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第45讲　抛物线高考数学一轮复习讲义练习，共14页。试卷主要包含了 抛物线y2＝4x的焦点坐标是， 设抛物线C， 若抛物线C， 已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

激活思维
1. (人A 选必一P132例1改)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( D )
A. (0，2)B. (0，1)
C. (2，0)D. (1，0)
【解析】 因为2p＝4，p＝2，所以 eq \f(p,2)＝1，所以焦点坐标为(1，0).
2. (人A 选必一P133练习T3改)已知抛物线y＝ eq \f(1,4)x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( D )
A. eq \f(17,16)B. eq \f(1,16)
C. 6D. 5
【解析】 由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.
3. (人A 选必一P135例4改)已知直线l过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是12，AB的中点到x轴的距离是4，则此抛物线的方程是( B )
A. x2＝12yB. x2＝8y
C. x2＝6yD. x2＝4y
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝8＋p＝12，所以p＝4，故抛物线的方程为x2＝8y.
4. (人A 选必一P135例4改)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为_x2＝3y_．
【解析】 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝ay，,y＝2x－2，))消去y，得x2－2ax＋2a＝0，则Δ＝4a2－8a＞0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 eq \f(x1＋x2,2)＝ eq \f(2a,2)＝3，即a＝3，满足Δ＞0，因此所求抛物线的方程是x2＝3y.
5. (人A 选必一P134例3改)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(3，t)与焦点F的距离|MF|＝p，则点M到坐标原点O的距离为_3 eq \r(5)_．
【解析】 抛物线y2＝2px的准线为x＝－ eq \f(p,2).由抛物线的定义得3－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)))＝p，解得p＝6，所以抛物线的方程为y2＝12x.由点M(3，t)在抛物线上，得t2＝36，所以|MO|＝ eq \r(32＋t2)＝3 eq \r(5)，所以点M到坐标原点O的距离为3 eq \r(5).
聚焦知识
1. 抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的_焦点_，直线l叫做抛物线的_准线_．
2. 抛物线的标准方程与几何性质
研题型 素养养成
举题说法
抛物线的定义和标准方程
例1 (1) (2025·金华一模)已知F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点M(3，m)在抛物线C上，且|MF|＝4，则抛物线C的方程为( C )
A. y2＝xB. y2＝2x
C. y2＝4xD. y2＝6x
【解析】 根据题意，连接MF，过M作MH垂直于抛物线C的准线x＝－ eq \f(p,2)，垂足为H，如图，由抛物线定义可知|MF|＝|MH|＝xM＋ eq \f(p,2)＝3＋ eq \f(p,2)＝4，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x.
(例1(1)答)
(2) 已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若∠FPA＝ eq \f(π,3)，则|PF|＝( D )
A. 1B. eq \r(2)
C. eq \r(3)D. 2
【解析】 因为|PF|＝|PA|，∠FPA＝ eq \f(π,3)，所以∠PAF＝∠PFA＝ eq \f(π,3).如图，设准线l与x轴交于点Q.因为PA∥QF，所以∠AFQ＝∠PAF＝ eq \f(π,3).因为|QF|＝p＝1，所以|AF|＝2，所以在等边三角形PAF中，|PF|＝2.
(例1(2)答)
(1) “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．
(2) 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向．当焦点位置不确定时，分情况讨论．
抛物线的几何性质
视角1 焦半径
例 2-1 已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P(x0，2)在C上，|PF|＝ eq \f(5,2)，则直线PF的斜率为( D )
A. ± eq \f(3,2)B. ± eq \f(2,3)
C. ± eq \f(4,3)D. ± eq \f(3,4)
【解析】 由焦半径公式可得2＋ eq \f(p,2)＝ eq \f(5,2)，解得p＝1，故抛物线C：x2＝2y，则x0＝±2.当x0＝2时，P(2，2)，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，直线PF的斜率为 eq \f(2－\f(1,2),2－0)＝ eq \f(3,4).当x0＝－2时，P(－2，2)，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，直线PF的斜率为 eq \f(2－\f(1,2),－2－0)＝－ eq \f(3,4)，综上，直线PF的斜率为± eq \f(3,4).
抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋ eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
变式 2-1 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若 eq \(FP,\s\up6(→))＝4 eq \(FQ,\s\up6(→))，则|FQ|＝( A )
A. eq \f(3,2)B. eq \f(2,3)
C. eq \f(3,4)D. eq \f(4,3)
【解析】 易知抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.如图，设点P(－1，t)，Q(x，y)，因为 eq \(FP,\s\up6(→))＝4 eq \(FQ,\s\up6(→))，即(－2，t)＝4(x－1，y)，可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4(x－1)＝－2，,4y＝t，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(t,4)，))即点Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(t,4))).由抛物线的焦半径公式可得|FQ|＝ eq \f(1,2)＋1＝ eq \f(3,2).
(变式2-1答)
视角2 焦点弦
例 2-2 已知抛物线y2＝2px(p是正常数)上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦点为F.给出下列条件：①x1x2＝ eq \f(p2,4)；②y1y2＝－p2；③ eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝－ eq \f(3,4)p2；④ eq \f(1,|FA|)＋ eq \f(1,|FB|)＝ eq \f(2,p).以上是“直线AB经过焦点F”的充要条件的个数为( B )
A. 0B. 1
C. 2D. 3
【解析】 必要性：设过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线AB的方程为x＝my＋ eq \f(p,2)，代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，则Δ＝4p2m2＋4p2＞0，可知y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm，则x1x2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my1＋\f(p,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my2＋\f(p,2)))＝m2y1y2＋ eq \f(pm,2)(y1＋y2)＋ eq \f(p2,4)＝ eq \f(p2,4)， eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝ eq \f(p2,4)－p2＝－ eq \f(3p2,4)， eq \f(1,|FA|)＋ eq \f(1,|FB|)＝ eq \f(x1＋x2＋p,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2))))＝ eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)(x1＋x2)＋\f(p2,4))＝ eq \f(x1＋x2＋p,\f(p2,2)＋\f(p,2)(x1＋x2))＝ eq \f(2,p)，故①②③④都是“直线AB经过焦点F”的必要条件．充分性：设直线AB的方程为x＝my＋t，则直线AB交x轴于点(t，0)，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋t，,y2＝2px，))得y2－2pmy－2pt＝0，Δ＝4p2m2＋8pt＞0，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－2pt.对于①，若x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝m2(－2pt)＋tm·2pm＋t2＝ eq \f(p2,4)，可得t＝± eq \f(p,2)，直线AB不一定经过焦点F，所以条件①是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件．对于②，若y1y2＝－2pt＝－p2，则t＝ eq \f(p,2)，直线AB经过焦点F，所以条件②是“直线AB经过焦点F”的充要条件．对于③， eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝t2－2pt＝－ eq \f(3,4)p2，可得t＝ eq \f(p,2)或t＝ eq \f(3p,2)，直线AB不一定经过焦点F，所以条件③是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件．对于④， eq \f(1,|FA|)＋ eq \f(1,|FB|)＝ eq \f(x1＋x2＋p,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2))))＝ eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)(x1＋x2)＋\f(p2,4))＝ eq \f(x1＋x2＋p,t2＋\f(p,2)(x1＋x2)＋\f(p2,4))＝ eq \f(2,p)，可得t＝± eq \f(p,2)，直线AB不一定经过焦点F，所以条件④是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件．综上，只有②是“直线AB经过焦点F”的充要条件．
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1) 弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角).(2)以弦AB为直径的圆与准线相切．(3) 过焦点且垂直于对称轴的弦(通径)的长为2p，通径是过焦点最短的弦．
变式 2-2 设抛物线C：y2＝2px(p＞0)，直线x－2y＋1＝0与C交于A，B两点，且|AB|＝4 eq \r(15)，则p＝_2_．
【解析】 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1＝0，,y2＝2px，))可得y2－4py＋2p＝0，则Δ＝16p2－8p＞0，又p＞0，可得p＞ eq \f(1,2)，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，所以|AB|＝ eq \r(5)|yA－yB|＝ eq \r(5)× eq \r((yA＋yB)2－4yAyB)＝4 eq \r(15)，即2p2－p－6＝0，因为p＞ eq \f(1,2)，解得p＝2.
视角3 与抛物线有关的最值问题
例 2-3 (2024·邯郸三调)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，P(x，y)为抛物线上一动点，点A(6，3)，则△PAF周长的最小值为( A )
A. 13B. 14
C. 15D. 16
【解析】 由题知F(2，0)，准线方程为x＝－2.如图，过P作准线的垂线，垂足为Q，过A作准线的垂线，垂足为B，所以△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AB|＋|AF|＝8＋5＝13，当P为AB与抛物线的交点P′时等号成立，即△PAF周长的最小值为13.
(例2-3答)
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，根据“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
变式 2-3 (2024·莆田二检)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上．若点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|MF|＋|MQ|的最小值为( C )
A. 5B. 4
C. 3D. 2
【解析】 由题意抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，它与x轴的交点为(－1，0)，焦点为F(1，0).如图，过点M向抛物线的准线作垂线，垂足为N.设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为P(3，0)，则|MF|＋|MQ|＝|MN|＋|MQ|≥|NQ|≥|NP|－r＝|NP|－1≥|DP|－1＝4－1＝3，且|MF|＋|MQ|＝3成立的条件是M，O重合且Q，E重合．综上所述，|MF|＋|MQ|的最小值为3.
(变式2-3答)
直线与抛物线
例3 (2025·唐山期初)已知P(2，2 eq \r(2))为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，经过点P且斜率为k的直线l与C的另一个交点为A，与l垂直的直线AB与C的另一交点为B.
(1) 若直线l经过C的焦点F，求直线l的方程；
【解答】 由P(2，2 eq \r(2))在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，得(2 eq \r(2))2＝4p，解得p＝2，故抛物线C：y2＝4x，所以焦点F(1，0).若直线l经过P，F两点，则直线l的方程为 eq \f(y－0,2\r(2)－0)＝ eq \f(x－1,2－1)，即2 eq \r(2)x－y－2 eq \r(2)＝0.
(2) 若直线PA与直线PB关于x＝2对称，求△PAB的面积．
【解答】 由题意知，直线PA的斜率k存在且不为0，设A(x1，y1)，直线PA的方程为y－2 eq \r(2)＝k(x－2)，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2\r(2)＝k(x－2)，,y2＝4x，))可得ky2－4y＋8 eq \r(2)－8k＝0，则Δ＝16－4k(8 eq \r(2)－8k)＞0，解得k≠ eq \f(\r(2),2).由根与系数的关系可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋2\r(2)＝\f(4,k)，,2\r(2)y1＝\f(8\r(2)－8k,k)，))解得y1＝ eq \f(4－2\r(2)k,k).因为直线PA与直线PB关于x＝2对称，则可得直线PB的斜率为－k.设B(x2，y2)，直线PB的方程为y－2 eq \r(2)＝－k(x－2)，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2\r(2)＝－k(x－2)，,y2＝4x，))可得ky2＋4y－8 eq \r(2)－8k＝0，则Δ＝16＋4k(8 eq \r(2)＋8k)＞0，解得k≠－ eq \f(\r(2),2).由根与系数的关系可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＋2\r(2)＝－\f(4,k)，,2\r(2)y2＝\f(－8\r(2)－8k,k)，))解得y2＝ eq \f(－4－2\r(2)k,k).y1＋y2＝ eq \f(4－2\r(2)k,k)＋ eq \f(－4－2\r(2)k,k)＝－4 eq \r(2)，则kAB＝ eq \f(y2－y1,x2－x1)＝ eq \f(y2－y1,\f(1,4)（y eq \\al(2,2)－y eq \\al(2,1)）)＝ eq \f(4,y2＋y1)＝ eq \f(4,－4\r(2))＝－ eq \f(\r(2),2)，又AB⊥PA，则k＝ eq \r(2)，因此可得y1＝ eq \f(4－2\r(2)×\r(2),\r(2))＝0，则x1＝0，故A(0，0)，y2＝ eq \f(－4－2\r(2)×\r(2),\r(2))＝－4 eq \r(2)，则x2＝8，故B(8，－4 eq \r(2))，如图，|PA|＝ eq \r(22＋(2\r(2))2)＝2 eq \r(3)，|AB|＝ eq \r(82＋(－4\r(2))2)＝4 eq \r(6)，所以S△PAB＝ eq \f(1,2)|PA|·|AB|＝ eq \f(1,2)×2 eq \r(3)×4 eq \r(6)＝12 eq \r(2).
(例3答)
阿基米德三角形
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，如图．
性质1 阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴．
性质2 若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线与以C点为中点的弦平行．
性质3 若直线l与抛物线没有公共点，则以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(若直线l的方程为ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)，－\f(bp,a))))).
性质4 底边AB的长为a的阿基米德三角形的面积最大值为 eq \f(a3,8p).
性质5 若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为p2.
例4 设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，抛物线过点P(p，1).
(1) 求抛物线C的标准方程与其准线l的方程；
【解答】 由p2＝2p×1，得p＝2，所以抛物线C的标准方程为x2＝4y，准线l的方程为y＝－1.
(2) 过点F作直线与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，证明：两条切线的交点在抛物线C的准线l上．
【解答】 根据题意，直线AB的斜率一定存在，又焦点F(0，1)，设过点F的直线AB的方程为y＝kx＋1，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以x eq \\al(2,1)＋x eq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16k2＋8.由y＝ eq \f(1,4)x2，得y′＝ eq \f(1,2)x，分别以A，B为切点的抛物线的切线方程为y－y1＝ eq \f(1,2)x1(x－x1)，y－y2＝ eq \f(1,2)x2(x－x2)，即y＝ eq \f(1,2)x1x－ eq \f(1,4)x eq \\al(2,1)，y＝ eq \f(1,2)x2x－ eq \f(1,4)x eq \\al(2,2)，两式相加得y＝ eq \f(1,4)(x1＋x2)x－ eq \f(1,8)(x eq \\al(2,1)＋x eq \\al(2,2))，化简得y＝kx－(2k2＋1)，即y＝k(x－2k)－1，所以两条切线交于点(2k，－1)，该点显然在抛物线C的准线l：y＝－1上．
随堂内化
1. (2024·南通一调)已知直线y＝x－1与抛物线C：x2＝2py(p＞0)相切于点M，则M到C的焦点的距离为( B )
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【解析】 设抛物线C的焦点为F，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,x2＝2py，))消去y可得x2－2px＋2p＝0.因为直线与抛物线相切，则Δ＝4p2－8p＝0，因为p＞0，所以p＝2，则M(2，1)，故|MF|＝yM＋ eq \f(p,2)＝1＋1＝2.
2. (2024·泉州三检)已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为l.若C恰过(－2，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))，(－2，－2)三点中的两点，则C的方程为_x2＝4y_；若过C的焦点的直线与C交于A，B两点，且A到l的距离为4，则|AB|＝_ eq \f(16,3)_．
【解析】 因为抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为l，且C恰过(－2，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))，(－2，－2)三点中的两点，因为点(－2，1)和(－2，－2)不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能过(－2，1)和(－2，－2)两点，又因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))在第一象限，(－2，－2)在第三象限，即抛物线C不可能同时过 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))和(－2，－2)两点，所以抛物线C经过(－2，1)与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))两点．设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((－2)2＝2p，,12＝2p×\f(1,4)，))解得p＝2，即x2＝4y.由抛物线的定义，可得yA＋ eq \f(p,2)＝yA＋1＝4，解得yA＝3，则x eq \\al(2,A)＝4yA＝12，可得xA＝±2 eq \r(3)，结合抛物线的对称性，不妨设A(2 eq \r(3)，3)，因为抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，则直线AB的方程为y＝ eq \f(\r(3),3)x＋1，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(\r(3),3)x＋1，,x2＝4y，))消去x得3y2－10y＋3＝0，可得yA＋yB＝ eq \f(10,3)，则|AB|＝yA＋yB＋p＝ eq \f(10,3)＋2＝ eq \f(16,3).
3. (2025·八省联考)(多选)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点，则( ABC )
A. p＝4
B. |MF|≥|OF|
C. 以M为圆心且过点F的圆与C的准线相切
D. 当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2 eq \r(3)
练案❶ 趁热打铁，事半功倍．请老师布置同学们及时完成《配套精练》．
练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(提高版)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．
2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考增分提速天天练》(提高版)，成书可向当地发行咨询购买．
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. (2024·十堰4月调研)已知P(2，m)是抛物线C：x2＝2py(p＞0)上的一点，F为抛物线C的焦点，且|PF|＝2，则抛物线C的焦点坐标是( C )
A. (1，0) B. (2，0)
C. (0，1) D. (0，2)
【解析】 由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2pm＝4，,m＋\f(p,2)＝2，))解得p＝2，则抛物线C的焦点坐标是(0，1).
2. 已知M为抛物线y2＝4x上的动点，F为抛物线的焦点，点P(1，1)，则|MP|＋|MF|的最小值为( A )
A. 2 B. 4
C. 8 D. 16
【解析】 设点M在准线x＝－1上的射影为N，根据抛物线的定义可知|MF|＝|MN|，所以|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|，要使|MP|＋|MF|最小，只需要|MP|＋|MN|最小即可，由于P(1，1)在抛物线内，故当M，N，P三点共线时，此时|MP|＋|MN|最小，故最小值为|PN|＝xP－(－1)＝2.
3. (2024·武汉2月调研)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝( A )
A. eq \f(2,3) B. eq \f(\r(3),3)
C. eq \f(3,4) D. eq \f(\r(3),2)
【解析】 如图，设M为准线与x轴的交点，因为∠PQF＝30°，且|PF|＝|PQ|，所以∠PFQ＝30°，∠QPF＝120°.因为FM∥PQ，所以∠QFM＝30°，而tan 30°＝ eq \f(|QM|,|MF|)＝ eq \f(|QM|,1)＝|QM|＝ eq \f(\r(3),3)，所以|QF|＝ eq \f(2\r(3),3)，所以|PF|＝|PQ|＝ eq \f(|QF|,2)÷cs 30°＝ eq \f(\r(3),3)÷ eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(2,3).
(第3题答)
4. (2025·南京零模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P在C上，点Q在l上．若|PF|＝2|QF|，PF⊥QF，则△PFQ的面积为( B )
A. eq \f(25,4) B. 25
C. eq \f(55,2) D. 55
【解析】 如图，过点P作PM⊥x轴于点M，准线l与x轴交于点N，抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为F(2，0).设P(x0，y0)，Q(－2，t)，由抛物线的定义可得|PF|＝x0＋2，|PM|＝|y0|，|FM|＝x0－2，|FN|＝4，|QN|＝|t|.因为|PF|＝2|QF|，所以 eq \f(|PF|,|QF|)＝2.因为PF⊥QF，所以△PFM∽△FQN，则 eq \f(|PF|,|QF|)＝ eq \f(|FM|,|QN|)＝ eq \f(|PM|,|FN|)＝2，所以 eq \f(x0－2,|t|)＝ eq \f(|y0|,4)＝2，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝8，,y0＝8，,t＝3))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝8，,y0＝－8，,t＝－3，))所以|PF|＝x0＋2＝10，|QF|＝5，所以S△PFQ＝ eq \f(1,2)·|PF|·|QF|＝ eq \f(1,2)×10×5＝25.
(第4题答)
二、 多项选择题
5. (2025·湛江期中)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上第一象限的点，且|AF|＝2，过点F的直线l与C交于P，Q两点，圆E：x2＋y2－4x＝0，则( ACD )
A. |OA|＝ eq \r(5)
B. 若|PQ|＝6，则直线l倾斜角的正弦值为 eq \f(\r(3),3)
C. 若△OPQ的面积为6，则直线l的斜率为± eq \f(\r(2),4)
D. 过点A作圆E的两条切线，则两切点连线的方程为x－2y＋2＝0
【解析】 设A(x0，y0)，则x0＋1＝2，x0＝1，y eq \\al(2,0)＝4，故|OA|＝ eq \r(x eq \\al(2,0)＋y eq \\al(2,0))＝ eq \r(5)，故A正确；设直线l：x＝my＋1，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))消去x得y2－4my－4＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，故|PQ|＝ eq \r(1＋m2)·|y1－y2|＝ eq \r(1＋m2) eq \r((y1＋y2)2－4y1y2)＝4(1＋m2)＝6，解得m＝± eq \f(\r(2),2)，则直线l倾斜角的正弦值为 eq \f(\r(6),3)，故B错误；S△OPQ＝ eq \f(1,2)·|OF|·|y1－y2|＝ eq \f(1,2)×1×4 eq \r(1＋m2)＝6，解得m＝±2 eq \r(2)，则直线l的斜率为± eq \f(\r(2),4)，故C正确；由上述分析可知x0＝1，y0＝2，A(1，2)，圆E可化为(x－2)2＋y2＝4，圆心E(2，0)，半径r＝2，易知y＝2为其中一条切线，切点为(2，2)，且两切点连线与AE垂直，kAE＝ eq \f(2－0,1－2)＝－2，两切点连线的斜率为 eq \f(1,2)，故两切点连线的方程为y－2＝ eq \f(1,2)(x－2)，即x－2y＋2＝0，故D正确．
(第5题答)
6. (2024·新高考Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过点P作圆A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则( ABD )
A. l与圆A相切
B. 当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ eq \r(15)
C. 当|PB|＝2时，PA⊥AB
D. 满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
【解析】 对于A，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，圆A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和圆A相切，故A正确；对于B，当P，A，B三点共线，即PA⊥l时，点P的纵坐标yP＝4.由y eq \\al(2,P)＝4xP，得xP＝4，故P(4，4)，此时切线长|PQ|＝ eq \r(|PA|2－r2)＝ eq \r(42－12)＝ eq \r(15)，故B正确；对于C，当|PB|＝2时，xP＝1，此时y eq \\al(2,P)＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2).当P(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝ eq \f(4－2,0－1)＝－2，kAB＝ eq \f(4＋2,0－(－1))＝2，不满足kPAkAB＝－1；当P(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝ eq \f(4－(－2),0－1)＝－6，kAB＝ eq \f(4＋2,0－(－1))＝6，不满足kPAkAB＝－1，所以PA⊥AB不成立，故C错误；对于D，设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t2,4)，t))，由PB⊥l得B(－1，t)，A(0，4)，又|PA|＝|PB|，故 eq \r(\f(t4,16)＋(t－4)2)＝ eq \f(t2,4)＋1，整理得t2－16t＋30＝0，Δ＝162－4×30＝136＞0，则关于t的方程有两个解，所以存在两个这样的点P，故D正确．
(第6题答)
三、 填空题
7. 若抛物线x2＝2py(p＞0)上一点M(1，m)到焦点的距离是2m，则p＝_1_．
【解析】 设焦点为F，则|MF|＝m＋ eq \f(p,2)＝2m(p＞0)，即m＝ eq \f(p,2).又点M(1，m)在抛物线上，代入方程可得2pm＝1，解得p＝1.
8. (2025·宁波期中)若抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为C上一点且|PF|＝3，O为坐标原点，则S△OPF＝_ eq \r(2)_．
【解析】 如图，不妨设点P(x，y)在第一象限，过点P作PH与抛物线的准线x＝－1垂直，垂足为H，则|PH|＝|PF|＝3.又|PH|＝x＋1，所以x＝2，所以y2＝4×2＝8，y＝2 eq \r(2)，所以S△OPF＝ eq \f(1,2)·|OF|·|y|＝ eq \f(1,2)×1×2 eq \r(2)＝ eq \r(2).
(第8题答)
四、 解答题
9. (2025·石家庄期中)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为2且位于x轴上方的点，点A到抛物线焦点的距离为 eq \f(5,2).
(1) 求抛物线C的方程；
【解答】 由题意得 eq \f(p,2)＋2＝ eq \f(5,2)，解得p＝1，故抛物线C的方程为y2＝2x.
(2) 若过点F的直线l交抛物线C于B，D两点(异于点O)，连接OB，OD，若S△OBF＝ eq \f(1,2)S△ODF，求BD的长．
【解答】 由题意得直线l的斜率不为0，设直线l：x＝ty＋ eq \f(1,2)，与y2＝2x联立得y2－2ty－1＝0.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理得y1＋y2＝2t，y1y2＝－1①，由S△OBF＝ eq \f(1,2)S△ODF，得|OF|·|y1|＝ eq \f(1,2)|OF|·|y2|，即y1＝－ eq \f(1,2)y2②，联立①②得t2＝ eq \f(1,8)，故|BD|＝ eq \r((1＋t2)(y1－y2)2)＝ eq \r(1＋t2) eq \r((y1＋y2)2－4y1y2)＝ eq \f(9,4).
10. (2025·杭州一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为 eq \f(9π,64).
(1) 求抛物线C的方程；
【解答】 因为△OFM的外接圆的面积为 eq \f(9π,64)，则其半径为 eq \f(3,8)，且△OFM外接圆的圆心一定在OF的垂直平分线上，其中焦点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－ eq \f(p,2)，所以圆心的横坐标为 eq \f(p,4)，则圆心到准线的距离为 eq \f(p,2)＋ eq \f(p,4)＝ eq \f(3,4)p＝ eq \f(3,8)，即p＝ eq \f(1,2)，所以抛物线C的方程为y2＝x.
(2) 若点(－1，1)关于直线y＝kx对称的点在C上，求k的值．
【解答】 设点(－1，1)关于直线y＝kx对称的点为(a，b)，则两点连线的中点坐标 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1,2)，\f(b＋1,2)))在直线y＝kx上，即 eq \f(b＋1,2)＝k· eq \f(a－1,2)，化简可得b＝k(a－1)－1①.由对称性可知，(－1，1)和(a，b)所在直线与y＝kx垂直，则 eq \f(b－1,a＋1)·k＝－1②，联立①②可得， eq \f(k(a－1)－1－1,a＋1)·k＝－1，解得a＝ eq \f(k2＋2k－1,k2＋1)，所以b＝ eq \f(k2－2k－1,k2＋1).又因为(a，b)在抛物线y2＝x上，则b2＝a，即 eq \f((k2－2k－1)2,(k2＋1)2)＝ eq \f(k2＋2k－1,k2＋1)，即k4＋4k2－4k3＋1－2(k2－2k)＝(k2＋1)(k2＋2k－1)，即k4－4k3＋2k2＋4k＋1＝k4＋2k3＋2k－1，即3k3－k2－k－1＝0，所以(3k2＋2k＋1)(k－1)＝0，其中3k2＋2k＋1＝0时，Δ＝4－4×3＝－8＜0，所以3k2＋2k＋1＞0恒成立，所以k－1＝0，即k＝1.
(第10题答)
B组 能力提升练
11. (2024·苏中苏北八市三调节选)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线l过点F交C于A，B两点，C在A，B两点的切线相交于点P，AB的中点为Q，且PQ交C于点E.当直线l的斜率为1时，|AB|＝8.
(1) 求抛物线C的方程；
【解答】 由题意，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝kx＋ eq \f(p,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\f(p,2)，,x2＝2py，))得x2－2pkx－p2＝0(*)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0，,x1＋x2＝2pk，,x1x2＝－p2.))当k＝1时，x1＋x2＝2p，此时|AB|＝y1＋y2＋p＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))＋p＝(x1＋x2)＋2p＝4p＝8，即p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2) 若点P的横坐标为2，求|QE|.
【解答】 由(1)知，x1＋x2＝2pk＝4k，则xQ＝2k，代入直线y＝kx＋1得yQ＝2k2＋1，则Q(2k，2k2＋1).因为x2＝4y，所以y′＝ eq \f(x,2)，则直线PA的方程为y－y1＝ eq \f(x1,2)(x－x1)，即y＝ eq \f(1,2)x1x－ eq \f(1,4)x eq \\al(2,1).同理，直线PB的方程为y＝ eq \f(1,2)x2x－ eq \f(1,4)x eq \\al(2,2)，所以xP＝ eq \f(\f(1,4)x eq \\al(2,1)－\f(1,4)x eq \\al(2,2),\f(1,2)(x1－x2))＝ eq \f(x1＋x2,2)＝2k，yP＝ eq \f(x1(x1＋x2),4)－ eq \f(x eq \\al(2,1),4)＝ eq \f(x1x2,4)＝－1，所以P(2k，－1).若xP＝2，则2k＝2，即k＝1，此时Q(2，3)，P(2，－1)，所以直线PQ的方程为x＝2.代入x2＝4y，得y＝1，所以E(2，1)，所以|QE|＝2.
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
对称轴
x轴
y轴
焦点坐标
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－ eq \f(p,2)
x＝ eq \f(p,2)
y＝－ eq \f(p,2)
y＝ eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下