第42讲　直线与圆、圆与圆的位置关系高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第42讲　直线与圆、圆与圆的位置关系高考数学一轮复习讲义练习，共8页。试卷主要包含了 已知圆C1， 已知圆O1， 过点P作圆O等内容，欢迎下载使用。

激活思维
1. (人A 选必一P91例1改)(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A. 相切
B. 相离
C. 相交过圆心
D. 相交但直线不过圆心
2. (人A 选必一P91例1改)已知直线x＋ eq \r(3)y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度是( )
A. 3 eq \r(2)B. 2 eq \r(3)
C. 2D. 1
3. (人A 选必一P98习题T1改)(多选)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，则下列说法正确的是( )
A. 圆C1与圆C2相交
B. 圆C1与圆C2外切
C. 两圆的圆心距为5
D. 两圆的圆心距为3
4. (人A 选必一P92例2改)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1， eq \r(3))处的切线方程为__________________．
5. 已知圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0交于A，B两点，则|AB|＝___________________．
聚焦知识
1. 直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r＞0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2. 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r eq \\al(2,1)(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r eq \\al(2,2)(r2＞0).
3. 几个常用结论
(1) 圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2.
(2) 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时，公共弦所在直线的方程为 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
研题型 素养养成
举题说法
直线与圆的位置关系
例1 (2021·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A. 若点A在圆C上，则l与圆C相切
B. 若点A在圆C内，则l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则l与圆C相离
D. 若点A在直线l上，则l与圆C相切
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1) 几何法：利用d与r的关系．
(2) 代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
变式1 (2025·台州一模)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，其中D＜0，若圆C上仅有一个点到直线x＋ eq \r(3)y－2＝0的距离为1，则 eq \f(E,D)＝___________________；圆C的半径取值可能为_________________(请写出一个可能的半径取值)．
圆的弦长、切线问题
视角1 弦长问题
例 2-1 (2023·新高考Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为 eq \f(8,5)”的m的一个值：__________________．
弦长的两种求法
(1) 代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2) 几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2 eq \r(r2－d2).
变式 2-1 (2024·娄底一模)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝16，过点D(0，1)的动直线l与圆C相交于M，N两点，当|MN|＝2 eq \r(15)时，直线l的方程为___________________.
视角2 切线问题
例 2-2 (1) (2025·绍兴一模)若曲线y＝eln x在点(e，e)处的切线与圆(x－a)2＋y2＝1相切，则a＝_________________.
(2) (2023·新高考Ⅰ卷)设过点(0，－2)且与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A. 1B. eq \f(\r(15),4)
C. eq \f(\r(10),4)D. eq \f(\r(6),4)
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．
变式 2-2 (1) 过点P(4，3)作圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的切线，则切线的方程为__________________．
(2) 由直线y＝x上的一点P向圆(x－4)2＋y2＝4引切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为( )
A. eq \r(2)B. 2
C. eq \r(6)D. 2 eq \r(2)
圆与圆的位置关系
例3 (1) (2025·景德镇期中)已知圆C1：x2＋y2－2ax－1＋a2＝0与圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)，若存在实数a使得两圆仅有一条公切线，则r的最小值为__________________．
(2) 已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋ eq \r(3)y－3＝0相交于A，B两点，则sin ∠AOB＝___________________．
变式3 (2024·合肥二检)(多选)已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，a∈R，则( )
A．两圆的圆心距|OC|的最小值为1
B. 若圆O与圆C相切，则a＝±2 eq \r(2)
C. 若圆O与圆C恰有两条公切线，则－2 eq \r(2)＜a＜2 eq \r(2)
D. 若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2
随堂内化
1. (2025·邯郸期中)已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)，则下列说法正确的是( )
A. 直线kx－y－2k＋1＝0与圆C始终有两个交点
B. 若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为[2 eq \r(2)，6 eq \r(2)]
C. 若点P(m，m＋1)在圆C上，则直线PQ的斜率为 eq \f(1,4)
D. 圆C与x轴相切
2. (2023·全国甲卷)已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 eq \r(5)，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A. eq \f(\r(5),5)B. eq \f(2\r(5),5)
C. eq \f(3\r(5),5)D. eq \f(4\r(5),5)
3. (2024·温州二模)(多选)已知圆C1：x2＋y2＝6与圆C2：x2＋y2＋2x－a＝0相交于A，B两点，若S△C1AB＝2S△C2AB，则实数a的值可以是( )
A. 10B. 2
C. eq \f(22,3)D. eq \f(14,3)
4. (2024·蚌埠三检)已知曲线C：x2＋(y－m)2＝2和C1：y＝x＋2，C2：y＝|x|＋2，若C与C1恰有一个公共点，则实数m＝___________________；若C与C2恰有两个公共点，则实数m的取值范围是__________________．
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. 若直线 eq \r(3)x－2y＝0与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝( )
A. eq \f(48,7) B. 5
C. eq \f(4\r(21),7) D. 25
2. (2024·石家庄三模)已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，则两圆公切线的条数为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3. (2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 2 eq \r(5)
4. (2024·苏锡常镇一调)莱莫恩(Lemine)定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为A(0，1)，B(2，0)，C(0，－4)，则该三角形的Lemine线的方程为( )
A. 2x－3y－2＝0 B. 2x＋3y－8＝0
C. 3x＋2y－22＝0 D. 2x－3y－32＝0
二、 多项选择题
5. (2024·郑州三模)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，圆C：x2＋y2－2x＝0，则( )
A. 当b2－2a＝1时，直线l与圆C相切
B. 当a＋b＝－2时，直线l与圆C不可能相交
C. 当a＝1，b＝－1时，与圆C外切且与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D. 当a＝1，b＝－1时，直线l与坐标轴相交于A，B两点，则圆C上存在点P满足 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PB,\s\up6(→))＝0
6. (2024·连云港、如皋联考)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r＞0)，P，Q分别是圆C1与圆C2上的动点，则( )
A. 若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4
B. 当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x－8y－1＝0
C. 当r＝2时，|PQ|的取值范围为[2，8]
D. 当r＝3时，过点P作圆C2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于 eq \f(π,2)
三、 填空题
7. (2024·邢台一模)已知a＞0，过点A(a，a)恰好只有一条直线与圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0相切，则a＝_________________，该直线的方程为___________________．
8. (2024·常德3月模拟)已知曲线f(x)＝x ln x－1在x＝1处的切线l与圆C：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B两点，则|AB|＝___________________．
9. (2024·张家口一模)过点P(1，2)作圆O：x2＋y2＝10相互垂直的两条弦AB与CD，则四边形ACBD的面积的最大值为__________________．
四、 解答题
10. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x－4y＋4＝0与圆C相切．
(1) 求圆C的方程；
(2) 若过点(0，－3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，且 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝3，O为坐标原点，求直线l的方程．
11. 已知圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.
(1) 若点Q的坐标为(－2，4)，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求直线MN的方程．
(2) 过点A(1，0)任作一条不与y轴垂直的直线与圆C相交于E，F两点，在x非正半轴上是否存在点B，使得∠ABE＝∠ABF？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
B组 能力提升练
12. (2024·岳阳二模)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是圆x2＋y2＝16上的两点，若∠AOB＝ eq \f(π,2)，则|x1＋y1－2|＋|x2＋y2－2|的最大值为( )
A. 16 B. 12
C. 8 D. 4
13. (2024·汕头一模)(多选)如图，OA是连接河岸AB与OC的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：①新桥BC与河岸AB垂直；②保护区的边界为一个圆，该圆与BC相切，且圆心M在线段OA上；③古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A，C分别位于点O正北方向60 m、正东方向170 m处，tan ∠BCO＝ eq \f(4,3).根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论正确的有( )
(第13题)
A. 新桥BC的长为150 m
B. 圆心M可以在点A处
C. 圆心M到点O的距离至多为35 m
D. 当OM的长为20 m时，圆形保护区的面积最大
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d___________________r
Δ__________________0
相切
d___________________r
Δ___________________0
相离
d___________________r
Δ___________________0
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
_________________
__________________解
外切
__________________
_________________实数解
相交
__________________
_________________实数解
内切
d＝_________________(r1≠r2)
一组实数解
内含
0___________d_______|r1－r2|(r1≠r2)
无解