第46讲　第1课时　圆锥曲线中的定值与定点问题高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第46讲　第1课时　圆锥曲线中的定值与定点问题高考数学一轮复习讲义练习，共7页。试卷主要包含了 已知F1，F2分别为双曲线E， 已知椭圆C， 已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
研题型 素养养成
举题说法
定点问题
例1 (2024·九江二模)已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 eq \r(5)，点P(3，4)在C上．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若直线PA，PB的斜率互为倒数，求证：直线l过定点．
思路一：设直线y＝kx＋m，寻找k和m的一次关系；
思路二：用两点式求动直线的方程，寻找定点．
定直线问题
例2 (2024·岳阳期初)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线交C于A，B两点，且|AB|＝4.
(1) 求抛物线C的方程，并写出焦点坐标；
(2) 过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点(异于A，B两点)，且M，A位于x轴同一侧，直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在定直线上．
求解动点在定直线上的方法
(1) 先猜后证：先根据特殊情况猜想，然后证明(一般情况下，定直线都是与坐标轴平行或垂直的直线，所以思路按照求动点的横坐标或纵坐标是定值去展开).
(2) 参数法：用题目中参数表示动点的横、纵坐标，然后消参，即可得到直线方程．
定值问题
例3 (2025·温州一模)已知点A(m，2)在抛物线C：y2＝2px(0＜p＜2)上，且到抛物线C的焦点F的距离为 eq \f(5,2).
(1) 求抛物线C的方程；
(2) 过点F的直线交抛物线C于B，C两点，且∠BAC＝90°，求直线BC的方程．
定值问题的解题思路
(1) 引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值．
(2) 特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
随堂内化
1. (2025·南京、盐城期末)已知F1，F2分别为双曲线E： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点F1到双曲线E的渐近线的距离为2 eq \r(2)，A为双曲线E的右顶点，且|AF1|＝2|AF2|.
(1) 求双曲线E的标准方程；
(2) 若四边形ABCD为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线BD过定点．
配套精练
1. (2025·邯郸期中节选)如图，D为圆O：x2＋y2＝1上一动点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA并延长至点W，使得|WA|＝1，点W的轨迹记为曲线C.
(第1题)
(1) 求曲线C的方程；
(2) 若过点K(－2，0)的两条直线l1，l2分别交曲线C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点．
2. (2024·合肥二检)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，左顶点为A，短轴长为2 eq \r(3)，且经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 过点F的直线l(不与x轴重合)与C交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4的交点分别为M，N，记直线MF，NF的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．
3. (2024·山西一模)已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)经过点A(3，2)，其右焦点为F，且直线y＝2x是C的一条渐近线．
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 设M(m，n)是C上任意一点，直线l： eq \f(mx,a2)－ eq \f(ny,b2)＝1，求证：l与双曲线C相切于点M；
(3) 设直线PT与C相切于点T，且 eq \(FP,\s\up6(→))· eq \(FT,\s\up6(→))＝0，求证：点P在定直线上．
4. (2024·河南济、洛、平、许三模节选)已知M(x0，y0)是椭圆C： eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1上的动点，过原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2引两条切线，分别与椭圆C交于P，Q两点(如图所示)，记直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，且k1·k2＝－ eq \f(3,4).
(第4题)
(1) 求圆M的半径r；
(2) 求证：|OP|2＋|OQ|2为定值．