初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）第二章 实数3 二次根式学案

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\l "_Tc6826" 【题型1 判断二次根式能否合并】 PAGEREF _Tc6826 \h 2
\l "_Tc2051" 【题型2 二次根式的加减运算】 PAGEREF _Tc2051 \h 3
\l "_Tc16393" 【题型3 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc16393 \h 5
\l "_Tc15797" 【题型4 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc15797 \h 8
\l "_Tc8615" 【题型5 整数部分和小数】 PAGEREF _Tc8615 \h 11
\l "_Tc13405" 【题型6 二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc13405 \h 13
\l "_Tc70" 【题型7 二次根式的规律探索】 PAGEREF _Tc70 \h 16
\l "_Tc4441" 【题型8 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc4441 \h 20
知识点1 二次根式的加减运算
二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行：
知识点2 二次根式的混合运算
1. 运算法则
与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．
2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算．
3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式．
【题型1 判断二次根式能否合并】
【例1】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若最简二次根式2a−b+6与3a−b4a+3b是能合并，那么（ ）
A．a=2，b=1B．a=1，b=−1C．a=1，b=0D．a=1，b=1
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式得出方程组是解题关键．根据最简二次根式和二次根式的定义，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．
【详解】解：由题意得：
4a+3b=2a−b+63a−b=2，
解得：a=1b=1．
故选：D．
【变式1-1】（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）如果最简二次根式a−2与27可以进行合并，则a2的值为（ ）
A．7B．16C．25D．81
【答案】D
【分析】同类二次根式的定义：化简为最简二次根式后，被开方数是相同的， 由此得到a−2=7，求解即可．本题考查了乘方，同类二次根式的定义，正确理解题意，得到a−2=7是解题的关键．
【详解】解：∵最简二次根式a−2与27可以合并，
∴a−2=7，
解得：a=9，
∴a2=92=81
故选：D．
【变式1-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）若a与12是可以合并的二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式a为 ．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式的运算，先化简二次根式，根据合并即可，解题的关键是掌握二次根式的化简．
【详解】解：12=23，
∵a与12是可以合并的二次根式，
∴a可以为3，
故答案为：3（答案不唯一）．
【变式1-3】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各式经过化简后与−−27x3的被开方数不相同的二次根式是（ ）
A．−x3B．−x327C．19−3x3D．27x3
【答案】D
【详解】解：−−27x3=3x−3x，
A、−x3=−3x3，与−−27x3的被开方数相同，不符合题意；
B、−x327=−x−3x9，与−−27x3的被开方数相同，不符合题意；
C、19−3x3=−x9−3x，与−−27x3的被开方数相同，不符合题意；
D、27x3=3x3x，与−−27x3的被开方数不相同，符合题意；
故选：D．
【题型2 二次根式的加减运算】
【例2】（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）化简：18+11+111+14+114+17+117+20+120+23 +123+26+126+29+129+32结果是（ ）
A．1B．223C．22D．42
【答案】B
【分析】本题考查了分母有理化及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将每个分式进行分母有理化，再计算加减即可得出答案．
【详解】解：18+11=11−811+811−8=11−83，
同理可得111+14=14−113⋅⋅⋅129+32=32−293，
18+11+111+14+114+17+117+20+120+23+123+26+126+29+129+32
=11−83+14−113+17−143+20−173+23−203 +26−233+29−263+32−293
=32−83
=42−223
=223
故选B．
【变式2-1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）下列等式正确的是（ ）
A．23+32=55B．914=312
C．(π−3.14)2=3.14−πD．3+5−3+5=2
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算；根据二次根式的性质与混合运算逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 23与32不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. 914=374=372，故该选项不正确，不符合题意；
C. (π−3.14)2=π−3.14，故该选项不正确，不符合题意；
D. 3+5−3+5=−3+5=2，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式2-2】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当a>b时，ab=a+b； 当a≤b时， ab=a−b，其他运算符号的意义不变，计算：23−223=
【答案】−2−23/−23−2
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，实数新定义运算即二次根式的大小比较，先比较2与3，22与3的大小，再根据新定义列出式子，利用二次根式加减运算法则计算即可．
【详解】解：∵23，
∴ 23−223 =2−3−22+3
=2−3−22−3
=−2−23，
故答案为：−2−23．
【变式2-3】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）小文和小博同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就减去球上的数；若摸到灰色球，就加上球上的数．
(1)如图1，若小文摸到图示两个小球，请计算出结果；
(2)如图2，若小博摸到图示四个小球，最后的计算结果能和48合并吗？说明理由．
【答案】(1)3
(2)最后的计算结果能和48合并，理由见解析
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，同类二次根式，利用二次根式的性质化简，正确化简是解题的关键．
（1）直接计算27−12即可；
（2）先计算−12−212+27+2，再化简48，判断是否为同类二次根式即可．
【详解】（1）解：由题意得，27−12=33−23=3；
（2）解：最后的计算结果能和48合并，理由如下：
由题意得，−12−212+27+2=−23−2+33+2=3，
而48=43，
∵3与43是同类二次根式，故能合并，
∴最后的计算结果能和48合并．
【题型3 二次根式的混合运算】
【例3】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：a※b=a+ba−b，例如：5※4=5+45−4=3．
（1）3※6= ；
（2）2−3※7※5= ．
【答案】 −1 −2+64
【分析】本题考查定义新运算，二次根式分母有理化，平方差公式等．
（1）根据题意利用题中例子计算即可；
（2）根据题意先将7※5展开计算，再计算2−3※3，最后分母有理化即可．
【详解】解：（1）由定义新运算知3※6=3+63−6=−1，
故答案为：−1；
（2）2−3※7※5
=2−3※7+57−5
=2−3※122
=2−3※3
=2−3+32−3−3
=22−23
=2×2+232−232+23
=22+264−12
=22+26−8
=−2+64，
故答案为：−2+64．
【变式3-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，它是一个数值转换机，若输入的a值为2，则输出的结果应为 ．
【答案】−233
【分析】本题考查了程序框图，以及二次根式的混合运算，将a为2代入程序框图计算求解，即可解题．
【详解】解：根据题意得22−4÷3
=2−4÷3
=−2÷3
=−233．
【变式3-2】（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）计算：
(1)27÷3−13×18+24
(2)23+3223−32−5−12
【答案】(1)3+6
(2)−12+25
【分析】（1）根据二次根式混合运算法则进行解答即可；
（2）根据平方差公式、完全平方公式及二次根式混合运算法则进行解答即可．
本题考查二次根式的混合运算及平方差公式和完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的混合运算法则．
【详解】（1）解：27÷3−13×18+24
=33÷3−33×32+26
=3−6+26
=3+6；
（2）解：原式=232−322−5−25+1
=12−18−6+25
=−12+25．
【变式3-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知x=2−3
(1)计算：x2=________，1x=________；
(2)求代数式7+43x2+2+3x+3−1的值．
【答案】(1)7−43，2+3
(2)3+1
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及平方差公式和完全平方公式计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）将x=2−3分别代入下式，利用完全平方公式计算2−32，分母有理化求解12−3即可；
（2）将x=2−3代入7+43x2+2+3x+3−1，利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：∵x=2−3，
∴x2=2−32=4+3−43=7−43，
1x=12−3=2+32−32+3=2+3；
（2）解：原式=7+437−43+2+32−3+3−1
=49−48+4−3+3−1
=3+1．
【题型4 比较二次根式的大小】
【例4】（24-25八年级下·福建厦门·期中）在解决问题“已知a=12+3，求2a2−8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵ a=12+3=2−32+32−3=2−3，
∴ a−2=−3，∴ a−22=3，a2−4a+4=3，
∴ a2−4a=−1，∴ 2a2−8a+1=2a2−4a+1=2×−1+1=−1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)比较大小：213−11与215−13；
(2)若b=12+2，且a+2b2=9，求a的值；
(3)若c=11+2，d=13+22，求5c2+4cd+2d2+2c−6d+10的值．
【答案】(1)213−1115−2，
∴2−3