初中13.2.2 三角形的中线、角平分线、高同步练习题

这是一份初中13.2.2 三角形的中线、角平分线、高同步练习题，文件包含专题强化02全等三角形的辅助线与模型原卷版docx、专题强化02全等三角形的辅助线与模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共101页， 欢迎下载使用。

【模型探究】
题型一：一线三等角模型
【例1】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：；
（2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
（3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______．
【答案】（1）证明见解析．
（2），证明见解析．
（3）
【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键．
（1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可．
（2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可．
（3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
．
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E，
由（1）可得：，
，
，
，
，
，
，
．
【变式1】．（23-24八年级上·广东汕头·期中）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
(1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长；
(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，为等腰直角三角形；
①如图3，当时，求点C的坐标；
②直接写出其他符合条件的C点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②，，
【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答．
（2）因为，，得，因为，即可通过证明，再运用全等三角形的性质，即可作答．
（3）①过点B作轴，过点A作的延长线，易得，通过证明，再设点B的坐标为，，根据，进行列式作答即可；②分类讨论，当，，和分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可．
【详解】（1）解：∵于D，，
∴
即，
∵
∴
∵
∴
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∵
∴
则
∵
∴
即；
（3）解：①过点B作轴，过点A作的延长线，如图：
因为过点A作的延长线
∴
∵过点B作轴，
∴
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得，
故点C的坐标为；
②，，过点B作轴，过点A作射线轴，且过点B作，如图：
易知
因为
∴
∵过点B作轴，过点B作
∴
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
此时无解，
当，，过点A作直线轴，与轴交于点D，过点B作于点E，如图：
∵，
∴
即
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得
故点C的坐标为；
当，，过点A作直线轴，过点B作于点E，过点C作于点D，如图：
∵，
∴
即
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得
故点C的坐标为；
当时，，过点C作直线轴，过点B作于点E，过点A作于点D，如图：
∵，
∴
即
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得
故点C的坐标为；
综上，其他符合条件的C点的坐标为，，
【变式2】．（24-25八年级上·广东汕头·期末）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
(1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长；
(3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，在平面平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)存在，点B的坐标为或或．
【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明；
（2）同（1）证明，得到，，求出即可；
（3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵于D，于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：在平面平面直角坐标系中存在点B，使得为等腰直角三角形，理由如下：
分三种情况：
①当时，，如图3，过点A作轴，过点C作于E，过点B作于F，
同（1）得：，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
②当时，，如图4，过点C作轴，过点A作于E，过点B作于F，
同（1）得：，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
③当时，，如图5，过点B作轴，交x轴于F，过点C作于E，
同（1）得：，
∴，，
设，则，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
综上，使为等腰直角三角形，点B的坐标为或或．
题型二：手拉手模型
【例2】．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的
(1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”．
求证，请你完善下列过程．
证明：∵，
∴（ ）①．
即．
…
（ ）②
(2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使）
【答案】(1)等式的性质，
(2)42°
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明；
（2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴（等式的性质）．
即．
又∵，
∴；
（2）解：在上取一点E，使，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设和交于点O，
∵，
∴．
【变式1】．（24-25九年级上·四川广元·期末）【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．
（1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：；
【模型应用】
（2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______；
【类比探究】
（3）如图3，已知和都是等边三角形．
①当点在线段上时，过点作于点．求证：
②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为______．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析；②．
【分析】（1）由和都是等边三角形得，，，进而推出，证明即可得证；
（2）由和都是等边三角形得，，，从而推出，进而证明得，即可得证；
（3）如图，当点在线段上或当点在线段的延长线上时，证明，可得，结合证明从而得出结论．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：①和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
②如图，当点在线段的延长线上时，
和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，，
，
，
．
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题关键．
【变式2】．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】
小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．

【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ．
【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
【深化模型】（3）如图3，，，求证：
【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键．
（1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论；
（3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论．
【详解】解：（1）∵，
∴，
即，在和中，，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2），，理由如下：
∵，
∴，
即，在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（3）证明如图，作，，连接，

∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴D、C、H三点共线，
∴，
∵，
∴，又，，
∴，
∴，
∴．
题型三：半角模型
【例3】．（22-23九年级上·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接
(1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程．
(2)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程．
【答案】(1)．证明见解析
(2)．证明见解析
【分析】（1）利用旋转的性质即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论；
（2）利用旋转的性质得到全等三角形，再利用全等三角形得到边相等，进而得出结论．
【详解】（1）解：．证明如下：
由旋转，可知：
∴点共线
∵
∴
在和中

∴
∴
∵
∴
（2）解：．证明如下：

在上取．连接，
∵，
∴
∴
∵
∴
在和中，

∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键．
【变式1】．（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程．
（1）延长到点G，使 ，连接．
（2）求证：．
【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长
【答案】（1）DF；（2）见解析；问题应用：
【分析】[问题发现]（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案；
（2）结合正方形的性质，证明即可；
[问题应用]根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接，
故答案为：；
（2）证明：由（1）得，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
[问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到，
，，，，，
，
、、三点共线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴五边形的周长为
故答案为：．
【变式2】．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系．
(1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论；
（3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论．
【详解】（1）解：．
延长到点G．使．连接，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到，使，连接．
，，
，
在与中，
，
，
，，
．
．
又，
，
．
．
，
（3）解：结论：．
证明：如图③中，在上截取，使，连接．
∵，
∴．
在与中，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
题型四：倍线中线模型
【例4】．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点 E，使，请根据小明的方法思考：
（1） 由已知和作图能得到的理由是 ．
A． B． C． D．
（2）求得的取值范围是 ．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3） 如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：．
【答案】（1）B；（2）C；（3）详见解析
【分析】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，解题的关键是正确作辅助线，构造全等三角形．
（1）根据三角形全等的判定定理即可进行解答；
（2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；
（3）延长至，使，可证明，可得，，从而得到，再根据以及三角形外角的性质可得，可证明，可得到，即可求证．
【详解】解：（1）延长到点 E，使，
∵是的中线，
∴，
在和中，
∵，，，
∴；
故选：B
（2）∵，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴；
故选：C
（3）延长至，使，
是的中线，
，
∵，，
，
，，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
．
【变式1】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，已知在中，是边上的中线，分别以为直角边作直角和，其中，连接．
(1)若，求的取值范围；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；
（1）延长至点，使，连接，证明，可得，再根据三角形三边关系即可解答．
（2）根据可得，推出，等量代换得到，再证明，得到，进而可得结论．
【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接，
因为是边的中线，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
（2）证明：因为，
所以，
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
【变式2】．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践
【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是 ___________；
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[初步运用]
（3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长．
【答案】（1）C；（2）；（3）5
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）由全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：C；
（2）∵，即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）延长到M，使，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵是中线，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
题型五：截长补短模型
【例5】．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．
【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法．
(1)思路梳理：
(2)类比引申
如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，根据四边形为正方形，，，可得点、共线，由旋转，，可证。得出即可；
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，可证点、、在一条直线上。由旋转，，，可证，得出即可．
【详解】（1）解：四边形为正方形，
,,
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
,
点、、共线，
,
,,
,即，
在和中，
，
，
,
,即,
故答案为：；
（2），理由如下，
如图所示，
,
把绕点逆时针旋转至,可使与重合，
,
点、、在一条直线上，
,
,,,
，
,
,
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角的和差计算，线段和差计算等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
【变式1】．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）综合与实践：
【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题．
【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程；
【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ；
【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3），见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）沿着小李的思路，先证，再证，即可得出结论；
（2）设，则，然后计算周长即可；
（3）在上截取，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出结论．
【详解】解：（1）， 理由如下：
沿着小李的思路进行证明，
在正方形中，有，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）设，则，
∴ 的周长为：，
故答案为：8；
（3），理由如下：
如下图中，在上截取，使，连接，

∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，且，
∴．
【变式2】．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型
在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法．
如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下：
如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系．
(1)提出问题：之间的数量关系为________________．
(2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．）
【答案】(1)
(2)（1）中的结论还成立，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
（1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答；
（2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答；
（3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答．
【详解】（1）解：延长到点H，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：
延长到点M，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长到点P，使，连接，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴的周长．
故答案为：
题型六：旋转法模型
【例6】．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板，
【问题初探】
（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：；
【类比探究】
（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形．
（1）由判定，推出；
（2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【变式1】．（24-25九年级上·山东济宁·期中）综合与实践
【问题重现】
义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等．下面是一道关于三角形的中线有关问题：
如图1，是的中线，，，求的取值范围．
问题解决思路：延长到，使得，连接，可证（相当于将绕点顺时针旋转得到，把，，变换到中，利用三角形的三边关系可得，所以．根据上面信息，解决下面问题．
【问题变式】
如图2，点，，分别在的边，，上，是边上的中点，，连接．
（1）求证：；
（2）当时，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
【问题拓展】
（3）如图3，四边形中，，，，点，分别在四边形的边，上，且，连接．探索线段，，之间的数量关系并证明．

【答案】（1）详见解析
（2），证明见解析
（3），证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定即性质，勾股定理，三角形的三边关系，合理作出辅助线是解题的关键．
（1）延长至，使，证出得到，再证出，得到，再根据三角形的三边关系求解即可；
（2）根据全等的性质进行角的等量代换求出，再利用勾股定理求解即可；
（3）延长至，使，证出得到，，通过角的等量代换得到，推出后即可求解．
【详解】解：（1）证明：延长至，使，连接，，如图所示：
∵是边上的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）猜想：，
证明：由（1）可知，，
又∵，
∴，
∴，即，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴；
（3）答：，
证明：延长至，使，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴在和中：
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
【变式2】．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】
和是两个都含有角的大小不同的直角三角板．
（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________．
A． B． C． D．
【类比探究】
（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．

【答案】（1）B；（2），；（3）
【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可；
（2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到；
（3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可．
【详解】解：（1），，，
．依据的是判定定理，
故选：B；
（2），，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
延长与交于点O，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵A到直线的距离为7，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【专题精练】
1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，点为定角的平分线上的一个定点，，，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与，相交于，两点．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)为等边三角形，证明见解析
(2)的值是定值，
【分析】（1）如图，作于E，于F，只要证明即可；
（2）证明，可得，由，可得，进而可求的值．
【详解】（1）为等边三角形．
证明：如图作于，于．
，
，
，
又，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
，
．
又，，
，
为等边三角形．
（2）的值是定值．
理由：在和中，
，
，
，，
又，
，
．
在中，，
，
，，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．（22-23八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，、是的高，M为上一点，且，N为延长线上一点，且．试判断与的关系，并证明你的结论．
【答案】且，证明见解析
【分析】由于、是高，则，根据等角的余角相等得到，然后根据可判断，则，，由于，则，所以．
【详解】解：且．
证明：∵、是高，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的高，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）构建数学基本模型是我们解决复杂问题的一种重要思想，优秀的同学总会积累很多基本模型，提高自己的综合能力．一线三直角就是一重要的模型．
(1)如图1，中，，，过点任画一条直线，分别过、作此直线的垂线，垂足为、，请指出此图中全等形，并证明．
(2)如图2，在直角坐标系数中，若点坐标为，以为直角边作直角三角形，且，
①若点的坐标为，求点坐标；
②如图3，若点在轴正半轴上运动，过点作线段，且，连接交轴于点，当点运动时，的长度是否发生变化，若变化说明理由，若不变，求出长度．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)①；②不变，长度为．
【分析】本题考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，掌握一线三直角模型是解题关键．
（1）根据同角的余角相等，得到，再根据证明全等即可；
（2）①过点作轴于点，证明，得到，，即可得出点坐标；
②过点作轴于点，同①理可证，得到，，再证明，得到，即可得解．
【详解】（1）解：，证明如下：
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：①如图2，过点作轴于点，
点坐标为，点的坐标为，
，，
直角三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点坐标为；
②如图3，过点作轴于点，
同①可得，
，，
，轴，
，
，
，
在和中，
，
，
，
当点运动时，的长度不发生变化，长度为．
4．（24-25八年级下·广西贺州·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
【模型呈现】
（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系；
【模型应用】
（2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，．
①求的长；
②如图3，延长，交于点，求的长度．
【答案】（1），（2）①，②
【分析】本题考查了“一线三垂直”的全等模型，掌握模型的构成与结论是解题关键．
（1）证即可求解；
（2）①证即可求解；②设，根据，即可求解；
【详解】解：（1）、与之间满足的数量关系为：；
理由如下：
由题意得：，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①在等腰直角中，，，
，
于点，于点，
，
，
，
在和中，
，
，，
；
②设，
在中，
在中，
在中，
，解得
5．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：．
【理解与运用】
（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围；
（3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证；
（2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案；
（3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证．
【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示：
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：延长至点，使，连接，如图所示：
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
在中，由三边关系可得，即，
∴；
（3）证明：延长至点，使，连接，如图所示：
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F．
(1)求的面积；
(2)证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在中，求出即可解决问题；
（2）在上取一点M，使得，只要证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】（1）解：在中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：在上取一点M，使得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则；
（）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长；
【详解】（1）证明：如图所示，连接，，
∵是的中点，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
8．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F．
(1)求证：，；
(2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想与的数量关系，并说明理由；
②你能求出的度数吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②能，，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用．
（1）由等腰直角三角形求出，证出，推出，，根据求出，求出即可；
（2）①如图3中，结论：，只要证明即可；
②由，得到，再结合，得到 ．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
如图，与交于点，
，
，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：①，理由如下：
∵与是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
∴，
；
②能，理由如下：
与交于点，
∵，
，
∵，，，
∴，
即的度数为．
9．（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
(1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ；
(2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度．
【答案】(1)；
(2)；；理由见解析
(3)4；4
【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
（1）由，可得，根据可得，则可得出结论；
（2）由，得，即可证，有，，而是等腰三角形且，知，故，即可得，；
（3）证明，当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，则可得出答案．
【详解】（1）∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
故答案为：；；
（2）解：与的数量关系是，位置关系是
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是等腰三角形且，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵是等腰直角三角形，
∴，
将绕M点顺时针旋转得（N与重合），
连接，
∴，
∴，，
∴，
当有最小，即最小，当轴时，
由，，
∴，，
∴，最小值为4．
10．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N．
(1)求证：；
(2)试猜想与有何特殊关系，并证明；
(3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）．
【答案】(1)见解析
(2)且，理由见解析
(3)②
【分析】本题考查了常见的全等三角形模型――“手拉手模型”，熟记模型的构成条件、推理过程及结论是解题关键．
（1）推出，即可求证；
（2）由可得，结合可得，即可得；
（3）作，由可得，，即可推出，从而结论②正确；假设结论①正确，可得出，，与条件不符．
【详解】（1）证明：∵，，
，
∴
∵
∴
（2）解：且，理由如下：
∵，
∴，
，
，
，
，
∴
（3）解：作，如图所示：
∵，
∴，
∵
∴
∵
∴平分
假设①正确，即平分，
则有：
∴
即：
∵平分，
，
，
，
，
故只有当时，①才成立；
故答案为：②
11．（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线．

(1)求证：CH平分，并求的度数；
(2)试探究之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）作、，由，可知，，由全等三角形性质知，据此得出平分，在和中利用三角形内角和可得到，即可求出的度数；
（2）在上截取，连接，构造全等三角形，再根据全等三角形的性质，推理得出为等边三角形，进而得到，最后根据，得到．
【详解】（1）如图①，作，垂足为点，作，垂足为点，
和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
；
，且，
，，
，
，
又，，
点在的平分线上，即平分；
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）．
证明：如图，在上截取，连接，
，
，
又，
，
，且，
又，
，即，
为等边三角形，
，
又，
．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，结合等边三角形的性质，通过作辅助线构造全等三角形是正确解答本题的关键．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．

【问题背景】
如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________．
【探索延伸】
如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．

【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】
【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解．
【详解】解：【问题背景】，理由如下，
如图所示，

∵，，
∴将绕点逆时针旋转得，与重合，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴点共线，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【初步探索】根据题意，，延长至点，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【探索延伸】仍然成立，理由如下，
如图所示，延长至点，使得，

∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
在中，
，
∴，
∴，且，
∴；
【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，

根据题意可得，，，，，
∴在中，，，则，
∴，
∵，
∴，
∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时，
∴（海里），（海里），
如图所示，延长至点，使得，则，

在中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，
，
∴，
∴，
∴（海里），
∴此时两舰艇之间的距离为海里，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
13．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明；
【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．

【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题．
[尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论；
[模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论；
[拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可．
【详解】解：【尝试探究】．
证明：如图，把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，

∵，
∴，点、、共线，
∴，
即．
在和中，，
∴，
∴，
∴；
【模型建立】成立，如图，

证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，
由旋转得：，，，，
同理得：点，，在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（2）中的结论还成立，；
【拓展应用】∵是边长为8的等边三角形，
∴，
∵，
∴，
将绕点旋转，得到，

∵，，
∴和重合，，，，
∴，
∴三点共线，
同法（2），可得：，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题．
14．（24-25七年级上·山东泰安·期末）【问题初探】
（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到．
请你参考小颖的解题思路写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：．
【学以致用】
（3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8
【分析】（1）利用证明，得出即可；
（2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得；
（3）取中点，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点作，，垂足分别为，，
，
又平分，，
，，
在四边形中，，
又，
，
又，
，且，，
，
；
（3）取中点，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
点、分别是、边上的中点，
，
又
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与探究
“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．
【模型呈现】
（1）如图①，在等腰直角三角形中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图②，在等腰直角三角形中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________；
【深入探究】
（3）如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由．
【答案】（1），见解析；（2）8；（3），见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的证明三角形全等是解本题的关键．
（1）证明，再利用全等三角形的性质可得结论；
（2）先证明，结合，可得，再利用全等三角形的性质可得结论；
（3）过作交的延长线于点，如图：证明，结合，可得，证明，可得，结合，可得结论；解法二：在截取，连接，同理证明，根据全等三角形的性质进而结合，可得结论．
【详解】解：（1）．
理由如下：
如图所示，在等腰直角三角形中，，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
在和中，
∵，，，
∴．
∴，．
∴．
（2），
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：8．
（3）．
理由如下：
解法一：
过点作交的延长线于点，如图所示：
∵和都是等腰直角三角形，，，，
∴，，．
∴．
在和中，
∵，，，
∴．
∴，．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，．
∴．
解法二：在截取，连接，如图所示：
∵和都是等腰直角三角形，，，，
∴，，．
∴．
∵，，
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
16．（24-25八年级上·山东烟台·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．
【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：．
（1）如图1，若，，则________；
【模型应用】
（2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________；
【模型拓展】
（3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I．
①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明；
②若，，请求出的长．
【答案】（1）8；（2）；（3）①证明见解析，②5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与平面，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论；
（2）如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）①如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，即可证明；根据全等三角形的性质得到，再由求解．
【详解】（1）解：∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：8；
（2）解：如图2，

过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵点B的坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
（3）①证明：如图3，∵过E作于M，的延长线于N．

∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
同理，，，
∴；
②解：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
17．（24-25八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
(1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________．
(2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________．
(3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由．
【答案】(1)，；
(2)
(3)，，理由见解析．
【分析】（1）由，可证，根据全等三角形的判定证明即可；
（2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解；
（3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可．
【详解】（1）（1）解：，
，
，
在和中，，
，
故答案为：，；
（2）解：等边和等边，
，，，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：且，
理由如下：
如下图所示，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键
A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线．
易证 ，故之间的数量关系为 ．
B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到．