专题训练：全等三角形的辅助线作法解题模型--2024-2025学年人教版数学八年级上册专题性培优检测卷（愿卷版+解析版）

这是一份专题训练：全等三角形的辅助线作法解题模型--2024-2025学年人教版数学八年级上册专题性培优检测卷（愿卷版+解析版），文件包含专题训练全等三角形的辅助线作法解题模型教师版docx、专题训练全等三角形的辅助线作法解题模型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.45（较难）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．精心选一选：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请把所选答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）（2023秋•海城市月考）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以测量工件内槽的宽度，在图中，要测量工件内槽宽，则需要测量的量是
A．的长度B．的长度C．的长度D．的长度
解：只要测量就可以，
理由：连接，，如图，
点分别是、的中点，
，，
在和△中，
，
△．
．
故选：．
2．（2分）（2022秋•海林市期末）如图所示，，，，、、三点共线，，，则
A．B．C．D．无法计算
解：，
，
，
在和中
，
，
，
，，
，
故选：．
3．（2分）（2022秋•莱芜区期末）在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，当点，，在同一条直线时，下列结论不正确的是
A．B．C．D．
解：将绕点顺时针旋转得到，
，故选项正确，不符合题意；
由旋转的性质得，，，
，
，，
，
，故选项正确，不符合题意；
，
，
为等腰直角三角形，
，故选项正确，不符合题意；
由旋转的性质可得，，
，故选项错误，符合题意．
故选：．
4．（2分）（2023秋•工业园区期中）如图，，，，则的面积为
A．8B．12C．14D．16
解：作于，交延长线于，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
5．（2分）（2021秋•齐河县期末）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是
A．①③B．②③C．①②D．①②③
解：连接，
，
是的平分线，
，①正确．
，
，②正确．
只是过点，并没有固定，明显③不成立．
故选：．
6．（2分）（2024春•龙华区期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为
A．B．C．D．
解：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
由题意得：，．
，
故选：．
7．（2分）（2023秋•开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是
A．B．C．D．
解：这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“”重新配一块与原来全等的三角形玻璃．
故选：．
8．（2分）（2023秋•聊城期中）如图，中，，，平分，，为的中点，则的长为
A．2B．3C．1.5D．2.5
解：延长交于点，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
点为的中点，
点为的中点，
为的中位线，
，
故选：．
9．（2分）（2023秋•瑞安市期中）如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，连接，，，，的值为
A．2.5B．4C．3.5D．3
解：延长与交于点，
，
，，
点为的中点，
，
，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
10．（2分）（2023秋•湖北月考）如图，在中，，，为边上的点，且，连接．过点作，并截取，连接交于点．则下列结论：
①；
②是的中点；
③；
④．其中正确的结论共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，
；
，，
，
，，，
，
，
，，
，
，，，
点是的中点；
，
；
故①②③都正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，
故④不正确；
所以，上列结论，其中正确的结论共有3个，
故选：．
二．细心填一填：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置上）
11．（2分）（2023•开州区校级开学）如图，是的角平分线，过点作，垂足为点，延长与相交于点，连接，若，，则的度数为 40 ．
解：是的角平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：40．
12．（2分）（2024春•长春期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙、，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离 36 ．
解：由题意得，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
，，
，
即：两堵木墙之间的距离为．
故答案为：36．
13．（2分）（2023秋•浦北县期末）如图是一款折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，则撑开时的凳腿间距的长为 30 ．
解：是和的中点，
，，
在和中，
，
．
．
，
．
故答案为：30．
14．（2分）（2023秋•望花区期中）如图，为等腰直角三角形，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为．
解：如图，过点作轴于点，过点作于点，
则，，，
，
点坐标为，点坐标为，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
解得：，
，
点的坐标为，
故答案为：．
15．（2分）（2023秋•郑州期末）如图，在中，，，，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，则的长为 ．
解：过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
16．（2分）（2023秋•萧山区期中）如图，在中，为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则 3.5 ．
解：延长交于点，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
故答案为：3.5．
17．（2分）（2023秋•栖霞区校级月考）如图，五边形中，，，，为边的中点，，，则五边形的面积为 90 ．
解：如图，延长到，使，连接、、，
在和中，
，
中，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故答案为：90．
18．（2分）（2023秋•洪山区月考）如图，在，，，在中，，是的中点，连接，．若，且，则的度数为 ．
解：延长到点，使，连接，，，
设，，
是的中点，
，
，
，
，，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
19．（2分）（2023秋•高港区期末）如图，在中，平分，于点，于点，，，则 1.4 ．
解：延长与相交于点，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
的面积，
，
，
解得：，
在中，，
故答案为：1.4．
20．（2分）（2023秋•武昌区校级期中）如图中，，，，若点在线段上且满足，以为边构造等腰三角形使，则点到边的距离是 或 ．
解：，，
，，
，，
，
分两种情况：①如图：
作关于的对称点，
连接，，
则，，
连接，作于，
则即为点到 的距离，
为等腰三角形且，
，
，即．
，，，
，
，，
，
；
②如图，作 关于的对称点，连接、，
则，，
作，即为所求，
同理可证，
，．
，
．
综所述，点已到边 的距离为或，
故答案为：或，
三．用心算一算：（本大题共8小题，共60分.请把答案写在答题卡中相应位置上.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.）
21．（6分）（2023秋•武都区期末）如图，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点．
（1）求证：．
（2）求的度数．
（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
即，
，
．
（2）解：由（1）可得，
．
，
，
即．
22．（6分）（2024春•章丘区期末）某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合．
（1）求两堵木墙之间的距离．
（2）如图2，，，点在线段上，连接，作，交线段于点，当线段时，请证明．
（1）解：由题意得：，，，，
．
，，
．
在和中，
，
．
，．
由题意得：，，
．
答：两堵木墙之间的距离为．
（2）当时，．
理由：，，
．
，
．
，
，
．
在和中，
，
．
23．（8分）（2023秋•宝安区期末）如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点．
（1）下列条件：
①点是的中点；
②点是的中点；
③点是的中点．
请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程；
（2）若，且，，，求的长．
解：（1）选择②③，
选②时：，，
，
，，
是中点，
，
在和中，
，
，
；
选③时：，，
，
，，
点是中点，
，
在和中，
，
，
；
（2），，，，
，，
，，
，
．
24．（8分）（2023秋•道外区期末）中，，分别以、为边作等边、等边，、交于点，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：点是的中点；
（2）如图2，连接，在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有能用图中字母表示的等腰三角形（非等边三角形）．
（1）证明：、是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
点是的中点；
（2）解：，
，
是等腰三角形，
，
是等腰三角形，
、是等边三角形，
，，，
，
，
是等腰三角形，
，垂直平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
综上所述，等腰三角形有、、、共4个．
25．（8分）（2023秋•右玉县期末）在中，，，直线经过点，且于，于．
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：
①；
②；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长．
（1）①证明：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
；
②证明：由（1）知：，
，，
，
；
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
26．（8分）（2023秋•渝中区期末）已知，中，，，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边．
（1）如图1，若，平分，求的长；
（2）如图2，点是的中点，的延长线交于点，求证：；
（3）若为直线上一动点，在（2）的条件下，连接，当为等腰三角形时，直接写出的度数．
（1）解：如图1，
，，
．
平分，
．
，，
．
，
．
是等边三角形，
．
（2）证明：如图2，连接，在上截取，连接．
，，
，．
点是的中点，
．
．
是等边三角形．
，
是等边三角形，
，，
．
．
，，
，，
．
．
，．
．
．
．
（3）解：当点在的延长线上时，如图3，
中，，，点是的中点，
，
，
为等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
垂直平分，
平分，
，
，
，
，
点是的中点，
平分，
；
当点在边上时，如图4，
由（2）知，，是等边三角形，
，，
，
，
，
点是的中点，
为等腰三角形，
，
，
，
，
同理，，
，即点是的中点，
即点、重合，
在和中，
，
，
，
即；
当点在的延长线上时，如图5，
，为等腰三角形，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
；
当点与点对称时，如图6，
则和均为等边三角形，
点是的中点，
；
综上所述，的度数为或或或．
27．（8分）（2024春•乐平市期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ．
解：（1）如图1，延长到，使，连接．
在与中，
，
．
，，
．
．
又，
易证．
．
．
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到，使，连接．
，，
，
在与中，
，
．
，，
．
．
又，
．
．
．
（3）当（1）结论成立，
当图三中，或．
证明：在上截取，使，连接．
，，
．
在与中，
，
．
，．
．
．
，
．
．
同理可得：
．
故答案为：（1）；（2）成立；（3）或或．
28．（8分）（2023秋•绥阳县期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
【探究发现】：（1）图1中与的数量关系是 ，位置关系是 ；
【初步应用】：（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．
【探究提升】：（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．
解：（1）是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：，；
（2）如图2，延长到，使，连接，
由（1）可知，，
，
在中，，
，
即，
，
即边上的中线的取值范围为；
（3），，理由如下：
如图3，延长到，使得，连接，
由（1）可知，，
，
，
，
由（2）可知，，
，
、，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，