第二讲 与三角形有关的角2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义（愿卷版+解析版）

这是一份第二讲 与三角形有关的角2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义（愿卷版+解析版），文件包含第二讲与三角形有关的角暑期衔接教师版docx、第二讲与三角形有关的角暑期衔接学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
第二讲 与三角形有关的角
知识与技能
理解三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和等于180°，并能进行简单的证明和应用。
了解三角形外角的性质，包括一个外角等于不相邻的两个内角之和，以及一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
过程与方法
通过实际操作和观察，培养学生的几何直观和空间想象能力。
学会用符号语言表示三角形及其相关概念，提升数学表达能力。
掌握从实际问题中抽象出三角形模型的方法，培养数学建模能力。
重点：三角形内角和定理的理解和应用，能够证明三角形内角和为180°。
三角形外角的性质的理解和应用。
难点：三角形内角和定理的证明过程的理解和掌握。
理解三角形外角的性质，特别是“外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一点。
TOC \t "标题 2,1" \h \u \l "_Tc21284" 考点01：三角形内角和定理 PAGEREF _Tc21284 \h 2
\l "_Tc15798" 考点02：三角形的外角和 PAGEREF _Tc15798 \h 5
\l "_Tc24453" 考点03：直角三角形的性质 PAGEREF _Tc24453 \h 7
\l "_Tc17334" 中档题真题训练 PAGEREF _Tc17334 \h 11
\l "_Tc12215" 拔高题真题训练 PAGEREF _Tc12215 \h 20
【知识点1 三角形内角和定理】
定义：三角形的内角和定理指的是三角形三个内角的和等于180°。用数学符号表示，若在三角形ABC中，则∠A + ∠B + ∠C = 180°。
证明方法
三角形内角和定理的证明方法有多种，其中一种常见的证明方法是通过构造平行线来转化角的关系。
考点01：三角形内角和定理
【典例精讲】（2024•天津）如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为
A．B．C．D．
【思路点拨】由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案．
【规范解答】解：，，
，
由作图知，平分，
，
，
，
故选：．
【考点评析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握尺规作图的方法是解题的关键．
【举一反三01】（2023秋•定陶区期末）如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为
A．B．C．D．
【思路点拨】连接、．由题意，推出，，由，，推出，，推出，，由，推出，推出，由此即可解决问题．
【规范解答】解：如图，连接、．
由题意，
，，
，，，，
，，
，，
，
，
，故选：．
【考点评析】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会把条件转化的思想．
【举一反三02】（2024春•博野县校级月考）嘉琪在做作业时，发现人教版第五章有这样一道“拓广探索”试题：如图，直线经过点，且，，．写出、、的度数；（通过这道题，你能说明为什么三角形三个内角的和是吗？
（1）写出三个角、、的度数；
（2）补充完整嘉琪对于括号里的说明．
说明：，
； ．
（平角定义）
（等量代换）
即三角形三个内角的和是 ．
【思路点拨】（1）利用平行线的性质、平角定义解决问题．
（2）利用平行线的性质、平角定义解决问题．
【规范解答】（1）解：，，，
，，
，；
（2）证明：，
；，
，（平角定义），（等量代换）
即三角形三个内角的和是．
故答案为：，，，．
【考点评析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质、平角定义等知识，解题的关键是掌握平行线的性质．
【知识点2 三角形外角的定义】
三角形的外角指的是三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角。具体来说，如果从一个顶点出发，与三角形的两边形成两个角（其中一个为三角形的内角，另一个则为外角），那么这两个角是互为邻补角的。
【知识点2 三角形外角的性质】
三角形的外角和为360°。这是三角形外角的一个重要性质。证明这一性质的方法有多种，其中一种是基于三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和这一性质。
考点02：三角形的外角和
【典例精讲】（2023秋•舟山期末）日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支架采用了三角形结构，在这个应用中蕴含的数学知识是
A．三角形三个内角的和等于180度
B．三角形任何两边的和大于第三边
C．三角形具有稳定性
D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
【思路点拨】根据三角形具有稳定性求解即可．
【规范解答】解：起重机的支架采用三角形结构是利用了三角形具有稳定性这一数学知识．
故选：．
【考点评析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的稳定性，三角形内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握三角形的外角性质与内角和定理．
【举一反三01】（2024春•松江区校级月考）如图，已知，，点、、在一条直线上，则 60 度．
【思路点拨】三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．据此即可获得答案．
【规范解答】解：，，
．
故答案为：60．
【考点评析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键．
24．（2023秋•朝阳区期末）如图，图中的值为 ．
【思路点拨】利用三角形的内角和定理的推论列出等式解答即可．
【规范解答】解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：．
【考点评析】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的推论，利用三角形的内角和定理的推论列出等式是解题的关键．
【举一反三02】（2023秋•榆阳区校级期末）如图，，分别是两边，上的动点（均不与点重合）．
（1）如图1，当时，的外角，的平分线交于点，则 61 ；
（2）如图2，当时，，的平分线交于点，则 （用含的式子表示）；
（3）如图3，当为定值，时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．随着点，的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含的式子表示）；如果会，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可；
（3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可．
【规范解答】解：（1），
．
．
、分别为、的平分线，
，．
．
．
故答案为：61．
（2），
．
、分别为、的平分线，
，，
．
．
故答案为：．
（3）的大小不变，．
理由如下：，
又是的平分线，是的平分线，
，，
．
【考点评析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
考点0：直角三角形的性质
【典例精讲】（2024•陕西）如图，在中，，是边上的高，是的中点，连接，则图中的直角三角形共有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【思路点拨】根据直角三角形的定义，找出图中的直角三角形即可解决问题．
【规范解答】解：因为，
所以是直角三角形．
因为是边上的高，
所以，
所以、、都是直角三角形，
所以图中的直角三角形共有4个．
故选：．
【考点评析】本题主要考查了直角三角形的性质，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键．
【举一反三01】（2024春•青羊区校级期中）如图，在中，，、分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论：①；②平分；③④；⑤，其中正确的结论是 ①③④⑤ ．
【思路点拨】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明，，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②．
【规范解答】解：平分，
，，
，
，故结论①正确；
，，，
，，即，
，
又，
，故结论③正确；
，
，
、分别平分、，
，，
，
，
，故结论④正确；
，
，故结论⑤正确；
根据现有条件，无法推出平分，故结论②错误．
故答案为：①③④⑤．
【考点评析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
【举一反三02】（2024春•巴彦县月考）已知中，，于，过点作交于点，交于．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，请直接写出图中度数等于的2倍的所有角．
【思路点拨】（1）先由平行线的性质得到，再证明得到，即可证明；
（2）根据三角形内角和定理和（1）的结论即可得到．
【规范解答】（1）证明：，
，
，，
，
，
；
（2）解：，，，
，
由（1）可得，
，
．
【考点评析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，垂线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
29．（2023秋•东湖区校级期末）如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点，．
（1）若，求的度数；
（2）与相等吗？请说明理由．
【思路点拨】（1）根据直角三角形的性质得出，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可；
（2）题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．
【规范解答】解：（1），，
，
平分，
，
；
（2），理由如下：
，
，
，
又平分，
，
，
，
，
即．
【考点评析】本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．
中档题真题训练
1．（2024七下·南海期中）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】D
【规范解答】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：D．
【思路点拨】过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，由四边形内角和及三角形内角和求出∠C+∠EPF＝180°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，从而求出∠D+∠G＝=∠C=50°，有轴对称的性质可得∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，从而得出∠GPN+∠DPM＝50°，根据∠MPN＝∠DPG-（∠GPN+∠DPM）即可求解.
2．（2024八下·保山期中）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．a：b：c=3：4：5
C．∠A+∠B=∠CD．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【答案】D
【规范解答】解：A、根据勾股定理的逆定理，可知 ，故能判定是直角三角形；
B、设a=3x，b=4x，c=5x，可知 ，故能判定是直角三角形；
C、根据三角形的内角和为180°，因此可知∠C=90°，故能判定是直角三角形；
D、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3x+4X+5x=180，解得x=15，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故不能判定三角形是直角三角形.
故答案为：D.
【思路点拨】利用勾股定理的逆定理，可对A作出判断；设a=3x，b=4x，c=5x，分别求出a2+b2和c2，再比较a2+b2和c2的大小，可对B作出判断；利用三角形的内角和定理，可对C、D作出判断.
3．（2024八下·南宁月考）如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（ ）
A．19°B．20°C．24°D．25°
【答案】B
【规范解答】∵BD的垂直平分线交AB于点E，
∴
∴
∴
∵将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：B.
【思路点拨】根据垂直平分线和等腰三角形性质得到∠B=∠EDB，结合三角形外角性质得∠AED=2∠B；根据折叠的性质得出∠C=2∠B，∠EAD=60°，∠ADE=∠ADC；根据邻补角的性质得到∠ADC=90°-∠B，然后在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理列一元一次方程求解，即可求出结果.
4．（2024八下·新晃期中）如图，矩形的对角线与相交于点，过点作，交于点，连接若，则 度
【答案】35
【规范解答】解：
∵OE⊥BD，∴∠BOE＝90°，∴∠COB＝∠BOE-∠COE＝90°-20°＝70°，
由矩形的性质可知OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA
∴∠COB＝∠OAB+∠OBA＝2∠OBA＝70°，∴∠OBA＝35°
即∠ABD＝35°
故答案为：35 .
【思路点拨】先求出∠COB，再根据矩形的性质和外角的性质得出∠COB＝2∠OBA，从而求出∠OBA。
5．（2024八上·田阳期末） 如图，直线l1∥l2且l1，l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝35°，∠P＝90°，则∠3＝ 度．
【答案】55
【规范解答】解：如图，
∵∠P+∠2+∠4=180°，∠2=35°，∠P=90°，
∴∠4=55°，
∵a∥b，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
又∵∠1＝∠2＝35°，
∴∠3=180°-∠1-∠2-∠4=55°.
故答案为：55.
【思路点拨】先根据三角形内角和定理算出∠4的度数，进而根据两直线平行，同旁内角互补可得∠1+∠2+∠3+∠4=180°，最后代入已知角的度数，即可算出∠3的度数.
6．（2024八上·湖州期末）如图，在等边 中， ，点O在线段 上，且 ，点 是线段 上一点，连接 ，以 为圆心， 长为半径画弧交线段 于一个点 ，连接 ，如果 ，那么 的长是 ．
【答案】
【规范解答】解：连接OD，
∵ ，
∴△ADP是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OPD=∠B=∠A=60°，AB=AC=10，
∵∠APD=∠APO+∠OPD=∠BDP+∠B，
∴∠APO=∠BDP，
∴△APO≌△BDP，
∴BP=AO=3，
∴AP=AB BP=10 =7；
故答案为：7.
【思路点拨】连接OD，则由 得到△ADP是等边三角形，则∠OPD=∠B=∠A=60°，由三角形外角性质，得到∠APD=∠BDP，则△APO≌△BDP，即可得到BP=AO=3，然后求出AP的长度.
7．（2024八上·鄞州期末）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 ．
【答案】
8．（2024八下·吉安月考）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【思路点拨】（1）过点E作于G，于H，根据三角形内角和定理、余角的性质得出，根据角平分线的判定与性质得，则，即可证明平分；
（2）设，则，根据，列出关于x的方程，解得，然后根据，计算求解即可．
9．（2024九下·襄阳月考）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
【答案】（1）解：证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△CDF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFE=
【思路点拨】（1）由两直线平行内错角相等得到 ∠B＝∠C， 然后利用角角边定理证明 △ABE全等△CDF，则对应边AB和CD相等；
（2）由全等三角形对应角相等求得∠C的度数，由于AB＝CF， 结合AB=CD，等量代换得 CF＝CD， 则 ∠D＝∠CFE，由三角形的内角和定理即可求出∠D的度数.
10．（2024八上·武都期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的一点，DE⊥AB于D，交AC于M，且ED＝AC，过点E作EF∥BC分别交AB、AC于点F、N.
（1）试说明：△ABC≌△EFD；
（2）若∠A＝25°，求∠EMN的度数.
【答案】（1）解：∵DE⊥AB于D，
∴∠EDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠EDF，
∵EF∥BC，
∴∠B＝∠EFD，
在△ABC与△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（AAS）
（2）解：∵∠EDF＝90°，
∴∠ADM＝180°﹣∠EDF＝90°，
在△ADM中，∠A+∠AMD+∠ADM＝180°且∠A＝25°
∴∠AMD＝180°﹣∠A﹣∠ADM＝65°，
∴∠EMN＝∠AMD＝65°
【思路点拨】（1）由垂直的概念可得∠EDF＝90°，由平行线的性质可得∠B＝∠EFD，然后利用全等三角形的判定定理（AAS）进行证明；
（2）由邻补角的概念可得∠ADM的度数，在△ADM中，应用三角形内角和定理可得∠AMD的度数，然后根据对顶角的性质进行解答.
11．（2023八上·宜城开学考）如图，相交于点O，分别平分，且交于点P．
（1）若，求的度数．
（2）试探索与间的数量关系．
【答案】（1）
（2）∠P=12∠A+∠D
拔高题真题训练
12．（2024八下·瑶海期中）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BGN；②；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【规范解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵CEBC，F是AC的中点，
∴CF＝CE，
∴∠E＝∠CFE，
∵∠ACB＝∠E+∠CFE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠BGE＝90°，
∴EG⊥AB，故⑤正确；
设AG＝x，则AF＝FC＝CE＝2x，
∴FGx，BE＝6x，
Rt△BGE中，BG＝3x，EG＝3x，
∴EF＝EG﹣FG﹣3xx＝2x，
∴GFEF，故②正确；
③如图，过N作NH⊥AC于H，连接BN，
在等边三角形ABC中，
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BN＝CN，
∵MN⊥AB，
∴NH＝NM，
∵MN是BG的垂直平分线，
∴BN＝NG，
∴BN＝CN＝NG，
在Rt△NGM和Rt△NCH中，
MN=NHGN=NC，
∴Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），
∴∠GNM＝∠CNH，
∴∠MNH＝∠CNG，
∵∠ANM＝∠ANH＝60°，
∴∠CNG＝120°，故③正确；
∵MN是BG的垂直平分线，
∴BN＝GN，
等边△ABC中，AD⊥BC，
∴BN＝CN，
∴GN＝CN，故④错误；
∵BN＝CN＝NG，
∴∠DCN＝∠DBN，∠NBM＝∠NGM，
∵∠ACN＝∠ACB﹣∠DCN＝60°﹣∠DBN＝∠ABN＝∠NGM，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACN＝∠BGN，故①正确；
其中正确的有：①②③⑤，一共4个，
故选：C．
【思路点拨】①要证明 ∠ACN＝∠BGN 是否正确，根据垂直平分线的性质得到等边、由等边对等角定理得到等角，可推出∠ACN是60°角和∠DCN的差，∠BGN 是60°角和∠DBN的差，进一步可证明∠ACN＝∠BGN ；根据等边三角形三边和三内角性质易推出CE=CF，等边对等角、外角定理可得到∠E＝30°，进而先证明了⑤EG⊥AB 正确；在此基础上由勾股定理可得出 ② 的结论正确； ③∠GNC＝120° 不易证明，但过N作NH⊥AC于H易知∠MNH是120°，尝试寻找∠MNH和∠GNC是否存在相等关系，由角平分线的性质得到全等条件可证明∠MNH=∠GNC=120°； ④GM＝CN，易知GN=CN，GMGN，故④错误。
13．（2024八上·成都期末）在中，，，在的延长线上有一点使得，过点作的垂线，垂足为，若，则 ．
【答案】
【规范解答】BD=AD，
AE=AD，
解得
是等腰直角三角形，
，
即
CD=AD=2，
【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到由外角性质得到再由AE=AD，得到从而得到利用平行线的性质可得求得得到证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求得DE的值，再由余角的性质得到从而得到CD=AD=2，根据线段的和差关系即可求解.
14．（2024八上·南山期末）如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则点到线段的距离为 ．
【答案】
【规范解答】解：过点作于点，
∵，，
∴，
由勾股定理得：
∵，
∴，，
由折叠的性质得：，，，
∴
∴
∴
由勾股定理得：
设点到的距离为，则
，即
解得：.
故答案为．
【思路点拨】过点作于点，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出，，由折叠的性质得：，，得出，证出，得出又由勾股定理得利用三角形等面积得，代数求解即可．
15．（2024八下·冷水滩开学考）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【规范解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故答案为：C．
【思路点拨】首先根据三角形内角和求得，再根据角平分线的定义求得（）=60°，进一步根据三角形内角和定理，即可求得 ； 即可得出①正确；假定 ，即可得出，根据条件无法证明，故②不正确；如图，延长至G，使，连接，可根据SAS证明，从而得出，进一步得出，从而得出是等腰三角形，再根据EG=EC，即可得出，故而得出③正确；如图，作的平分线交于点G，可证明，，从而得出，进而得出，故而得出④正确，综上即可得出说法正确的由3个。
16．（2024八上·雨花期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．
（1）当时， ， ；
（2）线段的长度为何值时，？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：当时，≌，
理由如下：
，，，
，
∵，
∴，
在△ABD和△DCE中，
∵，
≌(ASA)；
（3）当或时，的形状可以是等腰三角形
【规范解答】解：（1），且，，
，
∵，，
，
，
故答案为：16°，；
（3）①若时，
，，
，
，
，
．
②若时，
，，
，
，
，
，
③当，，
∴
此时不符合题意，舍去．
综上所述：当或时，的形状可以是等腰三角形
【思路点拨】（1）直接根据平角为180°，即可求得∠EDC=16°；然后根据等腰三角形的性质，求得∠C=36°，再根据三角形外角的性质，求得∠AED=∠C+∠EDC，即可得出∠AED=52°；
（2） 当时，≌， 根据ASA证明两三角形全等即可；
（3）可分成三种情况进行讨论：①若时，可求得；②若时，；③当时，此时不符合题意，舍去．
17．（2024八上·衡阳期末）在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连结．
（1）如图1，当点在线段上时，如果，则______．
（2）设，．
①如图2，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点在直线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．
【答案】（1）
（2）①；②，
18．（2024八上·白城期末）如图，在中，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点．
（1）当时， ， ，点从向运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当等于多少时，？请说明理由；
（3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25；115；小
（2）解：当时，．理由如下：
．
．
，
．
（3）解：可以．．
①当时，，
此时不符合．
②当时．即．
，
．
．
③当时，，
，
．
综上所述，当或时，是等腰三角形．
【规范解答】解：（1）因为∠ BDA=115°由三角形内角和可知， ∠BAD=25°，
可知∠ADC=65°，故∠EDC=25 °，
又因为∠ C=40°，
故∠DEC=115 °
点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小
故第(1)题的正确答案为：25；115；小.
【思路点拨】(1)根据三角形内角和定理，观察图形即可得出答案；
（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°求出∠ADB=∠DEC，再利AB=DC=2，即可得出。
（3）△ADE是等腰三角形有多种情况，需要分类讨论：
因为∠ADE=∠ACD=40°，∠AED>∠C，
所以∠AED>∠ADE，
所以 ADE为等腰三角形时，只能是DA=DE或EA=ED，然后据等腰三角形性质，三角形内角和定理即可得出答案。
19．（2024八上·老河口期末） 如图， 在 中， 平分 ， 点 在 的延长线上， ， 若 ， 则 的度数为 ．
【答案】50
【规范解答】解：如图，延长CA到O，使AO=AB，连接OE，
∵∠BAC=30°，∠EAC=75°，
∴∠OAE=180°-∠EAC=105°，∠BAE=∠BAC+∠EAC=105°，
∴∠OAE=∠BAE，
∵AO=AB，AE=AE，
∴△AOE≌△ABE（SAS），
∴∠B=∠O，
∵，
∴CE=AO+AC=OC，
∴∠O=∠CEO，
∴∠O+∠CEO+∠OCE=∠B+∠BAC+∠B+∠B=180°，
∴∠B=50°.
故答案为：50°.
【思路点拨】延长CA到O，使AO=AB，连接OE，用SA证明△AOE≌△ABE，可得∠B=∠O，根据线段和差及已知可推出CE=OC，由等边对等角得∠O=∠CEO，再利用三角形内角和及三角形外角的性质即可求解.
20．（2024八上·柳州期末）【综合与探究】新定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
理解：如图①，在中，点D，E分别是的中点，那么为的一条中位线．可得且．
应用：如图②，在中，，点D，E分别在边，上，且．点M，N，P分别是，和的中点．已知．
（1）当时，
①请直接写出：与的数量关系 ▲ ； ▲ ；
②是否存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点D的位置；若不存在，请说明理由；
（2）将绕点A旋转，当点D在内时（如图③），试说明与的数量关系，并求出的度数（用含α的式子表示）．
【答案】（1）解：①；；
②存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与全等，理由如下：
连接，如图：
由①知是等腰直角三角形，
若，则，
∵，
∴，
∴，
∴D是靠近A的三等分点；
（2）解：；理由如下：
连接，，如图：
由旋转可得，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点M，N，P分别是，和的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，，，
∴
，
∵，
∴，
∵
，
∴
【规范解答】解：（1）①∵
∴
∴
∵点M，N，P分别是，和的中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：90°；
【思路点拨】（1）①根据题意得到：进而即可得到：然后根据直角三角形的量锐角互余即可求解；
②连接MN，由①得：为等腰直角三角形，若，则即可得到D是靠近A的三等分点；
（2）连接CE、BD，利用"SAS"证明，得到，，根据三角形中位线性质即可得到：进而即可得到：通过角之间的等量代换即可求解.
21．（2024八上·南宁月考）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C.探究AB、BD、AC之间的数量关系；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，得到全等三角形，进而解决问题．
方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，得到等腰三角形，进而解决问题．
（1）试猜想AB、BD、AC之间的数量关系 ．
（2）根据阅读材料，任选一种方法证明AC=AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法
（3）解决下面的问题；
如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）AC＝AB+BD
（2）证明：方法一：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAD和△EAD中
，
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，
∵∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴BD＝EC，
∴AC＝AB+BD；
方法二：∵
∴∠BED＝∠BDE
∵∠ABC＝∠BED+∠BDE，且∠ABC＝2∠C
∴∠BED＝∠ABC=∠C
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
在△AED和△ACD中，
∴△AED≌△ACD（AAS）
∴AE=AC
∵AE=AB+BE=AB+BD
∴AC=AB+BD
（3）解：DC、CE、BE之间的数量关系是BE＝DC+CE，
证明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，
∵∠DAE+∠B＝90°，
∴2∠DAE+2∠B＝180°，
∴∠AED＝2∠B＝∠C，
∵∠BED＝∠CDE+∠C=∠AEB+∠AED，
∴∠AEB＝∠CDE，
在△AEF和△EDC中，
∴△AEF≌△EDC（SAS），
∴EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，
∵∠AFE＝∠B+∠BAF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴BF＝AF，
∴BF＝CE，
∴BE＝DC+CE．
【思路点拨】（1）根据角平分线定义得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"证明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再结合三角形外角的性质及等角对等边得到BD＝EC，进而即可求证；
（2）方法一：根据角平分线定义得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"证明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再结合三角形外角的性质及等角对等边得到BD＝EC，进而即可求证；
方法二：由等边对等角得∠BED＝∠BDE，再结合三角形外角的性质和角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD即可利用"AAS"证明△AED≌△ACD，由全等三角形的性质得AE=AC，最后根据线段间的数量关系即可求解；
（3）在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，等边对等角及三角形内角和定理得∠AED＝2∠B＝∠C，再结合三角形外角的性质得∠AEB＝∠CDE，利用"SAS"证明△AEF≌△EDC，由全等三角形的性质可得EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，进而由等角对等边可得到BF＝CE，进而即可求解.