第三讲 平面直角坐标系-2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义（愿卷版+解析版）

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第三讲 平面直角坐标系
知识点01：有序数对
把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.
知识点02：平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：
（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．
② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④ 象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．
② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；
y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；
平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.
知识点03：坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
【易错点剖析】
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．
【易错点剖析】
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
【易错点剖析】
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.53（较难）
一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（2分）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为
A．4B．7C．11D．15
2．（2分）点不可能在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2分）如果点的坐标为，则点到轴的距离为
A．3B．4C．5D．
4．（2分）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为
A．B．C．D．
5．（2分）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，，按这样的运动规律，点的坐标是
A．B．C．D．
6．（2分）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值是
A．B．C．3D．5
7．（2分）如图，的顶点为，，，甲和乙同时从出发，在的边上做环绕运动，甲以2单位长度秒的速度沿顺时针方向运动，乙以1单位长度秒的速度沿逆时针方向运动，则甲、乙运动过程中第7次相遇时点的坐标是
A．B．C．D．
8．（2分）线段经过平移得到线段，其中点、的对应点分别为点、，这四个点都在如图所示的格点上，那么线段上的一点经过平移后，在线段上的对应点的坐标是
A．B．C．D．
9．（2分）如图，在一单位为1的方格纸上，△，△，△，都是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为
A．B．C．D．
10．（2分）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，，以此规律跳动下去，点第2020次跳动至点的坐标是
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）规定以下两种变换：①，，，如，，；②，，，如，，．按照以上变换有：，，，，那么等于 ．
12．（2分）如图，若点和点坐标分别为，，则点坐标为 ．
13．（2分）点在第一象限内，到轴的距离是4，到轴的距离是3，那么点的坐标为 ．
14．（2分）已知点在轴上，则点的坐标为 ．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，则点在此坐标系中的第 象限．
16．（2分）已知点在第二象限，且它到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是 ．
17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到△的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，，，则点的横坐标为 ．
18．（2分）如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在轴、轴的平行方向来回运动，（即，，，，，，且每秒运动一个单位长度，那么第32秒时，这个粒子所处位置的横、纵坐标之和为 ．
19．（2分）在直角坐标系中，下面各点按顺序依次排列：，，，，，，，，，，，，按此规律，这列点中第1000个点的坐标是 ．
20．（2分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点．其顺序按图中“”方向依次排列：，，，，，，根据这个规律，第87个点的坐标为 ，第2022个点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“倍相关点”．
例如，点的“2倍相关点” 的横坐标为：，纵坐标为：，所以点的“2倍相关点” 的坐标为．
（1）已知点的“倍相关点”是点，求的值；
（2）已知点的“倍相关点”是点，且点在轴上，求点到轴的距离．
22．（6分）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标： ， ， ， ；
（2）写出点的坐标是正整数）；
（3）指出蚂蚁从点到点的移动方向．
23．（8分）在平面直角坐标系中，任两点，，，．
规定运算：①，；
②当，时，有成立．
设点，，若，试说明．
24．（8分）假期到了，八年级（1）班的同学到某梦幻王国游玩，在如图所示的景区示意图前面，李强和王磊进行了如下对话：
李强说：“魔幻城堡的坐标是 “；王磊说：“丛林飞龙的坐标是 “；
若他们二人所说的位置都正确．
（1）根据以上两人的对话，在图中建立平面直角坐标系；
（2）根据（1）中建立的平面直角坐标系，写出西游传说，华夏五千年和南门的坐标．
25．（8分）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“完美间距．例如：如图，点，，的“完美间距”是1．
（1）点，，的“完美间距”是 ；
（2）已知点，，．
①若点，，的“完美间距”是2，则的值为 ；
②点，，的“完美间距”的最大值为 ；
③已知点，，点为线段上一动点，当，，的“完美间距”取最大值时，求此时点的坐标．
26．（8分）已知：，，，，，，，，，，，．将这12个点按要求进行不同的分类：
（1）在坐标轴上的点有 ，不在坐标轴上的点有 ；
（2）横、纵坐标的积等于4的有： ，
横、纵坐标的积不等于4的有： ．
27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成△，第二次将△变换成△，第三次将变换成△；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△变换成△，则的坐标为 ，的坐标为 ．
（2）按以上规律将进行次变换得到△，则的坐标为 ，的坐标为 ；
（3）△的面积为 ．
28．（8分）在平面直角坐标系中，已知点，，可以得到线段的中点的坐标为，将点向右平移个单位，得到点，我们称点为点关于点的中心平移点．例如：，，线段的中点的坐标为，点关于点的中心平移点的坐标为．
（1）已知，，
①点关于点的中心平移点的坐标为 ；
②若点为点关于点的中心平移点，求点的坐标；
（2）已知点，，，将点向左平移1个单位得到点，将点向右平移4个单位得到点，分别过点与点作垂直于轴的直线与．若点在线段上，点关于点的中心平移点在直线与直线之间（不含，，直接写出的取值范围．