数学八年级上册（2024）第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系课文内容课件ppt

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在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先根据条件画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；再结合图形，写出已知、求证；然后，分析因果关系，找出证明途径；最后有条理地写出证明过程.
你能证明这个文字命题吗？
命题：三角形的内角和等于180°.
分析：以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角，这不是证明，但它却给我们以启发.现在我们通过作图来实现这种转化，给出证明.
已知：△ABC， 如图所示. 求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：延长BC到D，过C作CE//BA，∴ ∠A=∠1 ，(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB= ∠1+∠2+∠ACB= 180°.(等量代换)
想一想，还有没有其他的证明方法呢？
证法2：过点A作EF∥BC， ∴∠B=∠2，(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠1.(两直线平行,内错角相等) 又∵∠2+∠1+∠BAC=180°，(平角的定义)∴∠B+∠C+∠BAC=180°.（等量代换）
证法3：过A作AE//BC，∴∠B=∠BAE，(两直线平行,内错角相等)∠EAC+∠C=180°，(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°. (等量代换)
证法4：过点D作DE∥AC, DF∥AB.∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC，(两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴ ∠A=∠EDF. (等量代换)∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°. (等量代换)
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线. 在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
为了证明三个角的和为180˚,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
定理：三角形的内角和等于180 °
符号语言：在△A B C中，∠A +∠B +∠C =180°.
变形二：在△ABC的中， ∠B +∠C =180°-∠A
变形一：在△ABC的中， ∠A =180° -（∠B+∠C）
问题1：在△ABC中，∠C=90°，求:∠A+∠B的度数？由此你能得到什么结论？
在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°.
推论1 直角三角形的两锐角互余.
像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论.
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：在Rt△ABC 中，∵　∠C =90°，∴　∠A +∠B =90°．　
问题2：在△ABC中，∠A+∠B=90°，则∠C度数为多少？由此你能得到什么结论？
在△ABC中,∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A＋∠B＝90°, ∴∠C＝ 90°.
推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
应用格式：在△ABC 中，∵　∠A +∠B =90°，∴　△ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.　　
解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.
练一练：如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
例1 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ACD=∠B,判断△ADC的形状.
解: ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B,∴∠ACD+∠A=90°,∴△ADC是直角三角形.
例2 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠EDC=80°.
1.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 （ 　　）A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
2．如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°，则∠A＝________°.
3．如图13－2－13，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.求证：△BCD是直角三角形．
证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD ＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠B＋∠BCD＝90°.∴△BCD是直角三角形．