13.1.1三角形中边的关系（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）

幻灯片 1：封面标题：13.1.1 三角形中边的关系副标题：探究边的特性，理解三边规律姓名：[教师姓名]日期：[授课日期]幻灯片 2：情境引入与学习目标情境引入：在我们的生活中，三角形无处不在，如屋顶的框架、自行车的车架、三角尺等。这些三角形的形状各异，但它们的边之间都存在着特定的关系。为什么有些长度的线段可以组成三角形，而有些则不能？本节课将带你探索三角形中边的奥秘。学习目标：理解三角形的定义，能准确识别三角形的边。掌握三角形三边关系定理及推论，能运用定理判断三条线段能否组成三角形。能利用三角形三边关系解决实际问题中的边长计算和取值范围问题。幻灯片 3：三角形的定义与边的概念三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。边的概念：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。三角形有三条边，通常用小写字母 a、b、c 分别表示三角形的三条边，其中 a、b、c 对应的顶点分别为 A、B、C，所以边也可表示为 BC = a，AC = b，AB = c。三角形的表示：三角形用符号 “△” 表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作 “△ABC”，读作 “三角形 ABC”。图示：展示一个标注顶点 A、B、C 和边 a、b、c 的三角形，直观呈现三角形的组成。幻灯片 4：三角形三边关系定理定理内容：三角形任意两边之和大于第三边。即对于△ABC，有 a + b > c，a + c > b，b + c > a。推导过程：假设在△ABC 中，将边 BC 延长至点 D，使 CD = AC，连接 AD。因为 CD = AC，所以∠CAD = ∠D。在△ABD 中，∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = ∠BAC + ∠D > ∠D，根据 “在一个三角形中，大角对大边”，可得 BD > AB。又因为 BD = BC + CD = a + b，AB = c，所以 a + b > c，同理可证其他两个不等式。几何意义：三条线段能否组成三角形，取决于任意两条线段的长度之和是否大于第三条线段的长度，这是三条线段构成三角形的必要条件。实例验证：用长度为 3cm、4cm、5cm 的三条线段，3 + 4 > 5，3 + 5 > 4，4 + 5 > 3，能组成三角形；用长度为 1cm、2cm、3cm 的三条线段，1 + 2 = 3，不满足任意两边之和大于第三边，不能组成三角形。幻灯片 5：三角形三边关系定理的推论推论内容：三角形任意两边之差小于第三边。即对于△ABC，有 | a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a。推导依据：由三角形三边关系定理 a + b > c，移项可得 c - b b 可得 b - c < a，综合可得 | a - b| < c，其他两个不等式同理可证。与定理的联系：推论是由定理推导得出的，与定理相辅相成，共同构成三角形三边关系的完整内容。在实际应用中，可根据具体问题选择使用定理或推论。实例说明：在△ABC 中，a = 5，b = 3，则 | 5 - 3| = 2 c，所以 c 的取值范围是 2 < c < 8。幻灯片 6：判断三条线段能否组成三角形判断方法：只需验证三条线段中较短的两条线段之和是否大于最长的线段即可，无需逐一验证三个不等式。步骤：将三条线段的长度按从小到大的顺序排列，设为 a ≤ b ≤ c。验证 a + b > c 是否成立。若 a + b > c，则能组成三角形；若 a + b ≤ c，则不能组成三角形。例题 1：判断下列各组线段能否组成三角形：（1）3cm，4cm，5cm：排序后 3 ≤ 4 ≤ 5，3 + 4 > 5，能组成三角形。（2）2cm，2cm，5cm：排序后 2 ≤ 2 ≤ 5，2 + 2 < 5，不能组成三角形。（3）1cm，3cm，3cm：排序后 1 ≤ 3 ≤ 3，1 + 3 > 3，能组成三角形。注意事项：在判断时，一定要先将线段长度排序，避免因遗漏验证而得出错误结论。幻灯片 7：求三角形第三边的取值范围方法：已知三角形的两边长为 a 和 b（a ≥ b），则第三边长 c 的取值范围是 a - b < c < a + b。例题 2：已知一个三角形的两边长分别为 4cm 和 7cm，求第三边长 c 的取值范围。解：因为 7 - 4 < c < 7 + 4，即 3 < c < 11，所以第三边长 c 的取值范围是 3cm < c < 11cm。例题 3：若三角形的两边长分别为 5 和 8，第三边长为偶数，求第三边的长。解：第三边长 c 的取值范围是 8 - 5 < c < 8 + 5，即 3 < c < 13。因为 c 为偶数，所以 c 可以是 4、6、8、10、12。幻灯片 8：三角形边的关系在实际问题中的应用例题 4：一个等腰三角形的周长为 18cm，其中一边长为 4cm，求其他两边的长。解：分两种情况讨论：情况一：若 4cm 为腰长，则底边长为 18 - 4 - 4 = 10cm。此时 4 + 4 = 8 < 10，不满足三角形三边关系，舍去。情况二：若 4cm 为底边长，则腰长为 (18 - 4)÷2 = 7cm。此时 7 + 7 > 4，7 + 4 > 7，满足三边关系，所以其他两边长均为 7cm。例题 5：用一根长为 20cm 的铁丝围成一个三角形，若其中一边长为 5cm，另外两边的长均为整数，求另外两边的长。解：设另外两边长分别为 x cm 和 y cm（x ≥ y），则 x + y + 5 = 20，即 x + y = 15。根据三边关系有 x - y 5。因为 x ≥ y 且 x、y 为整数，所以 y 可以取 6，则 x = 9；y = 7，则 x = 8。所以另外两边的长为 9cm 和 6cm 或 8cm 和 7cm。幻灯片 9：常见错误分析与规避错误类型 1：判断三条线段能否组成三角形时，未将线段长度排序，逐一验证三个不等式，增加计算量且易出错。规避方法：牢记判断的简便方法，先将线段长度按从小到大排序，只需验证较短两边之和是否大于最长边。错误类型 2：在求第三边取值范围时，忽略 “大于两边之差” 或 “小于两边之和” 中的任何一个条件，导致取值范围错误。规避方法：明确第三边的取值范围是两边之差小于第三边小于两边之和，两个条件缺一不可，计算时要仔细核对。错误类型 3：解决等腰三角形问题时，未考虑腰长和底边长的不同情况，或忽略三角形三边关系的验证。规避方法：涉及等腰三角形边长问题时，要分情况讨论腰长和底边长，每种情况都需用三边关系验证是否成立，避免出现无效解。错误类型 4：对三角形定义理解不透彻，认为三条线段只要首尾相接就一定能组成三角形，忽略 “不在同一条直线上” 的条件。规避方法：强化三角形定义的理解，明确组成三角形的三条线段必须不在同一条直线上，否则只能形成一条直线，无法构成三角形。幻灯片 10：课堂总结与作业布置课堂总结：三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形，有三条边。三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边；推论：任意两边之差小于第三边。判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边。已知两边长求第三边取值范围：两边之差 < 第三边 < 两边之和，解决等腰三角形问题需分情况验证。作业布置：基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，判断线段能否组成三角形，求第三边取值范围。提升作业：一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为 2 和 5，求这个三角形的周长。拓展作业：用长度分别为 2cm、3cm、4cm、5cm 的四根木棒，任取三根组成三角形，有多少种不同的取法？请一一列出。2025-2026学年沪科版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.理解三角形概念及其基本要素.2.证明三角形两边的和大于第三边，并能运用它解决有关问题.3.经历探索三角形三边关系的过程，培养学生的分类讨论的思想；运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值.4.认识到通过观察、比较、推断获得解决实际问题的方法，使学生体会到数学源于生活，而又在生活实践探索中得到解决. 下面三根小棒摆成的图形，是否构成了三角形呢？(3)(1)(2)条件：DE①不能在同一条直线上；②不能有“缺口”“尾巴”；构成三角形的要素有哪些？组成三角形的线段叫作三角形的边；相邻两边所组成的角叫作三角形的内角相邻两边的公共端点是三角形的顶点.AB 、AC 、BC(c) (b) (a)(角)；ABCabcA、B、C∠A、∠B、∠C如何用符号表示三角形？ABC ABC△①字母没有先后顺序；②通常情况下按逆时针的顺序写.△BCA、△CAB等腰三角形等边三角形有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.腰腰底边底角顶角三边都相等的三角形叫作等边三角形.你能给下面的三角形起个名字吗？特殊的等腰三角形如何给下面的三角形分类？按边分：三边都不相等的三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形(1)(2)(3)(4)(5)设置三组小棒的长度，让学生动手操作，看能否拼成三角形?第一组：3cm，4cm，5cm(能拼成三角形)第二组：2cm，3cm，5cm(在一条直线上，不能拼成三角形)第三组：1cm，2cm，8cm(不能拼成三角形)任意画一个△ABC，蚂蚁从A到B的路线有哪些？CAB路线1：沿A→C→B路线走路线2：沿线段AB走即：AC+BC >AB；AB+BC >AC；AB+AC >BC.两点之间，线段最短任意画一个△ABC，蚂蚁从A到B的路线有哪些？CAB即：AC+BC >AB；AB+BC >AC；AB+AC >BC.三角形中两边之和大于第三边.三角形中两边之差小于第三边.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1) 3，4，8 ( )(2) 2，5，6 ( )(3) 5，6，10 ( )(4) 3，5，8 ( )不能能能不能有没有更简便的判断方法？ (1)如果腰长是底边长的2倍，求各边长；解：设等腰三角形的底边长为xcm，则腰长为2xcm.根据题意，得 x+2x+2x=18.解方程，得x=3.6.所以三角形的三边长为3.6cm，7.2cm，7.2cm.例1 等腰三角形中，周长为18cm.x2x2x(2)如果一边的长为4cm，求另两边长.例1 等腰三角形中，周长为18cm.解：若底边长为4cm，设腰长为xcm. 根据题意，得 2x+4=18.解方程，得 x =7； 若腰长为4cm，设底边长为xcm. 根据题意，得 24+ x =18.解方程，得 x =10. 由于4+4AB，∴AB