人教版七年级数学上册 第二章 有理数的运算（复习讲义）

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第二章 有理数的运算（复习讲义） 1. 了解有理数运算（含加、减、乘、除、乘方及混合运算）、运算律（交换律、结合律、分配律）、科学记数法与近似数的意义，体会各知识间整体联系。 2. 能用运算法则进行有理数加、减、乘、除、乘方运算，按混合运算顺序计算；用运算律简化运算；会用科学记数法表示数，求近似数。 3. 理解并利用有理数运算法则、运算律解决计算问题；借科学记数法、近似数处理实际数据，提升运算与数据处理能力 。 【知识点01】有理数的运算 1 ．运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【知识点02】科学记数法、近似数 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 题型一 有理数的加减混合运算 【例1】计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)23 (2)59 (3)1 (4) 【分析】本题考查有理数的加减运算和去绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可； （3）利用有理数的加减法则及绝对值的性质计算即可； （4）利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【变式1-2】计算． (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算； （1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)6 (3)1 (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）先把减法运算变为加法运算，然后根据有理数的加法法则计算即可； （2）先把减法运算变为加法运算，然后根据有理数的加法法则计算即可； （3）把负数与负数、正数与正数结合，然后根据有理数的加法法则计算即可； （4）先去括号，然后根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二 有理数加减法中的拆项法计算 【例2】阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) (2)，过程见详解。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）解：可以如下计算： 原式， 故答案为： （2）解： 【变式2-1】折项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2-2】拆项法．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2-3】阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 题型三 倒数 【例3】的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”进行解答即可． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 【变式3-1】的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，倒数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是，倒数是，绝对值是， 故答案为：；；． 【变式3-2】的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数相反数绝对值的概念，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：的倒数是，的相反数是，的绝对值是． 故答案为：；；． 题型四　有理数乘除法中的倒数法计算 【例4】阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵ ， ∴原式． 【变式4-1】阅读材料： 请你根据对材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】． 【分析】仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可． 【详解】解：原式的倒数是： ， 故原式． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式4-2】【阅读材料】 计算：． 分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果． 解：由于， 所以． 【问题解决】 根据上述方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律，准确计算． 【详解】解：∵ ， ∴． 【变式4-3】阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】本题考查了有理数的除法乘法分配律； （1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）解法一：原式的倒数为： ， ； 所以原式； 解法二：原式 ． 题型五 有理数的乘除混合运算 【例5】计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式5-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，有理数的除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合计算法则求解即可； （2）根据有理数除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式5-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型六 有理数的乘方运算 【例6】计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据乘方计算法则计算即可； （2）根据乘方法则计算； （3）根据乘方法则计算． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【点睛】此题考查了有理数乘方计算法则：n个相同因数的乘法等于这个数的n次幂，同时可以逆用． 【变式6-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)625 (2) (3)0.027 【分析】（1）表示4个相乘，即可得出答案； （2）先计算2的立方，即可得出答案； （3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键． 【变式6-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． 【变式6-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)2.25 (3) (4) (5)8 【分析】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） （5）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 题型七 有理数的混合运算 【例7】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查含乘方的有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法运算法则进行求解； （2）根据有理数的四则混合运算法则进行求解； （3）根据有理数的乘法运算法则进行求解； （4）根据有理数的混合运算法则进行求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式7-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先按照分配律计算乘法运算，再计算括号内的加减运算，最后合并即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-2】计算 (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是有理数的混合运算 （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先算、，再算乘除，最后计算出结果； （2）先乘方，再算括号里面的，最后计算出结果． 本题考查了有理数的混合运算，运算过程中注意运算顺序和运算法则．特别注意：与的区别． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式7-4】计算： (1)． (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算括号内的减法，最后计算乘方即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先利用乘法分配律去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型八 有理数的混合运算中错解复原问题 【例8】小明与小红两位同学计算的过程如下： (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)小红第二步计算出现错误 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除法、有理数的乘方，掌握运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）小红的第二步计算出现错误，第二步运算顺序出现错误； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：小红第二步计算出现错误，运算顺序出现了错误； （2）解：原式 ． 【变式8-1】阅读下面的解题过程： 回答： (1)上面解题过程中，第 步开始就出现了错误，错误的原因是 ； (2)请把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)②；运算顺序不对 (2)见解析 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据乘除法的运算法则进行分析即可； （2）根据有理数混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴原解题过程中，第二步出错，没有按运算顺序进行运算，乘除是同级运算，应从左到右依次进行， 故答案为：②；运算顺序不对． （2）解：原式． ． ． 或解：原式． ． ． 【变式8-2】计算： 下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务： 原式第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 (1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步； (2)任务二：请写出正确的解答过程. 【答案】(1)一；四； (2)见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其原运算法则． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断； （2）根据有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：解答过程共存在2处错误，分别是第一步和第四步 故答案为：一；四； （2）原式 ． 【变式8-3】小林在学习完有理数除法运算后，对算式的计算过程如下： 解：原式        ①     ②             ③ ． 根据小林的计算过程回答下列问题： (1)小林在进行第②步运算时，运用了乘法的 律； (2)小林的运算出现了错误，错在第 （只填写序号）步； (3)请给出正确解法． 【答案】(1)分配 (2)③ (3) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． （1）（2）根据小林的计算步骤分析即可； （3）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）小林在进行第②步运算时，运用了乘法的分配律． 故答案为：分配； （2）∵第③步计算乘法时符号确定错误， ∴小林的运算出现了错误，错在第③步． 故答案为：③； （3）原式 ． 【变式8-4】计算 (1)计算： 下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务： 原式第一步  第二步 第三步  第四步  第五步 任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第______步和第______步； 任务二：请写出正确的解答过程． (2) 【答案】(1)任务一：一；四；任务二：，过程见解析 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算： （1）任务一：观察可知在第一步计算时，计算的结果漏掉了负号 ，在第四步先计算了后面的乘法，运算顺序错误；任务二：按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解：任务一：观察可知在第一步计算时，计算的结果漏掉了负号 ，在第四步先计算了后面的乘法，运算顺序错误， 故答案为：一；四； 任务二： ； （2）解： ． 题型九 用科学记数法表示较大的数 【例9】中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】1131000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 【变式9-1】年高考报名人数再创历史新高，达到了万人，比去年增加了万人．这也是新中国成立以来高考人数首次突破万，万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为， ∴用科学记数法表示万，则万， 故答案为：． 【变式9-2】麒麟9000是国内首款搭载工艺的自主芯片，有着出色的算力和性能，它集成了153亿个晶体管，153亿用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：153亿， 故答案为：． 【变式9-3】2025年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：4060万用科学记数法表示为． 故答案为：． 题型十 有理数的乘方运算的应用 【例10】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？    【答案】第次后可拉出根面条． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 答：这样捏合到第6次后可拉出根面条． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义． 【变式10-1】如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经过（　　）    A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 【答案】B 【分析】根据题意30分钟由一个分裂成2个，依次计算即可． 【详解】解：第一次：30分钟变成2个； 第二次：1小时变成个； 第三次：1.5小时变成个； 第四次：2小时变成个； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方的相关知识点． 【变式10-2】一根米长的木棒，小明第一次截去全长的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，则第五次截去后剩下的木棒长为 米． 【答案】 【分析】根据题意可求出第一次截去全长的，剩下米，第二次截去余下的，剩下，从而即可得出第五次截去余下的，剩下米． 【详解】解：第一次截去全长的，剩下米， 第二次截去余下的，剩下米， … 第五次截去余下的，剩下米． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数乘方的应用，数字类规律探索．理解乘方的定义是解题关键． 【变式10-3】如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？ (2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？ 【答案】(1)16 (2)3 【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案； （2）根据题意，得到规律，设经过个30分钟得到64个细胞，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞， 经过2小时后，可分裂成16个细胞； （2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个； … 依此类推，第个30分钟分裂为个细胞； ，解得， 经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞． 【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键． 题型十一 有理数的混合运算中应用问题 【例11】中牟“最美”公交线路—“798线路”，是一趟途经方特、绿博园、电影小镇、只有河南、海昌海洋公园等多个景点的环形旅游专线，其中的11个站点如图所示．小明从方特南门开始乘坐这辆公交车，在图中11个公交站点提供志愿服务，到A站下车时，本次志愿者活动结束，约定向海宁皮革城方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，．    (1)请你通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求小明在志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是多少千米？ 【答案】(1)站是河南这一站 (2)小明在志愿服务期间乘坐公交行进的路程是千米 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解： （站）， 即站是河南这一站； （2）解： （站， （千米）， 即小明在志愿服务期间乘坐公交行进的路程是千米． 【变式11-1】为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 【答案】(1) (2) 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合计算是解题的关键； （1）根据平均数的意义，可得答案； （2）根据题意列式计算求出该班的总积分即可． 【详解】（1）解：由题意得： 答：这个小组分钟每人平均跳绳的个数个 （2）解：由题意得： 答：这个小组的总积分为分 【变式11-2】在“国庆+中秋”的8天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的7天与10月1日比每天旅游人数变化如下表∶(正数表示人数增加) (1)8天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？(结果用科学记数来表示) 【答案】(1)3万人 (2)元 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，掌握有理数混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）用最多那天的人数减去最少那天的人数即可； （2）先计算出这7天超出6万人的人数变化和，再总人数乘以200即可． 【详解】（1）解：（万人）； （2）解：（万人）， （元）． 【变式11-3】六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打7.5折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 【答案】(1)41千克 (2)760千克 (3)3618元 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义，根据题意正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据表格提供的数据可知：销售数量最多的一天是第二天，销售数量最少的一天是第一天，故用表格中第二天的销售数量减去第一天的销售数量即可算出答案； （2）先计算出6天的销售数再加上因质量不佳无法继续售卖的即可得出答案． （3）先计算出前四天的销售额，再计算后两天打折后的销售额，把六天的销售额加起来再减去成本即可得出答案． 【详解】（1）解：（千克） 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售41千克香瓜． （2）（千克） 答：利民超市这次共购进香瓜760千克． （3）， 元 元 元 元 答：利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润3618元． 【变式11-4】初夏逢盛会，冰城万象新．2024年第三十三届哈尔滨国际经济贸易洽谈会，吸引了众多采购商和消费者的目光，让海内外宾朋收获颇丰，也给哈尔滨市的旅游行业带来了新的生机，某出租车驾驶员在一条东西向的道路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）． (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，那么在连续接送5批客人的过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费9元，超过的部分每千米加元收费，在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费多少元？ 【答案】(1)在公司东面，距离公司6千米 (2)共耗油6升 (3)一共收到车费56.4元 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查正负数的意义以及有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练运用正负数的意义． （1）根据有理数加法即可求出答案． （2）根据题意列出算式即可求出答案． （3）根据题意列出算式即可求出答案． 【详解】（1）解：由行驶路程记录得： ， 答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东面，距离公司6千米； （2）解：由行驶路程记录得： （升）， 答：在连续接送5批客人的过程中共耗油6升； （3）解：由行驶路程记录得： （元）， 答：在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费元． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列各式运算结果为正数的是（    ）．   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，根据有理数乘方、乘法和加法运算法则，绝对值的意义，求出结果，进行判断即可．熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．−23×−43=89，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：B． 2．在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房用科学记数法表示（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：前三日平均每天的票房为亿元亿元， 亿， ， 故选：D． 3．在、、、中，负数的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，解题的关键是熟练掌握乘方的运算．根据乘方运算法则，计算出各个选项中式子的结果，然后进行判断即可． 【详解】解：，结果为负数； ，结果为正数； ，结果为负数； ，结果为负数； 综上分析可知：负数的个数是3个， 故选：B． 4．下列算式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据含乘方的有理数混合运算法则以及运算顺序逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 5．有一个数值转换器，其工作原理如图．若输入的值为23，则输出的结果是（    ） A．8 B．6 C．－4 D．10 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的加减乘除混合运算，掌握知识点是解题的关键． 先将代入数值转换器计算，得到结果为，则需要再将代入数值转换器计算，得到的结果为6，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ， 则． 故答案为：B． 二、填空题 6．的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 7．云南省矿产资源极为丰富，被誉为“有色金属王国”．锂资源方面，滇中地区被中国科学院地球化学研究所探明拥有氧化锂资源达340000吨．340000用科学记数法可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数运算法则. 先乘方，再算乘除，最后加减. 【详解】解：原式 故答案为： ． 9．定义一种新的运算：，如：，则= ． 【答案】58 【分析】本题主要考查新定义运算，理解新定义运算，运用含乘方的有理数混合运算法则代入计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，程序流程图与有理数计算，解题关键是根据程序列出算式． 先根据程序列出算式，再计算，根据结果判断能否输出，否则进入下一轮计算． 【详解】解：当输入的x为时， ， 输入的x为， ， 最后输出的结果y是， 故答案为：． 三、解答题 11．计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）原式利用有理数加减混合运算法则计算即可得答案； （2）原式利用有理数乘除法运算法则，从左到右依次计算即可得答案； （3）原式先计算括号中的加法运算，再计算乘除运算即可得答案； （4）原式利用乘法分配律计算即可得答案； （5）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 12．规定一种运算：，例如：．请你按照这种运算的规定，计算和的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查新定义的运算，掌握有理数的四则混合运算和含乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键．根据有理数的四则混合运算和含乘方的有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】解：依题意，； ． 13．某牛肉干的某种包装每袋标准克数为克，小明在超市购买时，对五袋牛肉干称量结果（记超过标准的克数为正，单位：克）记录如下：．   (1)这五袋牛肉干合计多少克？ (2)若重量超过标准克数的牛肉干为良品，求这五袋牛肉干的良品率．（良品率良品数总数） 【答案】(1)克 (2) 【分析】（）用袋标准克数的重量加上记录数据的和即可求解； （）根据正负数的意义确定出良品数，再根据良品率的计算方法计算即可； 本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，有理数除法的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：（克）， 答：这五袋牛肉干合计克； （2）解：， 答：这五袋牛肉干的良品率为． 14．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目，计算：，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下： 聪聪：原式． 明明：原式． (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ (2)你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； (3)用你认为最合适的方法计算：． 【答案】(1)明明的解法较好，能够简便地计算出结果 (2)有，见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键． （1）根据计算判断明明的解法好； （2）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：明明的解法较好，能够简便地计算出结果； （2）解：有．方法如下： ； （3）解： ． 15．某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车___________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车___________辆； (3)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆？ (4)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖25元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)212 (2)26 (3)1410辆 (4)42550元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）计算平均每天产量与周四与计划出入的和； （2）根据有理数的减法，可得答案； （3）根据有理数的加法，可得答案； （4）根据有理数的混合运算，即可求得． 【详解】（1）解：（辆）． 故该厂星期四生产自行车辆； （2）解：（辆）． 故产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车辆； （3）解：（辆）， 故该厂本周实际生产自行车辆； （4）解： （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是42550元． 能力提升进阶练 一、单选题 1．化简的结果是（ ） A． B．64 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算以及负整数指数幂． 先根据幂的乘方对原式进行计算，再计算负整数指数幂即可得到答案． 【详解】解： 故选：D. 2．据报道，在中国空间站上一天可以看见16次日出，中国空间站一天飞行的路程大约为万千米．数据万用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键在于用科学记数法表示为，确定、的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，为整数，的值为整数位数少1，据此即可解答． 【详解】万即，用科学记数法表示为， 故选B． 3．下列各数：中，负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查正负数，先进行有理数的乘方，化简多重符号，去绝对值运算，再根据小于0的数为负数，进行判断即可． 【详解】解：， ∴负数有，共4个； 故选C． 4．下列运算结果正确的个数为（   ） ①；     ②； ③；           ④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加法，根据有理数的加法法则逐一计算即可判断． 【详解】解：①，此小题计算正确； ②，此小题计算正确； ③，此小题计算正确； ④，此小题计算正确． 综上，四个运算均正确， 故选：A． 5．已知：当时，；当时，；那么当同时满足条件时，式子的值是（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到同号，均小于0，根据当时，，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴同号，均小于0， ∵当时，， ∴； 故选：D． 二、填空题 6．2的倒数是 ，的倒数是 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是理解倒数定义：“乘积为1的两个数互为倒数”．根据倒数定义进行求解即可． 【详解】解：2的倒数是，的倒数是． 故答案为：；． 7．截止到6月1日，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突破亿元，位列全球影史票房榜第5名．其中亿元用科学记数法表示为 元． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示大于10的数，解题关键是掌握科学记数法的表示方法，将大于10的数写成的形式，其中，n等于原数的整数位数减去1． 【详解】解：∵亿； 故答案为： ． 8．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．图①表示的是，根据这种表示法，可推算出图②中所得的数值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的含义以及有理数的加法，掌握有理数加法法则是解题的关键． 根据图中红色的有根，黑色的有根，并且红色为正，黑色为负可得答案． 【详解】解：由题意可知，红色为正，黑色为负． 图②中红色的有根，黑色的有根， 图②中表示的算式的值为 故答案为：． 9．用十进制计数法表示正整数，如，用二进制计数法来表示正整数，如：，记作：，记作：，则表示数 ． 【答案】43 【分析】此题考查了有理数的混合运算，正确理解题目中介绍的二进制是关键． 根据二进制计数法计算出结果即可． 【详解】解：根据二进制转化成十进制法则得， ， 故答案为：43． 10．已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义列出算式，再计算即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据加法运算律交换位置，再利用加法法则计算即可； （2）首先根据乘法分配律、绝对值的性质、乘方运算法则进行运算，再进行有理数乘法运算，然后相加减即可； （3）先计算乘方运算，再把除法化为乘法运算，最后算加减可得答案． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 12．计算； (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2)3 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据乘法运算律计算即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据有理数的运算顺序，先计算乘方和括号内的，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 13．在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解答下面的问题： (1)小明第一步板演中共出现______次错误； (2)请完整的写出此题正确的运算过程． 【答案】(1)2 (2)5，过程见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是关键． （１）根据有理数的运算法则指出错误的地方即可； （２）根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：小明第一步板演中共出现2次错误， 第一次是计算时结果错误，第二次是计算时出现错误， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 14．市质量技术监督局从某面粉加工厂生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： (1)若标准质量为25千克，则抽样检测的20袋面粉的总质量为多少千克? (2)若该种面粉质量的合格标准为“千克”，求该食品的抽样检测的合格率． 【答案】(1)500.6千克 (2) 【分析】本题考查正负数的应用，有理数混合运算的应用： （1）总质量标准质量抽取的袋数超过（或短缺的）质量，把相关数值代入计算即可； （2）找到所给数值中，与标准质量的差值的绝对值小于或等于0.25的面粉袋数占总袋数的百分比即可． 【详解】（1）解： （千克）． 总质量 (千克)．     答：抽样检测的20袋面粉的总质量为500.6千克． （2）解：合格的袋数为：（袋）， 所以，食品的合格率为． 15．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米 (2)估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键； （1）用标准乘以天数，再加上表格中的数据之和，进行求解即可； （2）求出油车和电车所需的费用，作差即可． 【详解】（1）解：； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米； （2）（元）； 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元．计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：原式的倒数 ． 故原式．小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步）小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步）计算： ． 解：原式．（第①步） ．（第②步） ．（第③步）日期2日3日4日5日6日7日8日人数变化 (单位∶万人)日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天销售量（千克）第一批第二批第三批第四批第五批星期一二三四五六日增减与标准质量的差值（单位：千克）0袋数1234541第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）0