人教版七年级数学上册 第二章 有理数的运算（知识清单）

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第二章 有理数的运算 【知识点01】有理数的运算 1 ．运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【知识点02】科学记数法、近似数 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 易错点1 含乘方的有理数的混合运算问题 一、易错点总结 1. 乘方符号易出错，如(-2)2 = 4，但-22 = -4，要区分底数是否带符号 。 2. 混合运算顺序易乱，未先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号也未先算括号内。 二、注意事项 1. 明确乘方符号规则，看准底数与指数关系。 2. 严格遵循“先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号内”顺序运算 。 例题1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则进行计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减，即可求解； （2）先计算有理数的乘方和括号内的，再计算乘法，然后计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错点2 程序流程图与有理数的混合运算 一、易错点总结 1. 对程序流程理解不清，未按顺序执行步骤，漏掉循环、判断环节，致运算逻辑错误。 2. 有理数运算时，符号、乘方及运算顺序易出错，像乘方底数符号、混合运算步骤混乱。 二、注意事项 1. 梳理程序流程，明确输入、运算、输出及条件判断顺序，分步分析。 2. 强化有理数运算规则，关注符号、乘方意义，严格依“先乘方，后乘除，再加减”运算 。 例题2．小鹏做了一个如图所示的程序图，按要求完成下列各小题． (1)当小鹏输入的数为6时，求输出的结果n； (2)若小鹏某次输入数m后，输出的结果n为．请你写出m可能的2个值． 【答案】(1) (2)或0.5 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查程序流程图与有理数运算： （1）根据流程图，列出算式进行计算即可； （2）分或两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， ； （2）， 当时，， 当时，； 故m可能为或0.5． 易错点3 有理数的加减混合运算中的实际应用问题 一、易错点总结 1. 实际情境理解偏差，如工程、行程问题中，对工作量、路程等数量关系分析错误，导致列式出错。 2. 运算顺序与符号失误，乘方、乘除、加减混合时，顺序搞错或符号处理不当，使结果偏离实际。 二、注意事项 1. 精读题目，梳理实际问题里的数量关系，明确各量间运算逻辑。 2. 严格遵循有理数混合运算顺序，细致处理符号，运算后结合实际检验结果合理性 。 例题3．苍溪雪梨是四川省苍溪县特产，中国国家地理标志产品．某水果超市以每千克4元的价格购进50筐雪梨，因水果超市与批发商长期合作，所以购进时以每筐30千克的标准质量付款．到店后称了每筐的质量，将超出标准质量的部分记为“”，不足标准质量的部分记为“”，记录如下表： (1)这50筐雪梨中，最重的一筐与最轻的一筐相差多少千克？ (2)水果超市这次购进50筐雪梨的实际总质量是多少？多（或少）付了多少元？ 【答案】(1)4千克 (2)实际总质量是1490千克，多付了40元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数和有理数的加减混合运算，理解正负数的意义是解答此题的关键． （1）最重的一筐多了千克，最轻的一筐量少了千克，则两箱相差4千克； （2）先求得总质量，再乘以4元即可． 【详解】（1）解：（千克）． 答：最重的一筐与最轻的一筐相差4千克． （2）解：（千克）， 实际质量为（千克）， 水果超市多付了（元）． 答：实际总质量是1490千克，多付了40元． 易错点4 有理数的混合运算中的新定义型问题 一、易错点总结 1. 定义理解偏差：未能准确领会新定义的运算规则，比如对符号含义、运算优先级判断错误，导致后续列式和计算失误。 2. 运算习惯干扰：受常规有理数运算顺序和法则影响，在新定义运算中，仍按固有习惯计算，忽略新规则。 二、注意事项 1. 精准解读定义：仔细研读新定义，明确运算规则、涉及的符号意义，可通过简单示例加深理解。 2. 区分新旧运算：遇到新定义型问题，先将其与常规运算区分，严格依据新规则进行列式和计算。 例题4．我们定义一种新运算：．例如：． (1)则______； (2)求的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次议程．读懂题意并理解新运算的定义式是解题的关键． （1）根据新运算的定义，代入数据即可算出结论； （2）先把（1）得到的的值代入，再根据新运算的定义式，代入数据即可算出结论． （3）根据新运算的定义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ 又由（1）得， ∴ ． （3）解：∵ ∴ 易错点5 有理数的混合运算中规律探究问题 一、易错点总结 1. 规律归纳片面，只看前几项就贸然下结论，忽略后续项是否符合，导致规律总结错误。 2. 运算代入失误，找到规律后代入有理数计算时，符号、乘方等细节出错，结果偏离正确值。 二、注意事项 1. 多列几项观察，验证规律是否持续成立，避免片面归纳。 2. 按规律代入计算时，严格遵循运算规则，算后再用多组数据验证结果。 例题5．观察下列等式：；；；；； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出两个等式： ， ； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数） (3)利用这个规律计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数的混合运算等知识点，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律，并能根据所求灵活应用规律是解题的关键． （1）根据所给等式的规律，直接写出即可； （2）通过观察可得，第个等式为； （3）由（2）可得，原式，再求解即可． 【详解】（1）解：根据所给等式的规律可知： ， ， 故答案为：，； （2）解：根据所给等式的规律可知，第个等式为： ； （3）解： ． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B．6 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算原则，准确计算是解题关键． 先算乘方与括号内的，再进行乘除运算，最后加减即可． 【详解】解： ． 故选B． 2．我们定义一种新的运算“”，并且规定：，例如：，则的值为（   ）． A．5 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为定义一种新的运算“”，并且规定：，所以，即可作答． 【详解】解：∵定义一种新的运算“”，并且规定：， ∴ ． 故选：A． 3．按照如图所示的操作步骤进行计算，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B．28 C． D．80 【答案】B 【分析】根据运算程序列式计算即可得解．本题考查了代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，按程序一步一步计算． 【详解】解：由图可知，输入的值为时，， 则， 故选择：B． 4．如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第4次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 5．二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生、请判断下列选项中表示9班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算的应用，图形的规律，因为其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．所以分别算出第一、二行的数，进行验证即可． 【详解】解：A、第二行：，学号不符合，故该选项不符合题意； B、第一行：，第二行：，班级、学号均符合，故该选项符合题意； C、第二行：，学号不符合，故该选项不符合题意； D、第一行：，班级不符合，故该选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查乘方与绝对值的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先算乘方和绝对值，再算减法． 【详解】解： ． 故答案为：1． 7．用⊗定义一种运算：对于任意实数都有，例如，则= ． 【答案】17 【分析】本题定义了一种新的运算，其运算规则为对于任意实数都有，要求的值，只需将，代入到新运算规则中进行计算．本题主要考查了定义新运算，理解并掌握新运算规则是解题的关键．熟练掌握根据给定的新运算规则进行计算的方法，能够准确地将数值代入规则中进行运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．观察算式，，，，，，，，…根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据题意得，末位数字以2，4，8，6．．．循环出现，得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 末位数字以2，4，8，6．．．循环出现， ∴， ∴的末位数字是4， 故答案为：4． 9．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“F运算”的结果是11．则若，则第449次“F运算”的结果是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的运算能力，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴含了次数、结果规律探索问题，解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，从而求出答案． 【详解】解：当，为奇数，第1次进行F①运算，即（偶数）， 第2次进行F②运算，即（奇数）， 第3次进行F①运算，即（偶数）， 第4次进行F②运算，即（奇数）， 第5次进行F①运算，即（偶数）， 第6次进行F②运算，即（奇数）， 第7次进行F①运算，即（偶数）， 即从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1， 第449次“F运算”，得到的结果是8， 故答案为：8． 10．如图，在数轴上剪下一条11个单位长度（从到9）的线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查数轴翻折问题，两点之间的距离，分类讨论是解题的关键． 由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵线段长为11，这三条线段的长度之比为， ， ∴这三条线段的长度分别为， 若剪下的第一条线段长为，第2条线段长度也为， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为，第2条线段长度为， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为，第2条线段长度为， 则折痕表示的数为：； ∴折痕表示的数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查了含有乘方的有理数混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解：−14−−42−1−32×2 =−1−16−−22×2 =−1−16−4×2 =−1−16−8 ． 12．观察下列式子： ；；；． (1)根据上面式子的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①____________； ②____________； (2)计算： 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了去绝对值，有理数的加减法计算： （1）根据进行求解即可； （2）根据化简绝对值，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵． ∴； 故答案为：①；②； （2）解：由题意得，    ． 13．某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“”表示进库，“”表示出库） ，，，，，． (1)经过这6天，仓库里的货品______．（填“增多了”或“减少了”） (2)经过这6天，仓库管理员结算时发现仓库里还剩货品，那么6天前仓库里有货品多少吨？ (3)如果货品进出仓库的装卸费都是每吨5元，那么这6天共需付多少元装卸费？ 【答案】(1)减少了 (2)540吨 (3)860元 【分析】本题考查了有理数加减的混合运算，相反意义的量、有理数加法及应用，熟练掌握有理数的运算法则，理解题意是解此题的关键． （1）根据题意把各个数据相加，若得数为负，说明减少了，若得数为正，说明增加了； （2）剩下货品加上出的货品即为所求； （3）分别把这6天装卸的货物求出，再乘以装卸费用即为所求． 【详解】（1）解：（吨）， ∴经过这6天，仓库里的货品减少了， 故答案为：减少了； （2）解：， 答：6天前仓库里有货品； （3）解：（元） 答：这6天要付元装卸费． 14．仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 【详解】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 15．对于正整数a、b，定义一种新运算，． (1)计算的值为______； (2)求的所有可能的值； (3)下列说法中正确的是______． ①                ② ③                ④ 【答案】(1)0 (2)当a、b两数都是偶数时，原式；当a、b两数都是奇数时，原式；当a、b两数中一个是奇数，一个是偶数时，原式 (3)①③④ 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则、运算顺序以及对新定义的理解是解答此题的关键． （1）直接根据新定义的运算，进行计算即可； （2）分三种情况进行讨论：①均为偶数；②中一个奇数一个偶数；③均为奇数；即可得出答案； （3）根据新定义的运算，一一进行判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：0； （2）解：分三种情况进行讨论： ①当均为偶数时， ； ②当中一个奇数一个偶数时， ； ③当均为奇数时， ， 综上所述，的所有可能的值为2，0，； （3）解：①、，，故原式计算正确； ②、取，则，，故故原式计算错误； ③、，故原式计算正确； ④、，故原式计算正确； 综上计算正确的有：①③④； 故答案为：①③④． 16．延安土层深厚，海拔米，光照充足，昼夜温差大，有利果实积累糖分，是苹果的最佳适生带．现有10箱延安苹果，以每箱为标准，其中质量超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下表所示． (1)这10箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量相比，这10箱苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若每千克苹果售价12元，这10箱苹果可卖出多少元？ 【答案】(1)千克 (2)超过千克 (3)3030元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数乘法的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）最重的一箱苹果比标准质量重千克，最轻的一箱苹果比标准质量轻3千克，据此即可求解； （2）求出表格中所有数据的代数和，如果和为正，表示总计超过标准质量；如果和为负，表示总计不足标准质量，即可解答； （3）先求出10箱苹果的总质量，再乘以12即可得出答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：最重的一箱比最轻的一箱重千克． （2）解：（千克）， 答：与标准质量相比，这10箱苹果总计超过千克． （3）解：（千克）， （元）， 答：这10箱苹果可卖出3030元． 17．类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记作，记作，一般地把n个a相除记做，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：= ；= ． (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢？方法如下： 除方乘方的形式 仿照以上例子，把除方运算写成乘方形式：=． (3)算一算： 【答案】(1)；． (2)； (3)． 【分析】（1）直接根据“除方”运算的定义，即个相除记作，计算与的值． （2）仿照所给例子，将除方运算转化为乘方形式，关键在于明确除方运算转化为乘法运算的规律． （3）先根据（2）中得出的规律将除方运算转化为乘方形式，再按照有理数的混合运算法则进行计算． 本题主要考查了新定义运算以及有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算法则，以及根据新定义运算的规则将除方运算转化为常见的乘方和乘法运算形式是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为；． （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 18．【情境假设3】是一组有规律的数，我们如何求这些连续数和呢？ 【阅读理解】 ． 【数学理解】 （1）根据规律，第6个数是______，是第______个数． （2）请直接写出计算结果：______． 【拓展运用】 （3）已知，，，计算：． 【答案】（1）；11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算，有理数的乘法运算等知识．熟练掌握裂项法进行求和计算是解题的关键． （1）由题意知，可推导一般性规律为：第个数为，由，作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据给出的已知算式，将变形为，计算求解即可． 【详解】解：（1）解：由题意知，第1个数为； 第2个数为； 第3个数为； 第4个数为； 第5个数为； ∴可推导一般性规律为：第个数为， ∴第6个数是， ∵， ∴是第11个数； （2） ； （3）解：由题意知， ．与标准质量偏差/千克012筐数1598711与标准质量的差/201箱数111241