数学八年级上册（2024）15.3 角的平分线精品课后测评

这是一份数学八年级上册（2024）15.3 角的平分线精品课后测评，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在▵ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是( )．
A. AF=BFB. ∠AFD+∠FBC=90∘
C. DF⊥ABD. ∠BAF=∠CAF
2.如图，在RtΔABC中，∠C=90∘，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD=n，AB=m，则ΔABD的面积是( )
A. 13mnB. 12mnC. mnD. 2mn
3.下列尺规作图，能确定AD是▵ABC的角平分线的是( )．
A. B.
C. D.
4.如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA于点F，PE⊥OB于点E，若PE=3，OE=4，OP=5，则PF的长为( )．
A. 3B. 4C. 5D. 以上都有可能
5.如图，在▵ABC中，AB=7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE=2，则▵ABD的面积为( )．
A. 7B. 10C. 12D. 14
6.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在( )
A. ▵ABC的三条中线的交点处B. ▵ABC三边的中垂线的交点处
C. ▵ABC三条高所在直线的交点处D. ▵ABC三条角平分线的交点处
7.如图直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处
8.到三角形三边距离相等的点是( )
A. 三角形三条高线的交点B. 三角形三条中线的交点
C. 三角形三边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
10.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，根据尺规作图的痕迹作射线AE，交BD于点I，连接CI，则下列说法错误的是 ( )
A. 点I到边AB、AC的距离相等B. CI平分∠ACB
C. ∠DIE=90∘+12∠ACBD. 点I到A、B、C三点的距离相等
11.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，∠BCD=60°，AD=2AB，连接OE.下列结论： ①S▱ABCD=AB⋅BD; ②DB平分∠ADE; ③AB=DE; ④S△CDE=S△BOC，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
12.(2024青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB于点D，PD= 2，则点P到OA的距离是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知如图，在▵ABC中，∠A=70∘，且AC=BC，根据图中的尺规作图痕迹，计算∠α= °.
14.如图，在▵ABC中，∠A=50∘，∠B=80∘，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为 ．
15.如图，▵ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线相交于点O，则S▵ABO:S▵BCO:S▵CAO= ．
16.如图，已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD/​/OA，交OB于点D，PE⊥OA于点E.如果OD=4cm，则PE的长为______cm．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的平分线．
18.(本小题8分)
尺规作图：
(1)作出边AC上的高线．
(2)作出∠B的角平分线．
(3)作出边AB的中线
19.(本小题8分)
如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
(1)试说明AD垂直平分EF；
(2)若∠B=30°，AB=6.6，AC=3.4，S△ABC=10，求BD的长．
20.(本小题8分)
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
(1)若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数；
(2)若∠ABC=60°，OB=4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．
21.(本小题8分)
尺规作图
22.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，AB=AE．
(1)用尺规作∠ADC的角平分线，交BC于点F，连接AF(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)在(1)的条件下，求证：四边形AFCE为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，______．
∴∠ADF=∠DFC．
∵DF平分∠ADC，
∴______．
∴∠DFC=∠CDF，
∴______．
∵AB=AE，
∴AE=CD=CF．
∵AE/​/CF且AE=CF
∴四边形AFCE为平行四边形．
∵CE⊥AD，
∴______．
∴平行四边形AFCE为矩形(______)(填推理的依据)．
23.(本小题8分)
如图，∠B=∠C=90∘，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的平分线．
24.(本小题8分)
尺规作图.(不写作法，保留作图痕迹)
如图，在∠ABC内求作一点P，使P到∠ABC两边的距离相等，且PM=PN．
25.(本小题8分)
如图，已知∠PAQ及边AP上一点C．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ=2∠CAQ(保留作图痕迹，写出必要的 文字说明)；
(2)在(1)的条件下，以点O为圆心，OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)；
答案和解析
1.【答案】D
【解析】略
2.【答案】B
【解析】考点：三角形的内角平分线，面积问题
过点D作DE⊥AB于E，CD=DE，▵ABD的面积=12AB⋅DE=12mn．
3.【答案】A
【解析】略
4.【答案】A
【解析】略
5.【答案】A
【解析】略
6.【答案】D
【解析】略
7.【答案】D
【解析】略
8.【答案】D
【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了角平分线的性质．
过G点作GH⊥AC于H，利用角平分线的性质得到GH=GB=1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【解答】
解：由作法得AG平分∠BAC，
过G点作GH⊥AC于H，如图，
∵GB⊥AB，GH⊥AC，
∴GH=GB=1，
所以△ACG的面积=12×4×1=2．
故选A．
10.【答案】D
【解析】略
11.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠BCD=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=60°=∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，
∵AD=2AB，BC=AD，CD=AB，
∴BC=2CD=2CE=2DE，
∴DE=CE=BE，
∴∠BDE=∠DBE=12∠CED=30°，
∴∠CDB=90°，
∴∠ABD=90°，即AB⊥BD，
∴S▱ABCD=AB⋅BD，故①正确；
由①知，∠ADE=60°，∠BDE=30°，
∴∠ADB=30°=∠BDE，
∴DB平分∠ADE，故②正确；
∵AB=CD，CD=DE，
∴AB=DE，故③正确；
∵BE=EC，
∴S△CDE=12S△CDB，
∵BO=OD，
∴S△BOC=12S△CDB，
∴S△CDE=S△BOC，故④正确；
故选：D．
求得∠ABD=90°，即AB⊥BD，即可得到S▱ABCD=AB⋅BD；
依据∠ADE=60°，∠BDE=30°，可得∠ADB=30°=∠BDE，即可得出DB平分∠CDE；
依据AB=CD，CD=DE，即可得到AB=DE；
由BE=EC可得S△CDE=12S△CDB，由BO=OD可得S△BOC=12S△CDB，即可得出S△CDE=S△BOC．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线定义，熟练掌握各定理是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】【解析】
本题考查了角平分线的性质定理．过点P作PE⊥OA 于点E，根据角平分线的性质可得PE=PD ，即可求解．
【j解答】解：过点P作PE⊥OA 于点E，
因为OC 平分∠AOB ，PD⊥OB ，PE⊥OA ，
所以PE=PD=2 ，
故选：C．
13.【答案】5°
【解析】略
14.【答案】65°
【解析】略
15.【答案】4：5：6
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵三条角平分线交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OD=OE=OF，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA=4：5：6，
故答案为4：5：6．
16.【答案】2
【解析】解：如图，过点P作PF⊥OB于F，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，
∴PE=PF，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PD/​/OA，
∴∠AOC=∠OPD，∠PDF=∠AOB=30°，
∴∠BOC=∠OPD，
∴PD=OD=4cm，
∴PF=12PD=12×4=2(cm)，
∴PE=PF=2cm．
故答案为：2．
过点P作PF⊥OB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF=PE，根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOC=∠OPD，两直线平行，同位角相等可得∠PDF=∠AOB，再求出∠BOC=∠OPD，根据等角对等边可得PD=OD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PF=12PD．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．
17.【答案】证明：过点E作EF⊥AD于点F，如图，
由∠B=∠C=90∘，可得：CE⊥DC，EB⊥AB，
∵DE平分∠ADC，CE⊥DC，EF⊥DA，
∴EF=CE，
∵E是BC的中点，
∴CE=EB，
∴EF=EB，
∵EF⊥AD，EB⊥AB，
∴AE是∠DAB的平分线；
【解析】本题考查的是角平分线的性质和判定的有关知识，过点E作EF⊥AD于点F，由角平分线的性质可知EF=CE，由于E是BC的中点，所以CE=EB，所以EF=EB，再由角平分线的判定定理可知AE是∠DAB的平分线．
18.【答案】解；(1)如图，BD为所作；
(2)如图，BE为所作；
(3)如图，CF为所作．

【解析】本题考查了作图−复杂作图：正确理解三角形的角平分线、中线和高是解决问题的关键．
(1)利用基本作图，过B点作AC的垂线即可；
(2)利用基本作图作∠ABC的平分线即可；
(3)作AB的垂直平分线得到AB的中点F，然后连接CF即可．
19.【答案】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
4
【解析】(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
(2)解：∵DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB⋅ED+12AC⋅DF=12DE⋅(AB+AC)=10，
∵AB=6.6，AC=3.4，
∴12DE⋅(6.6+3.4)=10，
∴DE=2；
∵∠B=30°，
BD=2DE=4．
(1)根据角平分线的性质可得DE=DF，进而证明Rt△AED≌Rt△AFD，进而证明AE=AF，即可求解；
(2)根据等面积法可得12DE(AB+AC)=10，利用含30°角的直角三角形的性质，即可求解BD的长度．
本题考查角平分线的性质及线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∵∠ABC=60°，∠ACB=40°
∴∠OBC=30°，∠OCB=20°，
∴∠COB=180°−(30°+20°)=130°；
(2)过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，
∵∠ABC=60°，OB=4
∴∠OBD=30°，
∴OD=12OB=2，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴OE=OF=2，
∵S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC
=12×2×AB+12×2×AC+12×2×BC
=AB+BC+AC，
又∵△ABC的周长为16，
∴S△ABC=16．
【解析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形内角和定理及三角形面积公式．
(1)利用角平分线的定义得到∠OBC=30°，∠OCB=20°，然后根据三角形内角和计算∠COB的度数；
(2)过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系得到OD=2，再根据角平分线的性质得到OE=OF=2，然后根据三角形面积公式计算．
21.【答案】解：(1)如图直线MN为所求
(2)如图射线OP为所求

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
22.【答案】见解答；
AB=CD，∠ADF=∠CDF，CD=CF，∠AEC=90°，有一个内角为直角的平行四边形为矩形
【解析】(1)如图，AF为所作；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD．
∴∠ADF=∠DFC．
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
∴∠DFC=∠CDF，
∴CD=CF，
∵AB=AE，
∴AE=CD=CF．
∵AE/​/CF且AE=CF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AFCE为矩形(有一个内角为直角的平行四边形为矩形)．
故答案为：AB=CD，∠ADF=∠CDF，CD=CF，∠AEC=90°，有一个内角为直角的平行四边形为矩形．
(1)利用基本作图作∠ADC的平分线即可；
(2)先根据平行四边形的性质得到AD//BC，AB=CD，根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，再证明∠DFC=∠CDF得到CD=CF，所以AB=AE=CD=CF，于是可判断四边形AFCE为平行四边形．然后利用CE⊥AD得到∠AEC=90°，则根据矩形的判定方法得到结论．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、平行四边形的性质和矩形的判定．
23.【答案】证明：如图所示，过点E作 EF⊥AD 于F，
∵E是 BC 的中点，
∴ CE=BE ，
∵ DE 平分 ∠ADC ， ∠C=90∘,EF⊥AD ，
∴ EF=CE ，
∴ EF=BE ，
又∵ EF⊥AD,∠B=90∘ ，
∴ AE 是 ∠DAB 的平分线．

【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，过点E作EF⊥AD于F，先由线段中点的定义得到CE=BE，再由角平分线的性质得到EF=CE，则EF=BE，据此根据角平分线的判定定理证明即可．
【详解】证明：如图所示，过点E作EF⊥AD于F，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵DE平分∠ADC，∠C=90∘,EF⊥AD，
∴EF=CE，
∴EF=BE，
又∵EF⊥AD,∠B=90∘，
∴AE是∠DAB的平分线．
24.【答案】解：作∠AOB的平分线，作线段MN的垂直平分线，交于点P．
如图，点P即为所求．
．
【解析】本题考查作角平分线、线段垂直平分线的基本作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
①作∠AOB的平分线，②作线段MN的垂直平分线，交点即点P．
25.【答案】解：(1)如图点O即为所求；
(2)如图，点B点M即为所求；
【解析】详细解答和解析过程见【答案】