沪科版（2024）八年级上册（2024）14.1 全等三角形及其性质优秀习题

这是一份沪科版（2024）八年级上册（2024）14.1 全等三角形及其性质优秀习题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，▵ABC≌▵DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为F.若∠BCE=65∘，则∠CAF的度数为( )
A. 30∘B. 25∘C. 35∘D. 65∘
2.下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等，其中逆命题是真命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.平面坐标系xOy中，点A的坐标为(−4,6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为( )
A. (4,6)
B. (6,4)
C. (−4,−6)
D. (−6,−4)
4.如图，▵ABC≌▵FDE，∠C=50 ∘，∠F=100 ∘，则∠B的度数为( )
A. 20 ∘B. 30 ∘C. 35 ∘D. 40 ∘
5.在下列各组图形中，不是全等图形的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，直线y=−2x+2与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线AP⊥AB于点A.若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为 ( )
A. 2或 5+1B. 3或 5C. 2或 5D. 3或 5+1
7.如图，P是等边△ABC内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边在△ABC外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是( )
A. △APP′是正三角形
B. △PCP′是直角三角形
C. ∠APB=150°
D. ∠APC=135°
8.如图，▵ABC≌▵DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为( )
A. 30°B. 25°C. 35°D. 65°
9.下列命题中是假命题的是( )
A. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B. 全等三角形的面积相等
C. 负数都小于零D. 三角形的三个内角的和等于180°
10.下列命题的逆命题是真命题的有( )
(1)对顶角相等；
(2)全等三角形的面积相等；
(3)如果x>0，那么x2>0；
(4)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
11.如图，△ABE≌△ACD，若∠B=70°，∠AEB=75°，则∠CAE=( )
A. 35°
B. 25°
C. 10°
D. 5°
12.如图，▵ABC≅▵DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，点A坐标为−1,0，点B坐标为0,2，若在y轴右侧有一点C使得▵BOC与▵BOA全等，则点C的坐标为 ．
14.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(2,0)，(2,4)，若以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等(点P不与点O重合)，则点P的坐标为 ．
15.已知△ABC≌△DEF，若△ABC的周长为20，AB=8，BC=3，则DF的长为 ．
16.如图，□ABCD与□EFGH全等，且点A，B，C，D的对应顶点分别是H，E，F，G，其中点E在DC上，点F在BC上，点C在FG上．若AB=7，AD=5，FC=3，则四边形ECGH的周长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上，并且所画图形不全等．

(1)在图1中以线段AB为边画一个中心对称的四边形ABCD；
(2)在图2中以线段AB为边画一个轴对称的四边形ABCD；
(3)在图3中以线段AB为边画一个中心对称并且轴对称的四边形ABCD．
18.(本小题8分)
如图，在8×8的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求作图．
(1)在图1中，画出所有与△ABC全等(不包含△ABC)的△ABP．
(2)在图2中，过顶点A画一条直线平分△ABC的面积(不写作法，保留作图痕迹)
19.(本小题8分)
如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．
(1)已知BC=7，AD=5，求AF的长．
(2)判断CE与AB的位置关系，并说明理由．
20.(本小题8分)
如图(1)，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图(2))，得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图(2)中小正方形的边长．
(2)当a=3时，该小正方形的面积是多少？
21.(本小题8分)
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE，顶点F在BC上，边DF经过点C，点A，E在BC同侧，DE⊥AB．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若AC=11，EF=6，CF=4，求BD的长．
22.(本小题8分)
如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别在AB，AD上，且∠ECF=60°．
(1)求证：△ECF为等边三角形；
(2)连接AC，若AC将四边形AECF的面积分为1：2两部分，当AB=6时，求△BEC的面积．
23.(本小题8分)
两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90 ∘，B,C,E在同一条直线上，连接DC．
(1)请找出图2中与▵ABE全等的三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；
(2)证明：DC⊥BE．
24.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
(1)求证：AE=CF；
(2)求证：四边形EBFD是平行四边形．
25.(本小题8分)
如图，▵ABC中，D是BC延长线上一点，CD=AB，过点C作CE/​/AB且CE=BC，连接DE并延长，分别交AC，AB点F，G．
(1)试说明：▵ABC≌▵DCE；
(2)若∠B=50 ∘，∠D=25 ∘，求∠AFG的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】略
2.【答案】A
【解析】解：利用平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质逐项分析判断如下：
①对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
②同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，为真命题，符合题意；
③全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意；
④如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误，为假命题，不符合题意；
真命题有1个，
故选：A．
利用平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质，属于基础知识，比较简单．
3.【答案】B
【解析】解：过A作AC⊥y轴于点C，过A′作A′B⊥x轴于点B，
则：AC=4，CO=6，∠ACO=∠A′BO=90°，
∴∠A+∠AOC=∠AOC+∠CAA′=90°，
∴∠A=∠COA′，
∵AO=A′O，
∴△AOC≌△A′OB(AAS)，
∴A′B=AC=4，OB=OC=6，
∴A′(6,4)，
故选：B．
根据旋转的性质及全等三角形的性质求解．
本题考查了坐标与图形变换−旋转，掌握旋转的性质及全等三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理．直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案．
【详解】解：∵▵ABC≌▵FDE，∠C=50 ∘，∠F=100 ∘，
∴∠BAC=∠F=100 ∘，
∴∠B=180 ∘−100 ∘−50 ∘=30 ∘．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是全等形的识别，属于基础题．
根据能够完全重合的两个图形是全等图形，对各选项分析即可得解．
【解答】
解：观察发现，A、B、D选项的两个图形都可以完全重合，
∴是全等图形，
C选项中圆与椭圆不可能完全重合，
∴不是全等形．
6.【答案】D
【解析】略
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等边三角形的性质、等边三角形的判定，勾股定理的逆定理，全等三角形的性质等知识，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．先运用全等得出AP′=AP，∠BAP=∠CAP′，从而∠BAC=∠PAP′=60°，得出△APP′是等边三角形，∠AP′P=60°，PP′=AP，再运用勾股定理逆定理得出∠PP′C=90°，由此得解．
【解答】
解：△ABC是等边三角形，则∠BAC=60°，又△AP′C≌△APB，则AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，∠BAP+∠PAC=∠CAP′+∠PAC，即∠BAC=∠PAP′=60°，
∴△APP′是正三角形，又PA：PB：PC=3：4：5，
∴设PA=3x，则：PP′=PA=3x，P′C=PB=4x，PC=5x，
根据勾股定理的逆定理可知：△PCP′是直角三角形，且∠PP′C=90°，
又△APP′是正三角形，
∴∠AP′P=60°，
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=150°
错误的结论只能是∠APC=135°．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查全等三角形的性质和角的计算，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
由全等三角形的性质可求得∠ACD=65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD=90°，进而可求解∠CAF的度数．
【解答】
解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠BCE=65°，
∴∠ACD=∠BCE=65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF+∠ACD=90°，
∴∠CAF=90°−65°=25°，
故选：B．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是三角形的内角和定理，对顶角，邻补角，正数和负数，全等三角形的性质，定义与命题的有关知识，直接利用三角形的内角和定理，对顶角，邻补角，正数和负数，全等三角形的性质进行逐一分析即可．
【解答】
解：如果两个角相等，那么这两个角有可能是对顶角，有可能不是对顶角，故A是假命题；
全等三角形的面积相等，故B是真命题；
负数都小于零，故C是真命题；
三角形的三个内角的和等于180°，故D是真命题．
故选A．
10.【答案】A
【解析】解：(1)对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；
(2)全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题；
(3)如果x>0，那么x2>0的逆命题是若x2>0，则x>0，是假命题；
(4)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题；
因此以上命题的逆命题是真命题的有1个，
综上所述，只有选项A正确，符合题意，
故选：A．
分别写出各个命题的逆命题，然后判断是否为真命题即可．
本题考查了命题与定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，非负数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：∵∠B=70°，∠AEB=75°，
∴∠BAE=180°−∠B−∠AEB=180°−70°−75°=35°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD=35°，AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=∠AEB=75°，
∴∠DAE=180°−∠ADE−∠AED=180°−75°−75°=30°，
∴∠CAE=∠CAD−∠DAE=35°−30°=5°，
故选：D．
首先计算出∠BAE的度数，再根据全等三角形的性质可得∠BAE=∠CAD=35°，AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED=75°，进而可得到∠CAE的度数．
本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等、对应角相等是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
根据全等三角形的对应边相等，可得DE=AB，而AB=AE+BE，代入数据计算即可．
【解答】
解：∵△ABC≌△DEF，
∴DE=AB，
∵BE=4，AE=1，
∴DE=AB=AE+BE=1+4=5．
故选A．
13.【答案】(1,0)或(1,2)
【解析】略
14.【答案】(4,0)或(4,4)或(0,4)
【解析】略
15.【答案】9
【解析】解：∵△ABC的周长为20，BC=3，AB=8，
∴AC=20−AB−BC=20−3−8=9，
∵△ABC≌△DEF，
∴DF=AC=9，
故答案为：9．
先求出AC=9，再由全等三角形的性质即可得解．
本题考查了全等三角形的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
16.【答案】21
【解析】 提示：由题意知HE=FG=CD=AB=7，EF=HG=AD=5，∠DCB=∠GFE，所以EC=EF=5.因为FC=3，所以CG=FG−FC=4，所以四边形ECGH的周长为EC+CG+HG+EH=5+4+5+7=21．
17.【答案】解：(1)∵平行四边形是中心对称图形，
∴将线段AB向右平移两个单位，即可得到平行四边形ABCD，
作图，如下，

(2)∵等腰梯形是轴对称图形，
∴以线段AB为腰，作等腰梯形ABCD，
作图，如下，

(3)∵正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，
∴以线段AB为一边，做正方形ABCD，
作图，如下．

【解析】(1)根据平行四边形的性质及判定作图，即可，
(2)根据等腰梯形的性质作图，即可，
(3)根据正方形的性质及判定作图，即可，
本题考查了网格作图，平行四边形的性质及判定，正方形的性质及判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
18.【答案】解：(1)如图所示，△BAP1，△BAP2，△ABP3即为要画的三角形；
(2)如图，AD即为要画的直线．

【解析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的中线等．
(1)结合全等三角形的性质及网格特点画出图形即可；
(2)首先找到BC中点D，再连接AD即可．
19.【答案】3；
CE⊥AB
【解析】(1)∵△ABD≌△CFD，
∴BD=FD，AD=DC，
∴BD=BC−DC=BC−AD=7−5=2，
∴FD=2，
∴AF=AD−FD=5−2=3．
(2)CE⊥AB，理由如下：
∵AD⊥BD，
∴∠DFC+∠DCF=90°，
∵△ABD≌△CFD，
∴∠B=∠DFC，
∴∠B+∠DCF=90°，
∵∠CEB+∠B+∠DCF=180°，
∴∠CEB=90°，
即CE⊥AB．
(1)根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可；
(2)根据全等三角形的性质，推出∠B+∠DCF=90°，进而得到∠CEB=90°，即可得证．
本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键．
20.【答案】【小题1】
∵直角三角形较短的直角边=12×2a=a，
较长的直角边=2a+3，∴小正方形的边长=2a+3−a=a+3．
【小题2】
小正方形的面积为(a+3)2，当a=3时，面积为(3+3)2=36．

【解析】1. 略
2. 略
21.【答案】证明：(1)∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠D+∠B=90°，
∴∠A=∠D，
∵∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)；
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，BC=EF，
若AC=11，EF=6，
∴DF=11，BC=6，
∵CF=4，
∴DC=DF−CF=11−4=7，
∴BD=DC+BC=7+6=13．
【解析】(1)根据全等三角形的判定方法解答即可；
(2)根据全等三角形的性质解答即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，确定用AAS定理进行证明是关键．
22.【答案】【小题1】
如图，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC=AD=DC.又∵∠B=60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠CAD=∠ACB=∠ACD=60°.∵∠ECF=60°，∠BCD=120°，∴∠BCE+∠DCF=60°.又∵∠ACF+∠DCF=60°，∴∠BCE=∠ACF.在△BCE和△ACF中，∠BCE=∠ACF，BC=AC，∠CBE=∠CAF，∴△BCE≌△ACF(ASA)，∴CE=CF.∵∠ECF=60°，∴△ECF为等边三角形．
【小题2】
由(1)可知△CBE≌△CAF，∴S△CBE=S△CAF，∴S四边形AECF=S△ABC.如图，作AH⊥BC交BC于点H，在△ABH中，∠B=60°，AB=6，∴BH=3，∴AH=3 3，∴S△ABC=12×6×3 3=9 3.当S△CBE：S△CAE=1：2时，S△BEC=13S△ABC=3 3；当S△CBE：S△CAE=2：1时，S△BEC=23S△ABC=6 3．
综上所述，△BEC的面积为3 3或6 3．

【解析】1.
2. 见答案
23.【答案】【小题1】
解：图2中△ACD≌△ABE，
证明：∵▵ABC与▵AED均为等腰直角三角形，
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90 ∘，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
∵在▵ABE与▵ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD,
∴▵ABE≌▵ACD(SAS)；
【小题2】
证明：由(1)▵ABE≌▵ACD，
则∠ACD=∠ABE=45 ∘，
又∵∠ACB=45 ∘，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90 ∘，
∴DC⊥BE．

【解析】1.
根据等腰直角三角形的性质，利用SAS判定△ACD≌△ABE；
2.
根据全等三角形的对应角相等，可得∠ACD=∠ABE=45 ∘，根据∠ACB=45 ∘，可得到∠BCD=∠ACB+∠ACD=90 ∘，进而得出DC⊥BE．
24.【答案】【小题1】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵∠1=∠2，
∴180°−∠1=180°−∠2，即∠AED=∠CFB，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴AE=CF．
【小题2】
证明：∵∠1=∠2，
∴DE/​/BF．
由(1)知，△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．

【解析】1.
提示：证△ADE≌△CBF即可得.
2. 略
25.【答案】【小题1】
证明：∵CE//AB，
∴∠B=∠DCE，
∵CD=AB,CE=BC，
∴▵ABC≌▵DCE；
【小题2】
解：∵∠B=50 ∘，∠D=25 ∘，
∴∠AGD=50 ∘+25 ∘=75 ∘，
∵▵ABC≌▵DCE，
∴∠A=∠D=25 ∘，
∴∠AFG=180 ∘−∠AGF−∠A=80 ∘．

【解析】1.
根据CE/​/AB，可得∠B=∠DCE，再利用SAS证得▵ABC≌▵DCE；
2.
根据三角形外角的性质可得∠AGD=50 ∘+25 ∘=75 ∘，再由▵ABC≌▵DCE，可得∠A=∠D=25 ∘，再利用三角形内角和定理即可求解．
归纳总结
特殊四边形中的半角模型
类型
菱形120°含60°
正方形90°含45°
模型
解题方法
逆时针旋转120°
顺时针旋转90°
结论
①△ABE≌△ADG，
△AEF≌△AGF；
②△AEF为等边三角形
①△ABG≌△ADF，
△AGE≌△ΑFE；
②EF=BE+DF