数学九年级上册菱形的性质与判定优秀课时练习

这是一份数学九年级上册菱形的性质与判定优秀课时练习，文件包含专题01菱形的性质与判定八大考点+知识串讲原卷版docx、专题01菱形的性质与判定八大考点+知识串讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）菱形的性质
（二）菱形的判定
考点一遍过
考点1：菱形的性质——求角度
典例1：如图，菱形ABCD中，AB=10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠AEO=32°，则∠ADO的度数为（ ）
A．26°B．16°C．36°D．46°
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，证明出OE是△ABD的中位线是本题的关键．根据菱形的性质得出BO=DO， AB∥CD，∠ADO=∠CDO，根据三角形中位线定理得出OE∥CD，得到∠ADC=∠AEO=32°，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠AEO=32°，
∴AB∥CD，∠ADO=∠CDO，
∵E是边AD的中点，BO=DO，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB∥OE∥CD，
∴∠ADC=∠AEO=32°，
∴∠ADO=∠CDO=12∠ADC=16°，
故选：B．
【变式1】如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB,CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=25°，则∠OBC的度数为（ ）
A．25°B．55°C．65°D．75°
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD,AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO,∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵∠MAO=∠NCOAM=CN∠AMO=∠CNO，
∴△AMO≌△CNOASA，
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=25°，
∴∠BCA=∠DAC=25°，
∴∠OBC=90°−25°=65°．
故选：C．
【变式2】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，若∠BAD=54°，则∠BDH的度数为 ．
【答案】27°/27度
【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系．
根据菱形的性质求出∠BAD=∠BCD=54°，∠BDA=∠BDC=63°，根据互余性质得到∠ADH=36°，计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，BC∥AD，∠BAD=∠BCD=54°，∠BDA=∠BDC，
∵∠BCD=54°，
∴∠ADC=126°，
∴∠BDA=∠BDC=63°，
∵DH⊥AB，
∴∠AHD=90°，
∴∠ADH=90°−54°=36°，
∴∠BDH=∠BDA−∠ADH=27°，
故答案为：27°．
【变式3】将两个完全相同的菱形按如图方式放置，点D在边BF上，BG与CD相交于点E，若∠BAD=α,∠CBE=β，则α，β的等量关系式为 ．
【答案】3α+2β=180°
【分析】本题考查了菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、平行线的性质，是解题的关键．由题意可得∠FBG=∠DAB=∠BCD=α，由菱形的性质可得AD∥BC，∠ABD=∠CBD=α+β，由平行线的性质可得∠DAB+∠ABC=180°，进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形BFHG为完全相同的菱形，
∴ ∠FBG=∠DAB=∠BCD=α，AD∥BC，
∠ABD=∠CBD=α+β，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=α+β+α+β=2α+2β
∴α+2α+2β=180°，
∴3α+2β=180°，
故答案为：3α+2β=180°．
考点2：菱形的性质——求线段
典例2：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=2，BD=8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB′，则AB′的长是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．根据菱形的性质及旋转的性质得出AO′=3，O′B′=OB=12BD=4，根据勾股定理求出AB′=AO′2+O′B′2=5即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC=12AC，OB=12BD，
∵AC=2，BD=8，
∴OC=1，OB=4，
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，
∴∠O′=∠BOC=90°，CO′=OC=1，O′B′=OB=4，
∴AO′=AC+O′C=3，
∴AB′=AO′2+O′B′2=5．
故选：C．
【变式1】如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
A．1:2B．1:3C．1:2D．1:3
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直平分．
根据菱形性质得出AB=BC=2cm，则BE=AB2−AE2=1cm，CE=1cm，进而得出AC=AE2+CE2=2cm，根据S菱形ABCD=BC⋅AE=12AC⋅BD，求出BD=23，即可解答．
【详解】解：∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB=BC=8÷4=2cm，
∵AE为高，则AE⊥BC，
∴根据勾股定理可得BE=AB2−AE2=22−32=1cm，
∴CE=BC−BE=1cm，
根据勾股定理可得：AC=AE2+CE2=32+12=2cm，
∵S菱形ABCD=BC⋅AE=12AC⋅BD，
∴23=12×2BD，
解得：BD=23，
∴AC长和BD长之比为2:23=1:3，
故选：D．
【变式2】如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AC=6，BD=8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为 ．
【答案】245
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型．
利用菱形的面积公式：12AC⋅BD=BC⋅AE，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，
∴AB=BC=OB2+OC2=5，
∵ 12AC⋅BD=BC⋅AE，
∴AE=245，
故答案为：245．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的动点，连接AF，EF，G，H分别为AF，EF的中点，连接GH．若∠B=45°，BC=43，则GH的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AE,求出AF的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接AE，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=43，
∵G,H分别为AF,EF的中点,
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH=12AE，
当AE⊥BC时, AE最小, GH得到最小值,则∠AEB=90°,
∵∠B=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=22AB=22×43=26，
∵GH=6，
即GH的最小值为 6,
故答案为：6．
考点3：菱形的性质——求面积
典例3：如图，菱形纸片ABCD中，∠C=45°，将纸片沿着直线MN折叠，使点A与点B重合，若DM=1，那么菱形ABCD的面积为（ ）
A．4+32B．82−2C．62D．8
【答案】A
【分析】此题考查了菱形的折叠问题、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，求出菱形的边长是解题的关键．利用折叠的性质和菱形的性质求出菱形的边长为2+2，过点D作DH⊥AB于点H，则∠AHD=90°，进一步求出AH=DH=22AD=2+1，即可求出菱形的面积．
【详解】解：∵菱形纸片ABCD中，∠C=45°，
∴∠A=∠C=45°，
∵将纸片沿着直线MN折叠，使点A与点B重合，
∴∠A=∠ABM=45°，
∴∠AMB=90°，AM=BM，
设菱形的边长为x，则AD=AB=x，AM=BM=AD−DM=x−1，
∴AB=AM2+BM2=2x−1，
∴x=2x−1，
解得x=2+2，
即菱形的边长为2+2，
过点D作DH⊥AB于点H，则∠AHD=90°，
∴∠ADH=∠A=45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=DH=22AD=2+1，
∴菱形ABCD的面积为AB⋅DH=2+22+1=4+32．
故选：A．
【变式1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BD=8，S菱形ABCD=24，则AH=（ ）
A．2B．2.4C．4.8D．9.6
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形面积公式等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．先利用菱形的对角线长求面积的公式求出AC=6，然后求得OC，OB的长，利用勾股定理求出BC=5，最后根据菱形的面积公式即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=12BD=4，OC=12AC，
∵S菱形ABCD=24，对角线AC，BD于点O，
∴12AC⋅BD=24，
即12AC×8=24，
解得AC=6，
∴OC=3，
∴BC=OB2+OC2=42+32=5，
∵AH⊥BC，
∴BC⋅AH=24，
即5AH=24，
∴AH=4.8．
故选C．
【变式2】如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠DAB=60°，G是对角线的交点，在AD边上任取一点E，连接EG，在AB边上取一点F，使∠EGF=120°，则BD= ，四边形AEGF的面积为 ．
【答案】 8 123
【分析】本题主要考查菱形性质、含30°角的直角三角形性质和割补法求面积的相关内容，根据菱形性质和∠DAB=60°得△ABD为等边三角形即可求得答案；根据菱形性质得到点G到AD,AB的距离相等，由已知得∠GEK=∠GFH可证明△GKE≌△GHF则有面积相等，再利用直角三角形性质可以求得边长，根据割补法有S四边形AEGF=S四边形AHGK即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=8；
过点G作GK⊥AD交AD于点K，作GH⊥AB交AB于点H，如图，

∵∠EGF=120°，∠DAB=60°，
∴∠GFA+∠GEA=180°，
∵∠GEA+∠GEK=180°，
∴∠GEK=∠GFH，
∵四边形ABCD为菱形，
∴GK=GH，
∴△GKE≌△GHF，
则S△GKE=S△GHF，
∵AB=8,∠DAB=60°，
∴在Rt△AGB中，∠GAB=30°，得BG=4，AG=43，
∴HG=23，AH=6，
则S四边形AEGF=S四边形AHGK=2S△AHG=2×12⋅AH⋅GH=6×23=123，
故答案为：8；123．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为 ．
【答案】322
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，能熟记菱形的性质和求出DF=PF=PE是解此题的关键
根据菱形的性质得出DC=BC，∠DAB=∠DCB=45°，∠DCA=∠BCA，根据角平分线的性质得出PF=PE，求出DF=PF，设DF=PF=x，则DP=2，根据的周长为8得出，求出x+x+2x=8，求出DF=PF=PE=8−42，DP=2x=82−8， x，求出DE，DC求出BC，再求出菱形的面积即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=45°，
∴DC=BC，∠DAB=∠DCB=45°，∠DCA=∠BCA，
∵DE⊥BC，PF⊥DC，
∴∠DEC=∠PFD=90°，PF=PE，
∴∠EDC=∠DPF=∠DCB=45°，
∴DF=PF=PE，DE=CE，
设DF=PF=x，则DP=2x，
∵△PDF的周长为8，
∴x+x+2x=8，
解得： x=8−42，
即DF=PF=PE=8−42，DP=2×8−42=82−8，
∴DE=DP+PE=82−8+8−42=42，
即DE=CE=42， DC=2DE=8，
∴BC=DC=8，
∴菱形ABCD的面积=BC×DE=8×42=322
故答案为：322．
考点4：菱形的性质——证明题
典例4：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AC⊥BD，点O是线段AC的中点．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)延长BC至点E，使CE=BC，连接AE，若AB=3,∠ABC=60°，求线段AE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)33
【分析】（1）由三角形全等的判定与性质得到AD=BC，再由平行四边形的判定及菱形的判定定理即可得证；
（2）由（1）中四边形ABCD是菱形，结合菱形性质及等边三角形的判定与性质得到∠BAE=90°，在Rt△ABE中运用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO，
∵点O是AC的中点，
∴AO=CO，
∴△ADO≌△CBO(AAS)，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∵CE=BC，
∴AC=BC=CE=12BE，
∵∠ACB=60°=∠CAE+∠CEA，
∴∠CAE=∠CEA=30°，
∴∠BAE=90°，
∴△BAE是直角三角形，
∴AE=BE2−AB2=62−32=33．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行线的性质、中点定义、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=BC，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于点F．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)求证：BF=DE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，难易程度适中．
（1）根据AD和BC既平行又相等，所以四边形ABCD为平行四边形，而AD=DC=BC，根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，即可得出结论
（2）连接BD，证明四边形BDEF是平行四边形，即可得出结论．
【详解】（1）证明： ∵AD∥BC，AD=BC（已知），
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵AD=DC，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）证明：：如图：连接BD
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∵BF∥DE，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE．
【变式2】如图，菱形ABCD对角线AC、BD交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=OC．
(1)证明：OE=CD；
(2)若菱形边长为4，∠ABC=60°，求AE．
【答案】(1)见解析
(2)27
【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的性质可得∠COD=90°，由菱形的判定即可得证；
（2）根据菱形的性质可得AC=AB=4，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE=CD；
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=4，
在矩形OCED中，CE=OD=AD2−AO2=23，
∴在Rt△ACE中，AE=AC2+CE2=27．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
【变式3】如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连接AF，CE，AC．

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若四边形AFCE是菱形，判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)△ABC是直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，菱形的性质定理是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质及中点得AE=CF，AE∥CF，利用平行四边形的判定即可得证；
（2）由菱形的性质得AF=CF，∠FAC=∠FCA，再证∠FAB=∠FBA，进而根据三角形的内角和定理即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=DE=12AD，CF=BF=12BC，
∵AD=BC，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
又∵CF=BF，
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA，
∵∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FBA=180°，
∴∠FAB+∠FAC=90°，
∴△ABC是直角三角形．
考点5：菱形的性质——坐标问题
典例5：如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点C的坐标为（1，0），∠D=60°，则点D的坐标为（ ）
A．2，2B．3，2C．3，3D．2，3
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键．设BO=x，由菱形的性质可得∠ABC=∠D=60°,AB=BC=x+1，AD∥BC，再列出方程x=12x+1，即可求解．
【详解】解：设BO=x，
∵C（1，0），
∴OC=1，BC=x+1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠D=60°,AB=BC=x+1，AD∥BC，
∴∠BAO=30°，
∴OB=12AB，
∴x=12x+1，
∴x=1，
∴AB=AD=2，OB=1，
∴OA=22−12=3，
∴点D坐标为2，3．
故选：D
【变式1】如图．菱形OABC的顶点A在x轴上，CD⊥AB于点D，将菱形沿CD所在直线折叠，点B的对应点为B′．若∠AOC=45°，点B′的横坐标为4，则点B的坐标为（ ）
A．42+4,4B．8,4C．42+4,22D．8,22
【答案】A
【分析】令OA与B′C的交点为E，根据菱形和折叠的性质，得到OA⊥B′C，进而得出OE=OC=4，再由勾股定理求出OC=BC=42，即可得到点B的坐标．
【详解】解：如图，令OA与B′C的交点为E，
∵四边形OABC是菱形，∠AOC=45°，
∴OC=BC，BC∥OA，∠B=∠AOC=45°，
∵CD⊥AB，菱形沿CD所在直线折叠，点B的对应点为B′
∴∠B′=∠B=45°，
∴∠BCB′=90°，即BC⊥B′C，
∴OA⊥B′C，
∵点B′的横坐标为4，
∴OE=4，
∵△CEO是等腰直角三角形，
∴OE=OC=4，
∴OC=OE2+CE2=42，
∴BC=42，
∴点B的坐标为42+4,4，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．
【变式2】菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为2,0，∠AOC=30°，则点C的坐标为 ．
【答案】3，1
【分析】过点C作CE⊥OA于E，由菱形的性质可得出OC=OA=2，由含30度角的直角三角形的性质得出CE=1， 根据勾股定理可得出OE=OC2−CE2=3， 即可得出点C的坐标．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥OA于E，
∵四边形OABC是菱形，A的坐标为2,0，
∴OC=OA=2，
在Rt△OCE中，OC=2，∠AOC=30°，
∴CE=1，
∴OE=OC2−CE2=3
∴点C的坐标是3，1，
故答案为：3，1
【点睛】本题主要考查菱形性质、坐标与图形性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握萎形的四条边都相等和含30度角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
【变式3】如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点B的坐标为4,m，点D的坐标为n,2，则m+n的值为 ．
【答案】−6
【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称的性质，根据菱形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，且对角线交于原点O，
∴点Dn,2与点B4,m关于原点成中心对称，
∴n=−4，m=−2，
∴m+n=−6．
故答案为：−6．
考点6：菱形的性质——添加条件
典例6：已知如图，在▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′=DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′=∠A′C′D；其中正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙B．只有乙、丙C．只有甲、乙D．只有甲
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．先根据题意可知四边形AB′C′D是平行四边形，再根据三种方案结合菱形的判定定理即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
根据平移可知BC=B′C′，BC∥B′C′，
∴AD∥B′C′，AD=B′C′，
∴四边形AB′C′D是平行四边形，
∴AB′=DC′．
方案甲，添加AB′=DC′不能判断四边形AB′C′D是菱形；
方案乙，由B′D⊥AC′，
∴平行四边形AB′C′D是菱形；
方案丙，由∠A′C′B′=∠A′C′D，
∵AD∥B′C′，
∴∠DAC′=∠A′C′B′，
∴∠DAC′=∠A′C′D，
∴ AD=C′D，
∴平行四边形AB′C′D是菱形．
所以正确的是乙和丙．
故选：B．
【变式1】如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连接AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由在▱ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFO∠AOE=∠COFOA=OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
①∵OE=OA，
∴AC=EF，
∴四边形AFCE是矩形；故错误；
②∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；故正确；
③∵AF平分∠BAC，AB⊥AC，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
无法判定四边形AFCE是菱形；故错误；
④∵AC⊥AB，AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∵E为AD中点，
∴AE=CE=12AD，
∴四边形AFCE是菱形；故正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意首先证得四边形AFCE是平行四边形是关键．
【变式2】在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，分别添加下列条件：① AC⊥BD；② AB=BC；③ AC平分∠BAD；④ AO=BO．使得平行四边形ABCD是菱形的条件有 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定定理逐一判断即可求解，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABCD是菱形，①正确，故符合要求；
当AB=BC时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABCD是菱形，②正确，故符合要求；
当AC平分∠BAD时，如图，则∠BAC=∠DAC，

∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD,
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，③正确，故符合要求；
当AO=BO时，如图，则AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形，④错误，故不合要求；
故答案为：①②③．
【变式3】如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD，BC上，且DE=BF，则再添加一个条件： 可判定四边形AFCE是菱形．（只添加一个条件）
【答案】AE＝AF
【分析】由题意可知，AE与CF平行且相等，可判定四边形AFCE是平行四边形，再根据菱形的定义添加条件即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD＝BC，AD∥BC，
而DE＝BF，
∴ AE＝CF，
∴ 四边形AFCE是平行四边形，
根据菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴ 添加AE＝AF，
故填：AE＝AF．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握判定定理是关键．
考点7：菱形的判定——证明题
典例7：如图所示，在平行四边形ABCD中，AB