初中数学北师大版（2024）九年级上册矩形的性质与判定优秀同步达标检测题

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知识一遍过
（一）矩形的性质
（二）矩形的判定
（三）斜边中线的性质
在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半
如图：OB=12AB
考点一遍过
考点1：矩形的性质——求角度
典例1：如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE=AC，连接DE，若∠ACB=40∘，则∠E的度数是（ ）
A．40∘B．50∘C．60∘D．70∘
【变式1】如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，EF⊥AE交BC于点F，连接AF．若∠CFE=α，则∠BAF的度数为（ ）
A．45°−α2B．45°+α2C．2α−90°D．90°−2α
【变式2】如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，∠ACB=α，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 （用α的代数式表示）．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE:∠BAE=7:3，则∠OAE的度数为 ．

考点2：矩形的性质——求线段
典例2：如图，在矩形 ABCD中，点 E在 BC上，AE=AD=10，CD=6，作 AF⊥DE于点 G，交 CD于 F，则 CF的长是 （ ）
A．103B．83C．3D．2
【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB=6cm，BC=8cm．则EF的长是（ ）
A．2.2cmB．2.3cmC．2.4cmD．2.5cm
【变式2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，连接DE，F为DE的中点，连接OF，CF．若AB=2，BC=4，则△OCF的周长为 ．
【变式3】在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是直线BC一动点，若将△ABP沿AP折叠，使点B落在点E处，连接AE、PE，若P、E、D三点在同一条直线上，则BP= ．
考点3：矩形的性质——求面积
典例3：如图，矩形ABCD的长是6cm，宽是4cm，O是对称中心，过点O任意画一条直线l，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．6cm2
【变式1】如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F．若AC=10，则PE+PF=（ ）．
A．4B．2.5C．5D．10
【变式2】如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=4，则图中阴影部分的面积为 ．

【变式3】如图，长方形ABCD中，点E、F分别为AD、BC边上的任意点，△ABG、△DCH的面积分别为15和25，那么四边形EGFH的面积为 ．
考点4：矩形的性质——证明题
典例4：如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
(1)求证：AB=DF；
(2)若CE=2，AF=6，求DF的长．
【变式1】如图，在矩形ABCD中，∠BAE=∠DCF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【变式2】如图，在矩形纸片AEE′D中，AD=5，S矩形AEE′D=15，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．
(1)求证∶四边形AFF′D是菱形；
(2)求四边形AFF′D的两条对角线的长．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、AB上的点，且EF=EC，EF⊥EC于点E．求证：BE平分∠ABC．
考点5：矩形的性质——坐标问题
典例5：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为10,0,0,4，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当OP=PD时，点P的坐标是（ ）
A．2.5,4B．3,4C．4,4D．5,4
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A，C分别在y轴、x轴上，且点B4,3，D为边BC上一点，将∠B沿AD所在直线翻折，当点B的对应点B′恰好落在对角线AC上时，点D的坐标为( )
A．4,43B．4,53C．4,95D．4,75
【变式2】如图，四边形ABCO是矩形，其中点A和点C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为12 ， 5，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则D点的坐标为 ．

【变式3】将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ．
考点6：矩形的性质——折叠问题
典例6：已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C1处，BC1与AD交于点E，AD=8，AB=4．
(1)求BD的长？
(2)说明△ABE≌△C1DE；
(3)求DE的长．
【变式1】如图，将长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合，折痕为EF．
(1)求证：CE=CF；
(2)若AB=8，BC=16，求DE的长．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形．
【变式3】如图1，在矩形OACB中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，OA=8，OB=6．
(1)直接写出点C的坐标： ；
(2)如图2，点G在BC边上，连接AG，将△ACG沿AG折叠，点C恰好与线段AB上的点C′重合，求线段CG的长度；
(3)如图3，P是直线y=2x−6上一点且在BC下方，PD⊥PB交线段AC于点D．若P在第一象限，且PB=PD，求点P的坐标．
考点7：矩形的判定——证明题
典例7：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．

(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．
【变式1】如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE，CF．
(1)求证∶△BDF≌△CDE；
(2)若DE=12BC，试判断四边形BFCE是什么特殊的四边形？并证明你的结论．
【变式2】如图，在▱ABCD中，O是AD的中点，连接BO，BO,CD的延长线相交于点E，连接AE,BD．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形．
(2)若∠BOD=2∠C，求证：四边形ABDE是矩形．
【变式3】如图，在△ABC中AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若∠AOE=60°，AE=4，求AD的长．
考点8：矩形的判定与性质综合
典例8：如图，AM∥BN，C为BN上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，作直线PQ，交AC于点O，连接BO并延长交AM于点D，连接CD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)当∠ABC=90°时，在BN上取一点E，使BE=AC，连接DE．若∠BED=75°，求∠DBC的度数．
【变式1】如图，在▱ABCD中，O为AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC=90°．
(1)求证：四边形ABDE是矩形；
(2)连接OC，若AB=4，BD=8，求OC的长．
【变式2】如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．
(1)求证：四边形EBCF是矩形．
(2)设△ABE的面积为S1，△ACE的面积为S2，矩形EBCF的面积为S3，则S1，S2，S3的等量关系为______．
【变式3】如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在边BC上，连接AE，BD交于点F，∠BFE=2∠DBC．
(1)如图1，若AB=BC=AE，则∠DBC的度数为______°
(2)如图2，若∠ABC=90°，AF=5，四边形ABCD的周长为28，求四边形ABCD的面积．
考点9：直角三角形斜边中线性质
典例9：如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC，垂足为点D，G是AD上一点，且BD=DG．连接CG，点E、F分别是AB、CG的中点，求证：DE=DF．

【变式1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD=AE．
(1)求证：DG⊥CE．
(2)若AF=EF，求∠B的度数．
【变式2】如图，△ABC中，D是BC边的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，连接DE，DF．
(1)求证：DE=DF．
(2)若∠A=75°，BC=8，连接EF，求△DEF的面积．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点N．点M是对角线BD的中点，连接AM、CM．已知AB=AC，AB⊥AC，∠BCD=90°，AM=CD．
(1)求证：△ABM≌△ACM；
(2)若BC=4，求AN的长．
矩形的性质：
因为ABCD是矩形
几何表达式举例：
(1) 对边平行且相等；对角线互相平分
(2) ∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
(3) ∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
矩形的判定：
四边形ABCD是矩形.


几何表达式举例：
(1) ∵四边形ABCD是平行四边形
又∵∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
(2) ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴四边形ABCD是矩形
(3) ∵四边形ABCD是平行四边形
又∵OA=OD或OA=OB
∴四边形ABCD是矩形