第一章 特殊平行四边形 专题05 特殊平行四边形单元过关（培优版）(原卷版+解析版）-北师大版初中数学九上

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专题05 特殊平行四边形单元过关（培优版） 考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）1．如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H．若对角线AC、BD的长分别是10cm、20cm，则四边形EFGH的周长是（　　）  A．20cmB．30cmC．40cmD．50cm【答案】B【分析】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC或BD的一半，进而求四边形周长即可．【详解】解：∵E，F，G，H，是四边形ABCD各边中点，∴HG=12AC，EF=12AC，GF=HE=12BD．又∵AC=10cm，BD=20cm，∴四边形EFGH的周长是HG+EF+GF+HE=12AC+AC+BD+BD=AC+BD=30cm．故选：B．【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据．2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DE⊥AC于点E,若DE=1,∠A=30°，则△ABC的面积为（  ）A．45B．3C．3D．23【答案】D【分析】根据直角三角形中30°所对的边时斜边的一半，可以推算出AD的长度，利用中线的性质，可以得到AB的长度,在根据边角关系，得到BC的长度，利用勾股定理求得AC的长度，最后根据三角形面积公式计算面积即可.【详解】解:∵DE⊥AC，∴∠DEA=90°，∵∠A=30°，DE=1∴AD=2，∵DC是中线，∴AB-4,∴BC=2,∴AC=42−22=23,∴△ABC的面积为23×22=23故选D【点睛】本题考查了中线的性质，直角三角形中边角关系和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据中线的性质得到相等的线段.3．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（   ）A．AO=BOB．∠ABC=∠BCDC．AC⊥BDD．AC=BD【答案】C【分析】先确定四边形ABCD为平行四边形，添加的条件AO=BO，可得AO=CO=BO=DO，可证AC=2AO=BD，故能判定选项A；添加的条件∠ABC=∠BCD，由四边形ABCD为平行四边形，可得∠ABC+∠BCD=180°，可求∠ABC=∠BCD=90°，故能判定选项B；添加的条件AC⊥BD，由四边形ABCD为平行四边形，可得四边形ABCD为菱形，故不能判定选项C；添加的条件AC=BD，由四边形ABCD为平行四边形，可得四边形ABCD为矩形，故能判定选项D ．【详解】解：四边形ABCD的对角线相交于O，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD为平行四边形，A选项添加的条件AO=BO，∴AO=CO=BO=DO，∴AC=2AO=BD，∴四边形ABCD为矩形，故选项A能判定；B选项添加的条件∠ABC=∠BCD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD为矩形，故选项B能判定；C选项添加的条件AC⊥BD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，故选项C不能判定；D添加的条件AC=BD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形，故选项D能判定．故选C．【点睛】本题考查平行四边形的判定，通过添加条形判定四边形ABCD为矩形，掌握平行四边形的判定，矩形的判定方法是解题关键．4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）  A．20cmB．30cmC．40cmD．202cm【答案】D【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．【详解】解：如图1，图2中，连接AC．  图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝20cm，在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝2AB＝202cm；故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．5．如图，直线a//b//c，直线a与直线b之间的距离为2，直线b与直线c之间的距离为4.正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若顶点A，D，C分别在直线a，b，c上，则△AOD的面积为（    ）A．5B．4C．3D．2【答案】A【分析】作出辅助线如图，通过证明△AED≌△DFC，得出AE=DF，再由勾股定理即可得出结论．【详解】解：过点A作AE⊥b，过点C作CF⊥b，∴∠EAD+∠ADE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∴∠ADE+∠CDF=90°，∴∠EAD=∠CDF在△AED和△DFC中，∠AED=∠DFC∠EAD=∠FDCAD=DC ∴△AED≌△DFC（AAS），∴AE=DF=2，∴DF2+CF2=DC2，∴DC2=42+22=20，∴S正方形ABCD=20，∴SΔAOD=14×20=5，故选：A．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形面积的求解方法，正确作出辅助线是解决本题的关键．6．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=10，点E为直线AB的一点，连EC，平移EC至DF，连接DE、CF，则四边形DECF的面积是（    ）A．40B．30C．20D．15【答案】C【分析】由矩形的性质可得CD=AB=10、AD⊥DC，EC平移至DF后得到的四边形DECF是平行四边形，面积等于矩形ABCD面积，计算矩形ABCD面积即可解答．【详解】解：∵矩形ABCD中，AD=2，AB=10∴CD=AB=10,AD⊥DC∵平移EC至DF， ∴EC∥DF，EC=DF∴四边形CEDF是平行四边形，∴S四边形DECF=2S△CED=2×12×CD×DA=CD⋅DA=2×10=20．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的平移、平行四边形的性质与判定、矩形的性质等知识点，掌握平行四边形性质与判定是解答本题的关键．7．如图，在正方形ABCD内，以BC为边作等边三角形BCM，连接AM并延长交CD于N，则下列结论不正确的是(     )A．∠DAN=15°B．∠CMN=45°C．AM=MND．MN=NC【答案】D【分析】根据四边形ABCD是正方形，△EMC是等边三角形，得出∠BAM＝∠BMA＝∠CMD＝∠CDM＝(180°-30°)＝75°，再计算角度即可；通过做辅助线MD，得出MA＝MD，MD=MN，从而得出AM＝MN.【详解】如图，连接DM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∵△EMC是等边三角形，∴BM＝BC＝CM，∠EMC＝∠MBC＝∠MCB＝60°，∴∠ABM＝∠MCN＝30°，∵ BA＝BM， MC＝CD，∴∠BAM＝∠BMA＝∠CMD＝∠CDM＝(180°-30°)＝75°,∴∠MAD＝∠MDA＝15°, 故A正确；∴MA＝MD， ∴∠DMN＝∠MAD+∠ADM＝30°，∴∠CMN＝∠CMD-∠DMN＝45°，故B正确;∵∠MDN＝∠AND＝75°∴MD=MN∴AM＝MN，故C正确；∵∠CMN＝45°，∠MCN＝30°，∴MN≠NC，故D错误，故选D.【点睛】本题考正方形的性质、等边三角形的性质等知识，灵活应用正方形以及等边三角形的性质，通过计算角度得出等腰三角形是关键.8．如图，E，F，G，H是正方形ABCD边上的点，且AG=BE=CH=DF，EF和GH将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形MQPN，若正方形ABCD和四边形MQPN的面积之比为9:10，则AG:GD=（    ）A．2B．3C．2+1D．5【答案】A【分析】连接EH,FG,GE,HF，先证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，可得出四边形GHEF是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，得出菱形的一个角是直角，可得出四边形EHFG是正方形，从而可得四边形MQPN和四边形A′B′C′D′都是正方形，然后根据正方形ABCD和四边形A′B′C′D′的面积之比为9:1即可求解．【详解】解：如图，连接EH,FG,GE,HF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.，∵AG=BE=CH=DF，∴DG=AE=BH=CF，∴△AEG≌△BHE≌△CFH≌△DGF，∴EG=FG=EH=HF，∴四边形EHFG是菱形，∵△DGF≌△AEG，∴∠DGF=∠AEG，∵∠AEG+∠AGE=90°，∴∠DGF+∠AGE=90°，∴∠EGF=90°，∴四边形EHFG是正方形，∴GH⊥EF，由拼接可知四边形MQPN和四边形A′B′C′D′都是正方形，AG=A′G′，DG=D′G′，∴A′D′=A′G′−G′D′=AG−GD．∵正方形ABCD和四边形MQPN的面积之比为9:10，∴正方形ABCD和四边形A′B′C′D′的面积之比为9:1，∴AG+GD2:A′G′−G′D′2=9:1，∴AG+GD:AG−GD=3:1，∴AG=2GD，∴AG:GD=2．故选A．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形MQPN和四边形A′B′C′D′都是正方形是解答本题的关键．9．如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（   ）A．12B．24C．10D．20【答案】D【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形 ABCD的面积为BC×AQ即可求出.【详解】解：由图2，得BP=6，S△ABP=12∴AQ=4由翻折可知，AQ⊥BP由勾股定理，得BC=AB=42+32=5∴菱形 ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20故选：D【点睛】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.10．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+6；⑤S正方形ABCD=4+6．其中正确结论的序号是（    ）A．①②③B．①②④C．①③⑤D．②③⑤【答案】C【分析】由于∠EAP=90°，所以∠EAB=∠DAP，又因为AP=AE，AD=AB，所以△APD≌△DAP，从而得出∠EBA=∠PDA，即可知∠BED=∠BAD=90°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，所以△BFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE和BF的长度，从而可求出AB2，即正方形ABCD的面积，由于S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△PEB，所以求出△AEP与△PEB的面积即可．【详解】解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP=90°，∴∠EAB+∠BAP=∠DAP+∠BAP，∴∠EAB=∠DAP，在△APD与△AEB中，AP=AE∠EAB=∠DAPAD=AB，故①正确；∵△APD≌△AEB，∴∠AEB=∠EAD，∠EAB=∠AED，∴∠AEB-∠AED=∠EAD-∠EAB，∴∠BED=∠BAD=90°，∴BE⊥ED，故③正确，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵∠EAP=90°，AE=AP，∴∠AEP=45°，∵∠FEB+∠AEP=90°，∠FEB+∠EBF=90°，∴∠AEP=∠EBF=45°，∴EF=BF，∵AE=AP=1，∴由勾股定理可求得：EP=2，∵PB=5，∴由勾股定理可求得：BE=3，∵EF2+BF2=2BF2=BE2，∴BF=62，故②错误，∵BF=EF=62，∴AF=AE+EF=1+62，∴由勾股定理可知：AB2=AF2+BF2=4+6，故⑤正确；∵△APD≌△AEB，∴S△APD=S△AEB，∴S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△PEB=12AE⋅AP+12BE⋅PE=12+62．故④错误；故选：C．【点睛】本题考查四边形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式等知识内容，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．第II卷（非选择题）11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D， E为AC的中点．若AB=10，则DE的长是 ．【答案】5【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可．【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AB=10∴AC=10，∠ADC=90°，∵E为AC的中点，∴DE=12AC=5，故答案为：5．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答的关键．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(−1,3)和(4,0)．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为 ．【答案】73【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(−1,3)，B(4,0)代入y=kx+b，列方程组并且解该方程组求出k、b的值，得到直线AB的解析式为y=−35x+125，再求出当y=1时的x值，即为平移的距离．【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，把A(−1,3)，B(4,0)代入y=kx+b，得−k+b=34k+b=0，解得k=−35b=125，∴直线AB的解析式为y=−35x+125，∵四边形OCDE是正方形，∴OE=OC=1，∴E(0,1)，设正方形OCDE沿x轴向右平移，点E落在AB边上的点E′(m,n)处，∵点E′与点E(0,1)的纵坐标相同，∴E'(m,1)，把E′(m,1)代入y=−35x+125，得1=−35m+125，解得m=73，∴平移的距离是73，故答案为：73．【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、正方形的性质、平移的性质等知识，正确地求出直线AB的解析式是解题的关键．13．如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠MCB=52°，∠DCN=18°，则∠BDC的度数为 ．【答案】35°【分析】由菱形的性质可得BC=CD，即可求解．【详解】解：∵∠MCB=52°，∠DCN=18°，∴∠BCD=110°，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∴∠BDC=35°，故答案为：35°．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．14．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝18，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD上的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E，F，则△GEF的面积最大值是 ．【答案】30【分析】经分析，当点G与点A重合时，△GEF的面积最大，根据折叠性质可知GF=FC，∠AFE=∠EFC，根据勾股定理可求得AF=10，再根据矩形的性质可知∠AEF=∠EFC=∠AFE，则可得AE=AF=10，即可求得△GEF的面积最大值．【详解】解：如图，在折叠过程中△GEF的高不变，底边GE随着G点运动越接近A点越大，故当点G与点A重合时，△GEF的面积最大，由折叠可知，GF=FC，∠AFE=∠EFC，在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，即AF2=62+(18−AF)2，解得AF=10，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠AEF=∠EFC，又∵∠AFE=∠EFC，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=10，∴△GEF的面积最大值为：12×10×6=30．故答案为：30【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质、定理是解题关键．15．如图，在边长为3+1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在AB、AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为 【答案】3．【详解】试题分析：如图1，连接AC，∵菱形ABCD的边长是3+1，∠A=60°，则BD=AB=3+1，AO=3OB，∴AC=2AO=23OB=3BD=3(3+1)=3+3，∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，∴EG=AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵EG⊥BD，∴EG∥AC，∴EGAC=BEAE，又∵EG=AE，∴EG3+3=3+1−EG3+1，解得EG=3，∴EG的长为3．故答案为3．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．菱形的性质；3．综合题．16．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为 ，最小值为 ．【答案】 2 2【分析】连接AC、DP，根据三角形的面积公式得出SΔDPC=SΔAPC=12AP×CC′，根据S正方形ABCD=SΔABP+SΔADP+SΔDPC，推出BB′+DD′+CC′=2AP，根据已知得出1≤AP≤2，代入求出即可．【详解】解：连接AC、DP，S正方形ABCD=1×1=1，由勾股定理得：AC=12+12=2，∵AB=1，∴1≤AP≤2，∵ΔDPC和ΔAPC的边CP上的高DC=AB，∴SΔDPC=SΔAPC=12AP×CC′，1=S正方形ABCD=SΔABP+SΔADP+SΔDPC=12APBB′+DD′+CC′，BB′+DD′+CC′=2AP，∵1≤AP≤2，2≤BB′+CC′+DD′≤2，故答案为：2，2．【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，三角形的面积的应用．主要考查学生运用性质进行计算能力，题目比较好，但是一道比较难的题目．17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC＝10，AB＝8求．（1）FC的长      （2）EC的长．【答案】（1）4；（2）3【分析】（1）由矩形的性质可得AD＝BC＝10，∠B＝90°，根据折叠可得AD＝AF＝10，再利用勾股定理可得BF长，进而可得FC长；（2）根据矩形的性质可得AB＝CD＝8，∠C＝90°，设ED＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x，再在Rt△EFC利用勾股定理可得方程x2＝（8﹣x）2+42，解出x的值，进而可得EC长．【详解】解：（1）根据折叠可得AD＝AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，∠B＝90°，∴AF＝10，∴BF＝AF2−AB2=100−64=6，∴FC＝4；（2）根据折叠可得ED＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，∠C＝90°，设ED＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x，在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∴EC＝8﹣5＝3．【点睛】本题考查矩形折叠的问题,关键在于熟记矩形和图形折叠的性质.18．在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F．(1)尺规作图：在图中求作点E，使得EF=EC；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．  【答案】（1）作图见解析；（2）∠BCF=67.5°.【分析】（1）作∠CBD的角平分线即可．（2）证明BF＝BC，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）如图，点E即为所求．（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD．∴∠DBC＝∠CDB＝45°，∵EF⊥BD，∴∠BFE＝90°．由（1）得EF＝EC，BE＝BE，∴Rt△BFE≌Rt△BCE（HL）∴BC＝BF．∴∠BCF＝∠BFC，∴∠BCF＝12(180°−∠FBC)＝67.5°．  【点睛】本题考查作图−复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型19．综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A(0,a)，点B(b,0)，且a，b满足：b+4=a−4+4−a，点C与点B关于y轴对称，点P，点E分别是x轴，直线AB上的两个动点．(1)求点C的坐标；(2)连接PA,PE．如图，当点P在线段BO（不包括B，O两个端点）上运动，若△APE为以点E为直角的直角三角形，F为PA的中点，连接EF,OF，试判断EF与OF的关系，并说明理由．【答案】(1)点C（4，0）(2)EF=OF，EF⊥OF【分析】（1）利用二次根式有意义条件列不等式组得出a=4，b=−4，然后求出点B坐标，利用轴对称性质求即即可；（2）先证△AOB为等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，然后利用直角三角形斜边中线性质，以及三角形外角性质求解即可．【详解】（1）解：∵a，b满足：b+4=a−4+4−a，∴a−4≥04−a≥0，解得4≤a≤4，∴a=4，∴b+4=0，解得b=−4，∴点B（-4，0），∵点C与点B关于y轴对称，∴点C（4，0）；（2）解：结论：EF=OF，EF⊥OF．∵点A（0,4），∴OA=OB=4，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠BAO=45°∵当点P在线段BO（不包括B，O两个端点）上运动，△APE为直角三角形，∴PE⊥AB，∵F为PA的中点，点E为直角，AP为Rt△AEP的斜边，EF为中线，也是Rt△AOP的斜边，OF为中线，∴EF=AF=12AP，OF=AF=12AP，∴EF=OF，∵EF=AF，AF=OF，∴∠AEF=∠EAF，∠FAO=∠FOA，∵∠EFP为△AEF的外角，∠OFP为△OEF的外角，∴∠EFP=2∠EAF，∠OFP=2∠OAF，∵∠EFO=∠EFP+∠OFP=2∠EAF+2∠OAF=2（∠EAF+∠OAF）=2∠EAO=90°，∴EF=OF，EF⊥OF．【点睛】本题考查二次根式有意义条件，轴对称性质，等腰直角三角形判定与性质，直角三角形斜边中线性质，三角形外角性质，本题难度适中，是小综合题．20．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，E、F分别是AD、BC边上两点，将矩形ABCD沿EF折叠，使C刚好落在AB边的中点M处，D落在N处，MN交AD于G．（1）当△AMG≌△NEG时，求△AMG的周长；（2）当AB＝6时，求BF的长．【答案】（1）8；（2）5516【分析】（1）由全等三角形的性质可得AG＝GN，AM＝NE，GM＝GE，由折叠的性质可得ED＝EN＝AM，即可求解；（2）在Rt△BFM中，利用勾股定理可求BF的长．【详解】解：（1）∵△AMG≌△NEG，∴AG＝GN，AM＝NE，GM＝GE，∵将矩形ABCD沿EF折叠，∴ED＝EN＝AM，∠B=90°∴△AMG的周长＝AM+AG+GM＝AG+GE+DE＝AD＝BC＝8；（2）∵将矩形ABCD沿EF折叠，∴MF＝CF，∵点M是AB中点，∴AM＝BM＝3，在Rt△BFM中MF2＝BF2+MB2，∴（8﹣BF）2＝BF2+9，∴BF＝5516．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，折叠的性质，矩形的性质，以及勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21．如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．  (1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若ED=2AE，AB⋅AD=63，求EF⋅BD的值．【答案】(1)见解析(2)43【分析】（1）根据折叠得出BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB，根据矩形性质得出DE∥BF，根据平行线的性质得出∠EDB=∠FBD，从而得出∠FDB=∠FBD，证明BF=DF，得出BE=BF=DE=DF，即可证明结论；（2）根据ED=2AE，得出ED=23AD，根据菱形BEDF的面积=12EF⋅BD=ED⋅AB=23AD⋅AB=23×63=43，即可求出结果．【详解】（1）证明：∵△BED沿直线BD折叠，点E与点F重合，∴BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB，∵四边形ABCD是矩形，点E与点F分别是线段AD，BC上的点，∴DE∥BF，∴∠EDB=∠FBD，∴∠FDB=∠FBD，∴BF=DF，∴BE=BF=DE=DF，∴四边形BEDF是菱形．（2）解：∵ED=2AE，∴ED=23AD，∵AB⋅AD=63，又∵四边形BEDF是菱形，∴菱形BEDF的面积=12EF⋅BD=ED⋅AB=23AD⋅AB=23×63=43，∴EF⋅BD=83．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判断和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质．22．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②作直线MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE // AB交MN于点E，连接AE、CD．(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)当∠ACB=90∘，BC=6，AB=10，求四边形ADCE的面积．【答案】（1）见解析；（2）24.【分析】（1）由根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形；（2）由∠ACB=90°，BC=6，AB=10，可求得AC的长，易得DO是△ABC的中位线，又由四边形ADCE是菱形，即可求得答案．【详解】(1)证明：∵根据题意得：MN是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE，∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，∵CE // AB，∴∠CAD=∠ACE，∴∠ACD=∠CAE，∴CD // AE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形；(2)解：∵四边形ADCE是菱形，∴OA=OC，OD=OE，AC⊥DE，∵∠ACB=90∘，∴DE // BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD=12BC=12×6=3，∴DE=6，∵AC=AB2−BC2=102−62=8，∴四边形ADCE的面积为：12AC⋅DE=24．【点睛】考查菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键.23．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段AB的两个端点都在格点上．（1）在图1中画一个以AB为边的平行四边形ABCD，点C、D在格点上，且平行四边形ABCD的面积为15；（2）在图2中画一个以AB为边的菱形ABEF（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形ABEF的对角线AE=______，BF=______；（3）在图3中画一个以AB为边的矩形ABMN（不是正方形），点M、N在格点上．【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，AE=22，BF=42；（3）见解析【分析】（1）如图1中，根据平行四边形的定义，画出第为5，高为3的平行四边形即可．（2）如图2中，根据菱形的判定画出图形即可．（3）根据矩形的定义画出图形即可．【详解】解：（1）如图1中，平行四边形ABCD即为所求．（2）如图2中，菱形ABEF即为所求．AE=22+22=22，BF=42+42=42；（3）如图3中，矩形ABMN即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，菱形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG，点E在DA的延长线上，点G在边AB上．  (1)求证：△ADG≌△ABE．(2)现将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转α度0