北师版九上数学第一章特殊平行四边形回顾与思考（课外培优课件）

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第一章　特殊平行四边形回顾与思考 1. 如图，已知点 D ， E ， F 分别是△ ABC 各边的中点，则下列说法正确的是（　C　）C2. 如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是边 AB 上一点， DE ＝ AD ，连接 EC . 若∠ ADE ＝36°，则∠ DEC 的度数为（　B　）B B4. （2022·重庆）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O . 点 E ， F 分别为 AC ， BD 上一点，且 OE ＝ OF ，连接 AF ， BE ， EF . 若∠ AFE ＝25°，则∠ CBE 的度数为 ⁠.65°　    7. 如图，已知四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD 于点 O ，分别过点 C ， D 作 CE ∥ BD ， DE ∥ AC ， CE 和 DE 交于点 E ，连接 AE ，交 BD 于点 F ，点 O ， F 分别为 AC ， AE 的中点.（1）求证：四边形 ODEC 是矩形；（1）证明：∵ CE ∥ BD ， DE ∥ AC ，∴四边形 ODEC 是平行四边形.又∵ AC ⊥ BD ，∴∠ DOC ＝90°.∴▱ ODEC 是矩形.（2）若 OF ＝1，∠ CAE ＝30°，求 AC 的长. 8. 如图，已知点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点， CE ∥ BD ， EB ∥ AC ，连接 OE ，交 BC 于点 F . （1）求证： OE ＝ CB ；（1）证明：∵ CE ∥ BD ， EB ∥ AC ，∴四边形 OBEC 为平行四边形.∵四边形 ABCD 为菱形，∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC ＝90°.∴▱ OBEC 为矩形.∴ OE ＝ CB .     9. （2022·贺州）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝8， BC ＝6，点 E ， F 分别是 AD ， AB 的中点，∠ ADC 的平分线交 AB 于点 G ，点 P 是线段 DG 上的一个动点，则△ PEF 周长的最小值为 ⁠. 【解析】如答图，在 CD 上取点 H ，使 DH ＝ DE ，连接 EH ， PH ， FH ，过点 F 作 FK ⊥ CD 于点 K . 在矩形 ABCD 中，∠ A ＝∠ ADC ＝90°， AD ＝ BC ＝6， CD ＝ AB ＝8，∴△ DEH 为等腰直角三角形.∵ DG 平分∠ ADC ，∴ DG 垂直平分 EH . ∴ PE ＝ PH . ∴△ PEF 的周长等于 PE ＋ PF ＋ EF ＝ PH ＋ PF ＋ EF ≥ FH ＋ EF . ∴当 F ， P ， H 三点共线时，△ PEF 的周长最小，最小值为 FH ＋ EF . 答图 答图   答图 11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知∠ BAD 的平分线 AE 与 BC 边交于点 E ，点 P 是线段 AE 上一定点（其中 PA ＞ PE ），过点 P 作 AE 的垂线与 AD 边交于点 F （不与点 D 重合）.一个直角三角形的直角顶点落在点 P 处，两直角边分别交 AB 边和 AD 边于点 M ， N . （1）求证：△ PAM ≌△ PFN ；（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ BAD ＝90°.∵∠ BAD 的平分线 AE 交 BC 边于点 E ，∴∠ BAE ＝∠ EAD ＝45°.∵ PF ⊥ AP ，∴∠ PAF ＝∠ PFA ＝45°.∴ PA ＝ PF . ∵∠ MPN ＝90°，∠ APF ＝90°，∴∠ MPN －∠ APN ＝∠ APF －∠ APN ，即∠ MPA ＝∠ NPF . 又∵ PA ＝ PF ，∠ MAP ＝∠ NFP ＝45°，∴△ PAM ≌△ PFN （ASA）.（2）若 PA ＝3，求 AM ＋ AN 的长. 12. 如图，在△ ABC 中，已知 AC ＝9， AB ＝12， BC ＝15，点 P 为 BC 边上一动点， PG ⊥ AC 于点 G ， PH ⊥ AB 于点 H . （1）求证：四边形 AGPH 是矩形.（1）证明：∵ AC ＝9， AB ＝12， BC ＝15，∴ AC2＋ AB2＝ BC2.∴∠ A ＝90°.又∵ PG ⊥ AC ， PH ⊥ AB ，∴∠ AGP ＝∠ AHP ＝90°.∴四边形 AGPH 是矩形.（2）在点 P 的运动过程中， GH 的长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.   13. （选做）如图，在边长为1的正方形 ABCD 中，点 K 在 AD 上，连接 BK . 过点 A ， C 作 BK 的垂线，垂足分别为 M ， N ，点 O 是正方形 ABCD 的中心，连接 OM ， ON . （1）证明：△ ABM ≌△ BCN ； （2）请判定△ OMN 的形状，并说明理由；（2）解：△ OMN 是等腰直角三角形.理由如下：如图，连接 OB . ∵点 O 是正方形 ABCD 的中心，∴ OA ＝ OB ，∠ OBA ＝∠ OAB ＝45°＝∠ OBC ， AO ⊥ BO . 由（1）可知，∠ MAB ＝∠ CBM ，∴∠ MAB －∠ OAB ＝∠ CBM －∠ OBC . ∴∠ MAO ＝∠ NBO . ∵△ ABM ≌△ BCN ，∴ AM ＝ BN .     演示完毕 谢谢观看