数学北师大版（2024）1 菱形的性质与判定学案

这是一份数学北师大版（2024）1 菱形的性质与判定学案，共51页。学案主要包含了北师大版，题型8 勾股树，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。

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\l "_Tc18865" 【题型1 由勾股定理求线段长度】 PAGEREF _Tc18865 \h 1
\l "_Tc1065" 【题型2 由勾股定理求面积】 PAGEREF _Tc1065 \h 2
\l "_Tc22841" 【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】 PAGEREF _Tc22841 \h 3
\l "_Tc3407" 【题型4 勾股定理的证明方法】 PAGEREF _Tc3407 \h 4
\l "_Tc21801" 【题型5 由勾股定理证明线段平方关系】 PAGEREF _Tc21801 \h 6
\l "_Tc6007" 【题型6 以弦图为背景的计算】 PAGEREF _Tc6007 \h 7
\l "_Tc28776" 【题型7 勾股定理与网格问题的综合运用】 PAGEREF _Tc28776 \h 8
\l "_Tc32184" 【题型8 勾股树】 PAGEREF _Tc32184 \h 10
\l "_Tc26194" 【题型9 勾股定理与折叠问题的综合运用】 PAGEREF _Tc26194 \h 11
\l "_Tc12307" 【题型10 勾股定理与分类讨论思想的综合运用】 PAGEREF _Tc12307 \h 12
知识点1：勾股定理
【题型1 由勾股定理求线段长度】
【例1】（23-24·山东淄博·八年级期末）如图是，这是由若干个边长为1的小正方形拼成的图形，沿过点P的一条直线剪一刀，会将这个图形分成面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A．352B．25C．4310D．32
【变式1-1】（23-24八年级·广东东莞·期中）如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=20，BC=12．
(1)直接写出AB的长度______．
(2)设点P在AB上，若∠PAC=∠PCA．求AP的长；
【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数学图形，即：如图2，OA=OB，BD⊥OA，BD=100米，AD=80米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索OA的长度为（ ）
A．80米B．100米C．102.5米D．100.5米
【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，AD是△ABC的中线，AB=15，AD=7，AC=13，则CD的长度为 ．

【题型2 由勾股定理求面积】
【例2】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【变式2-1】（23-24八年级·天津·专题练习）在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=13，AB=5，则△ABC的面积为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·安徽马鞍山·期中）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，若a+b=12cm，c=10cm，则Rt△ABC面积为（ ）
A．11cm2B．16cm2C．24cm2D．36cm2
【变式2-3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3．如果S1+S2−S3=24，则阴影部分的面积为 ．

【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=3，BC=8，则AB2+CD2= ．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，则2AB2+AC2+BC2=（ ）．
A．100B．200C．300D．400
【变式3-2】（23-24八年级·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ．
【变式3-3】（23-24八年级·山西大同·期末）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB=52，CE=CD=3，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，则AE2+AD2的值为 ．

【题型4 勾股定理的证明方法】
【例4】（23-24八年级·广东河源·期末）如图，E为AC上一点，AC⊥BC，AC⊥AD，AB=DE，AB，DE交于点F，且AB⊥DE．
(1)判断线段BC，DA，CE的数量关系，并说明理由；
(2)连接BD，BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，利用此图证明勾股定理．
【变式4-1】（23-24八年级·广东东莞·期末）如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．

(1)求证：△EBF≌△HAE；
(2)四边形EFGH的形状是 ；
(3)若AH=a，AE=b，EH=c，请借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2=c2．
【变式4-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）验证勾股定理：
课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（JamesAbramGarfield）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？
(1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a，AC=DF=b（a