河北省秦皇岛市河北昌黎第一中学2025届高三下第四次调研考试数学试题（含答案解析）

这是一份河北省秦皇岛市河北昌黎第一中学2025届高三下第四次调研考试数学试题（含答案解析），共42页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 集合，，则等于（ ）
2. 若，其中为虚数单位，则等于（ ）
3. 已知非零向量满足，则的最大值为（ ）
4. 底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为1的圆锥，所得圆台的体积为（ ）
5. 已知，，，则的值为（ ）
6. 已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ）
7. 已知函数在区间内没有零点，则的最小周期为（ ）
8. 已知定义在上的函数满足，，则等于（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 若随机变量服从标准正态分布，，则（ ）
10. 设函数，则（ ）
11. 椭圆与正方形是常见的几何图形，具有对称美感，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案如图所示：基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共点）．在平面直角坐标系中，将标准椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”：，点是斜椭圆上的点，为过斜椭圆中心的弦，且满足，其中为坐标原点，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 过点的直线与抛物线交于点为坐标原点，直线，，的斜率依次成等比数列，则直线的斜率为______．
13. 已知曲线：，：，若有且仅有一条直线同时与，都相切，则______．
14. 盒中装有6个大小、质地相同的小球，其中4个白球和2个黑球．小华每次从中摸出一球，观察颜色后放回，当摸出一种颜色球的次数比另一种颜色球的次数多3时结束游戏，记白球摸出次数与黑球摸出次数相等时，继续摸球，直至游戏结束时需摸球的次数为，则的数学期望为______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，且，，，为上一点．
(1)若，，且平面，求的值；
(2)若点不与和重合，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的大小．
16. 设函数，．
(1)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)当，时，求证：．
17. 数轴上的一个质点从原点出发，每次随机向右或向左移动1个单位长度，其中向右移动的概率为，向左移动的概率为，记质点移动次后所在的位置对应的实数为．
(1)当，时，质点在哪一个位置的可能性最大，并说明理由；
(2)求证：的数学期望．
18. 已知双曲线：，点，，过点的直线与双曲线交于，，过点的直线与双曲线交于，．分别以，为直径的圆交于点．
(1)求证：轴上存在定点，使得为定值；
(2)求原点到直线的最大距离．
19. 若整数数列满足，且对，均有，其中为的前项和，则称该数列为“数列”．
(1)若数列的通项为，判断其是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列为“数列”，正整数满足，证明：；
(3)在所有“数列”中，求的最大值．
河北省秦皇岛市河北昌黎第一中学2025届高三第四次调研考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、平面向量、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、数列、等式与不等式、计数原理与概率统计、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．33
B．32
C．31
D．30
A．
B．
C．
D．
A．当时，有四个零点
B．当时，有唯一极值点
C．存在实数，使得点为曲线的对称中心
D．存在实数，，使得为曲线的对称轴
A．该斜椭圆的长轴长为
B．该斜椭圆的离心率为
C．当点在上时，
D．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
1
适中
13
较难
3
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
交集的概念及运算；求对数型复合函数的定义域；求指数函数在区间内的值域
2
0.65
复数代数形式的乘法运算；复数的除法运算；共轭复数的概念及计算
3
0.65
数量积的运算律；垂直关系的向量表示；向量夹角的计算
4
0.65
锥体体积的有关计算；台体体积的有关计算
5
0.65
用和、差角的正切公式化简、求值；二倍角的正切公式；三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
6
0.65
利用等差数列的性质计算；基本不等式求积的最大值；等比数列下标和性质及应用；基本不等式求和的最小值
7
0.65
求正弦（型）函数的最小正周期；辅助角公式；根据函数零点的个数求参数范围；利用正弦型函数的单调性求参数
8
0.4
求抽象函数的解析式
二、多选题
9
0.85
指定区间的概率；根据正态曲线的对称性求参数
10
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数研究函数的零点
11
0.65
基本不等式求和的最小值；求椭圆的长轴、短轴；基本不等式求积的最大值；求椭圆的离心率或离心率的取值范围
三、填空题
12
0.65
等比中项的应用；根据韦达定理求参数；已知两点求斜率
13
0.65
两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；根据极值点求参数；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；用导数判断或证明已知函数的单调性
14
0.15
求离散型随机变量的均值
四、解答题
15
0.65
线面角的向量求法；由线面平行求线段长度；面面角的向量求法
16
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数证明不等式；利用导数求函数的单调区间（不含参）；利用导数研究不等式恒成立问题
17
0.4
服从二项分布的随机变量概率最大问题；二项分布的均值
18
0.4
双曲线中的直线过定点问题；双曲线中向量点乘问题；相交圆的公共弦方程；双曲线中存在定点满足某条件问题
19
0.15
数列新定义；数列不等式恒成立问题；求等差数列前n项和
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,7,8,10,13,16
3
复数
2
4
平面向量
3
5
空间向量与立体几何
4,15
6
三角函数与解三角形
5,7
7
数列
6,12,19
8
等式与不等式
6,11
9
计数原理与概率统计
9,14,17
10
平面解析几何
11,12,18