第23讲 三角恒等变换-【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

这是一份第23讲 三角恒等变换-【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册），文件包含第23讲三角恒等变换八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业人教A版2019必修第一册原卷版docx、第23讲三角恒等变换八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业人教A版2019必修第一册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共34页， 欢迎下载使用。


模块一
两角和与差的三角函数公式
1．两角差的余弦公式
对于任意角α，β有cs(α-β)=csαcsβ+sinαsinβ.
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作
.
公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.
2．两角和的余弦公式
(1)公式的结构特征
(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.
①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，
两角差时用“+”.
3．两角和与差的正弦公式
(1)两角和与差的正弦公式的结构特征
(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.
①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”，
两角差时用“-”.
4．两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式的结构特征
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
6．辅助角公式
通过应用公式[或将形如
(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】
【例1】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知α,β∈0,π2，若sinα+π2=45,csβ=513，则cs(α+β)=（ ）
A．−1665B．6365C．5665D．−3365
【解题思路】根据诱导公式、同角三角函数关系及两角和余弦公式求解即可.
【解答过程】由诱导公式得sinα+π2=csα=45，因为α,β∈0,π2，csα=45,csβ=513，
所以sinα=1−cs2α=35,sinβ=1−cs2β=1213，
所以cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=45×513−35×1213=−1665.
故选：A.
【变式1.1】（2025·全国·模拟预测）已知sinθ+π6=33（−2π3≤θ≤π3），则sinθ+π3=（ ）
A．3−66B．3+66C．63D．33
【解题思路】通过θ+π3=θ+π6+π6及两角和的正弦公式即可求解.
【解答过程】由−2π3≤θ≤π3可得−π2≤θ+π6≤π2，
又sinθ+π6=33，则csθ+π6=63，
故sinθ+π3=sinθ+π6+π6=sinθ+π6csπ6+csθ+π6sinπ6
=33×32+63×12=3+66.
故选：B.
【变式1.2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知tanα=−2，则tanα+π4=（ ）
A．13B．3C．−13D．−12
【解题思路】利用两角和的正切公式代入计算即可.
【解答过程】由两角和得正切公式得tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanα·tanπ4=−2+11−(−2)×1=−13.
故选：C.
【变式1.3】（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知csα+β=14，tanαtanβ=2，则csα−β=（ ）
A．−34B．−112C．112D．34
【解题思路】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出csαcsβ、sinαsinβ，再由两角差的余弦公式计算可得.
【解答过程】因为csα+β=csαcsβ−sinαsinβ=14，
tanαtanβ=sinαsinβcsαcsβ=2，解得sinαsinβ=−12csαcsβ=−14，
所以csα−β=csαcsβ+sinαsinβ=−34.
故选：A.
【题型2 利用和（差）角公式化简、求值】
【例2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知csα+π3=45，csβ−π3=513，α,β∈−π3,π3，则csα+β=（ ）
A．1665B．3365C．5665D．6365
【解题思路】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出sinα+π3和sinβ−π3的值，再利用整体思想，将csα+β转化为csα+π3+β−π3，用余弦的和角公式展开求值即可.
【解答过程】∵α,β∈−π3,π3，∴α+π3∈0,2π3，β−π3∈−2π3,0，
又∵csα+π3=45>0，csβ−π3=513>0，
∴α+π3∈0,π2，β−π3∈−π2,0，
∴sinα+π3>0，sinβ−π3sinα,csα>0.
2−2sin2α−1+cs2α =2⋅sin2α−2sinαcsα+cs2α−1+2cs2α−1
=2⋅(sinα−csα)2−2csα=2(csα−sinα)−2csα=−2sinα
故选：B.
【题型6 利用二倍角公式求值】
【例6】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知csα+π6=1010，则sin2α−π6=（ ）
A．−45B．−35C．35D．45
【解题思路】由二倍角余弦公式得cs2α+π3的值，再利用诱导公式求sin2α−π6=sin−π2+2α+π3的值.
【解答过程】根据题意，cs2α+π3=cs2α+π6=2cs2α+π6−1=2×110−1=−45，
sin2α−π6=sin−π2+2α+π3=−cs2α+π3=45.
故选：D.
【变式6.1】（24-25高一上·云南曲靖·期末）若sinα+π6=13，则sin2α+5π6=（ ）
A．79B．13C．89D．23
【解题思路】由诱导公式及余弦二倍角公式即可求解；
【解答过程】由sin2α+5π6=sin2α+π3+π2=cs2α+π3=1−2sin2α+π6=1−29=79；
故选：A.
【变式6.2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知2sinθ−2csθ=0，则tan2θ=（ ）
A．−22B．22C．22D．22
【解题思路】根据条件可得tanθ=2，利用正切的倍角公式可得结果.
【解答过程】∵2sinθ−2csθ=0，∴tanθ=sinθcsθ=2，
∴tan2θ=2tanθ1−tan2θ=221−22=−22.
故选：A.
【变式6.3】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M−3,4，则cs2α的值为（ ）
A．−725B．725C．−2425D．2425
【解题思路】根据三角函数的定义求出sinα，再由二倍角公式的余弦公式计算可得.
【解答过程】因为角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M−3,4，
所以sinα=4−32+42=45，所以cs2α=1−2sin2α=1−2×452=−725.
故选：A.
【题型7 三角恒等式的证明】
【例7】（24-25高一下·甘肃天水·期中）求证：tanθ2−1tanθ2=−2tanθ．
【解题思路】由右往左证明，运用正切的半角公式tanθ=2tanθ21−tan2θ2即可得证.
【解答过程】−2tanθ=−22tanθ21−tan2θ2=tan2θ2−1tanθ2=tanθ2−1tanθ2，证毕.
【变式7.1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式：
(1)11−tanα−11+tanα=tan2α；
(2)sin50∘1+3tan10∘=1
【解题思路】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可；
（2）先将正切化弦，通分得到原式=sin50∘⋅cs10∘+3sin10∘cs10∘，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明.
【解答过程】（1）11−tanα−11+tanα=1+tanα−1−tanα1+tanα1−tanα=2tanα1−tan2α=tan2α.
（2）左边=sin50∘1+3tan10∘=sin50∘1+3sin10∘cs10∘
=sin50∘⋅cs10∘+3sin10∘cs10∘ =2sin50∘⋅12cs10∘+32sin10∘cs10∘
=2sin50∘⋅cs60∘−10∘cs10∘=2sin50∘cs50∘cs10∘=sin100∘cs10∘=1=右边,
原式得证.
【变式7.2】（24-25高一上·广东湛江·期末）证明下列等式：
(1)sinθ1+cs2θ=sin2θcsθ
(2)csαcsα−csβ+sinαsinα−sinβ=2sin2α−β2.
【解题思路】（1）（2）利用三角函数恒等变换的应用化简等式左边等于右边即可得证.
【解答过程】（1）左边=sinθ1+cs2θ=sinθ1+2cs2θ−1=2sinθcs2θ=sin2θcsθ=右边，得证；
（2）左边=csαcsα−csβ+sinαsinα−sinβ
=cs2α−csαcsβ+sin2α−sinαsinβ
=1−csαcsβ+sinαsinβ
=1−csα−β
=2sin2α−β2
=右边，得证.
【变式7.3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知sinαsinβ≠0，且sinα−β=2sinαsinβ，证明：
(1)1tanβ−1tanα=2；
(2)csα+β=2csπ4+α−β.
【解题思路】（1）由两角差的正弦公式化简得出sinαcsβ−csαsinβ=2sinαsinβ，等式两边同时除以sinαsinβ，化简可得出结论成立；
（2）由已知条件得出sinα−β=csα−β−csα+β，即为csα+β=csα−β−sinα−β，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立.
【解答过程】（1）因为sinα−β=2sinαsinβ，所以sinαcsβ−csαsinβ=2sinαsinβ，
两边同时除以sinαsinβ，得csβsinβ−csαsinα=2，即1tanβ−1tanα=2.
（2）因为sinα−β=2sinαsinβ，所以sinα−β=csα−β−csα+β，
所以csα+β=csα−β−sinα−β，
所以csα+β=222csα−β−22sinα−β，
所以csα+β=2csπ4+α−β.
【题型8 利用三角恒等变换判断三角形的形状】
【例8】（24-25高一·全国·课后作业）在△ABC中，若sinAsinB=cs2C2，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【解题思路】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到csA−B=1，从而得到A=B，进而即可得出结论．
【解答过程】在△ABC中，由A+B+C=π，得 C=π−A+B，
则cs2C2=1+csC2=12+12csπ−A+B=12−12csA+B=12−12csAcsB+12sinAsinB，
所以sinAsinB=12−12csAcsB+12sinAsinB，即csAcsB+sinAsinB=1，则csA−B=1，
又0