第21讲 诱导公式（六大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
诱导公式
1．诱导公式
(1)诱导公式

(2)诱导公式的作用
2．一组重要公式
(1)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
(2)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
类似地，有：
(3)(n∈Z).
(4)(n∈Z).
3．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
【题型1 诱导公式二、三、四的应用】
【例1】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知cs(53∘−α)=15，则cs(127∘+α)=（ ）
A．±15B．265C．15D．−15
【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式化简即得.
【解答过程】由cs(53∘−α)=15，得cs(127∘+α)=cs[180∘−(53∘−α)]=−cs(53∘−α)=−15.
故选：D.
【变式1.1】（24-25高一上·浙江湖州·期末）tan(−2040°)=（ ）
A．33B．−33C．−3D．3
【解题思路】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即.
【解答过程】tan(−2040°)=tan(−12×180°+120°)=tan(180°−60°)=−tan60°=−3.
故选：C.
【变式1.2】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）求值：sin300°+tan600°=（ ）
A．32B．−32C．332D．−332
【解题思路】利用三角函数的诱导公式化简求值即可.
【解答过程】sin300°+tan600°=sin−60°+360°+tan60°+180°×3
=sin−60°+tan60°=−sin60°+tan60°=−32+3=32，
故选：A.
【变式1.3】（2025高二上·北京·学业考试）在下列各数中，与cs10°相等的是（ ）
A．sin80°B．cs80°C．sin170°D．cs170°
【解题思路】由半角和全角诱导公式逐项化简即可；
【解答过程】对于A，sin80°=sin90°−10°=cs10°，故A正确；
对于B，cs80°=cs90°−10°=sin10°，故B错误；
对于C，sin170°=sin180°−10°=sin10°，故C错误；
对于D，cs170°=cs180°−10=−cs10°，故D错误；
故选：A.
【题型2 诱导公式五、六的应用】
【例2】（24-25高一上·云南保山·阶段练习）若csα+π6=35，则sinπ3−α=（ ）
A．−45B．45C．−35D．35
【解题思路】利用诱导公式以及整体带入思想即可求得结果.
【解答过程】因为α+π6+π3−α=π2，所以sinπ3−α=sinπ2−α+π6=csα+π6=35，
故选：D.
【变式2.1】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知sin5π12−α2=−54，则cs13π12+α2=（ ）
A．−114B．114C．−54D．54
【解题思路】利用三角函数的诱导公式即可求解.
【解答过程】cs13π12+α2=−csπ12+α2=−sinπ2−π12+α2
=−sin5π12−α2=54，
故选：D.
【变式2.2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知sinα−3π4=13，则csπ4−α的值等于（ ）
A．−13B．13C．−223D．223
【解题思路】根据诱导公式化简求值.
【解答过程】因为α−3π4+π4−α=−π2，
所以csπ4−α=cs−π2−α−3π4=csπ2+α−3π4=−sinα−3π4=−13，
故选：A.
【变式2.3】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知角θ的终边过点5,−12，则csπ2+θ=（ ）
A．513B．−513C．1213D．−1213
【解题思路】根据三角函数定义得到sinθ=−1213，由诱导公式得到答案.
【解答过程】由三角函数定义知，sinθ=−1252+−122=−1213，
csπ2+θ=−sinθ=1213.
故选：C.
【题型3 三角函数的化简、求值——诱导公式】
【例3】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）计算：sin−3π+π6−cs5π2+π3+tan7π2−π4=（ ）
A．1+32B．1C．3−12D．−32+1
【解题思路】利用诱导公式化简即可求值.
【解答过程】sin−3π+π6−cs5π2+π3+tan7π2−π4
=sin−4π+π+π6−cs2π+π2+π3+tan2π+3π2−π4
=sinπ+π6−csπ2+π3+tan3π2−π4
=−sinπ6+sinπ3+sin3π2−π4cs3π2−π4
=−sinπ6+sinπ3+−csπ4−sinπ4=−12+32+2222=1+32.
故选：A.
【变式3.1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）计算sin3π−π4−cs5π2+π4+tan7π2−π4=（ ）
A．2＋1B．1C．2－1D．－2+1
【解题思路】利用诱导公式和特殊角的函数值求解即可.
【解答过程】原式=sinπ−π4−csπ2+π4+tanπ2−π4=sinπ4+sinπ4+tanπ4=2+1.
故选：A.
【变式3.2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简cs2180°+αtan−α+180°−2sin−180°+αcs−α．
【解题思路】根据诱导公式化简即可求解.
【解答过程】原式=cs2α−tanα−2−sinαcsα
=cs2α−sinαcsα+2sinαcsα
=sinαcsα．
【变式3.3】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）（1）化简：sin3π−αcs9π2+αsin11π2+αcs2π−α+tan5π−αcs3π2+αcs6π−α；
（2）已知sin75°+α=14，求csα−15°+sin105°−α的值．
【解题思路】（1）利用诱导公式运算求解即可；
（2）以75°+α为整体，结合诱导公式运算求解即可.
【解答过程】（1）原式=sinα−sinα−csαcsα+−tanαsinαcsα =sin2αcs2α−sin2αcs2α =0；
（2）因为75°+α−α−15°=90°，75°+α+105°−α=180°，
所以csα−15°+sin105°−α=cs75°+α−90°+sin180°−75°+α
=2sin75°+α=12．
【题型4 三角函数恒等式的证明——诱导公式】
【例4】（24-25高一上·上海·课后作业）已知sin(α+β)=1，求证：tan(2α+β)+tanβ=0.
【解题思路】由已知可得α=2kπ+π2−β（k∈Z），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得.
【解答过程】由sinα+β=1，得α+β=2kπ+π2（k∈Z），则α=2kπ+π2−β（k∈Z），
因此tan2α+β+tanβ =tan[2(2kπ+π2−β)+β]+tanβ
=tan(4kπ+π−2β+β)+tanβ =tan(4kπ+π−β)+tanβ
=tanπ−β+tanβ=−tanβ+tanβ=0，
所以原等式成立.
【变式4.1】（24-25高一上·全国·课后作业）证明：sin217°−αcsα−127°+cs2127°−αtan253°+α=1．
【解题思路】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来证得等式成立.
【解答过程】sin217°−α=sin180°+37°−α=−sin37°−α
csα−127°=cs127°−α=−sin37°−α,cs2127°−α=sin237°−α，
tan253°+α=sin253°+αcs253°+α=sin290°−37°−αcs290°−37°−α=cs237°−αsin237°−α，
故等式左边=sin237°−α+cs237°−α=1，等式成立．
【变式4.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：sinA2+π4=csB+C2−π4.
【解题思路】利用三角形的内角和定理可得出B+C2=π−A2，再结合诱导公式可证得原等式成立.
【解答过程】证明：在△ABC中，A+B+C=π，则B+C2=π−A2.
所以，csB+C2−π4=csπ−A2−π4=csπ2−A2−π4=csπ2−A2+π4
=sinA2+π4，
故原等式得证.
【变式4.3】（24-25高一·全国·课后作业）求证：当k=2或3时，tan(kπ−α)tan(kπ+α)cs(2kπ−α)sin[(2k+1)π+α]=sinαcs3α.
【解题思路】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.
【解答过程】当k=2时，左边=tan(2π−α)tan(2π+α)cs(4π−α)sin(5π+α)=−tanα⋅tanαcsα⋅(−sinα)=tan2αcsαsinα=sinαcs3α；
当k=3时，左边=tan(3π−α)tan(3π+α)cs(6π−α)sin(7π+α)=−tanα⋅tanαcsα⋅(−sinα)=tan2αcsαsinα=sinαcs3α；
综上，k=2或k=3有原等式恒成立.
【题型5 诱导公式在三角形中的应用】
【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）已知在△ABC中，sinπ+A=−12，则csB+C=（ ）
A．32B．−32C．±32D．12
【解题思路】利用诱导公式以及三角形内角和关系，结合平方关系计算可得结果.
【解答过程】由sinπ+A=−12，可得sinA=12，
易知csB+C=csπ−A=−csA
所以csA=±1−sin2A=±32，所以csB+C=±32．
故选：C.
【变式5.1】（2025高一上·全国·专题练习）在△ABC中，下列等式一定成立的是（ ）
A．sinA+B=−sinCB．csA+B=csC
C．csB+C2=sinA2D．sinB+C2=sinA2
【解题思路】根据三角形中角之间的关系，结合诱导公式化简即可.
【解答过程】在△ABC中，有A+B+C=π，
∴sinA+B=sinC，故A错误；
csA+B=−csC，故B错误；
csB+C2=csπ−A2=sinA2，故C正确；
sinB+C2=sinπ−A2=csA2，故D错误.
故选：C.
【变式5.2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角A,B,C为△ABC的三个内角，若sinA+B−C2=sinA−B+C2，则△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形
【解题思路】根据诱导公式以及内角和定理得出B=C，从而判断三角形的形状.
【解答过程】因为sinA+B−C2=sinA−B+C2,A+B+C=π,
所以sinπ−2C2=sinπ−2B2，
可得csC=csB，
又因为B,C∈0,π，
所以B=C，则AC=AB，所以△ABC一定是等腰三角形．
故选：C．
【变式5.3】（24-25高一下·浙江·期中）已知A,B,C为△ABC的三个内角，下列各式不成立的是（ ）
A．sinA=sinB+CB．csB=−csA+C
C．sinA2=csB+C2D．csB2=−sinA+C2
【解题思路】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为π，逐个去分析即可选出答案．
【解答过程】由题意知，在△ABC中，A+B+C=π，
对A选项，sinC+B=sinπ−A=sinA，故A选项正确；
对B选项，csA+C=csπ−B=−csB，故B选项正确；
对C选项，csC+B2=csπ−A2=sinA2，故C选项正确；
对D选项，sinA+C2=sinπ−B2=csB2，故D选项不正确．
故选：D.
【题型6 诱导公式与其他知识综合】
【例6】（24-25高一上·全国·周测）已知角α终边上一点P1,2，则sinπ2+α−csπ−αsinπ2−α−sin2π+α=（ ）
A．2B．−2C．0D．23
【解题思路】由三角函数的定义可得出tanα的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【解答过程】由题意，点P1,2为角α终边上一点，由三角函数定义可得tanα=2，
所以sinπ2+α−csπ−αsinπ2−α−sin2π+α=2csαcsα−sinα=21−tanα=−2．
故选：B．
【变式6.1】（2025·辽宁·三模）已知tanα=12，则sinα+π2−cs3π2−αcs−α−sinπ−α=（ ）
A．−1B．1C．−3D．3
【解题思路】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得.
【解答过程】sinα+π2−cs3π2−αcs−α−sinπ−α=csα+sinαcsα−sinα=1+tanα1−tanα=1+121−12=3，
故选：D.
【变式6.2】（24-25高一上·山东淄博·期末）已知角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P2,3．
(1)求sinα,csα的值；
(2)求cs11π2−αsin9π2+α−2sinπ+αcs−αcsπ2+αsin−π−α的值．
【解题思路】（1）由求出点r=OP的值，结合三角函数定义可得；
（2）利用诱导公式化简可得.
【解答过程】（1）由题意知，因角α的终边与x轴的正半轴重合，且终边过点P2,3，
则点P到原点O的距离r=OP=22+32=13，
则sinα=yr=313=31313,csα=xr=213=21313；
（2）cs11π2−αsin9π2+α−2sinπ+αcs−αcsπ2+αsin−π−α=cs3π2−αsinπ2+α+2sinαcsα−sinαsinα
=−sinαcsα+2sinαcsα−sinαsinα=−csαsinα=−2131331313=−23．
【变式6.3】（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知α是第三象限角，且cs(π−α)cs(π+α)sinπ2−αtan(2π−α)sin(π+α)=12．
(1)求tanα的值；
(2)求sin2α+3sinαcsα的值．
【解题思路】（1）借助诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可；
（2）构造齐次式，将弦化切，代入tanα=2计算即可.
【解答过程】（1）由题意，csπ−αcsπ+αsinπ2−αtan2π−αsinπ+α=−csα⋅−csαcsα⋅−tanα⋅−sinα=csαtanα⋅sinα=1tan2α=12，
解得tan2α=2，又α是第三象限角，
∴tanα=2.
（2）由（1），tanα=2，α是第三象限角，则csα≠0，
∴sin2α+3sinαcsα=sin2α+3sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α+3tanαtan2α+1=2+323.
一、单选题
1．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）cs2024π3=（ ）
A．−12B．12C．−32D．32
【解题思路】根据诱导公式即可求解.
【解答过程】因为cs2024π3=cs674×3+2π3=cs674π+2π3 =cs2π3=−12.
故选：A.
2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若sin3π8−x=23，且0