第22讲 三角函数的图象与性质-【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
三角函数的图象与性质
1．正弦函数与余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象
①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法
观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形
状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.
(2)余弦函数的图象
①图象变换法作余弦函数的图象
由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函
数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.

②五点法作余弦函数的图象
类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]
上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.
(3)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”
的连续光滑曲线.
2．正弦函数与余弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：
3．正弦型函数及余弦型函数的性质
函数和的性质
4．正切函数的性质与图象
(1)正切函数的图象及性质
(2)三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.
【题型1 五点法画正弦、余弦函数的图象】
【例1】（2025高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0,π2,π,32π,2πB．0,π4,π2,34π,π
C．0,π,2π,3π,4πD．0,π6,π3,π2,3π2
【变式1.1】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）当x∈0,2π时，曲线y=csx与y=2sin2x+π3的交点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y=12+sinx,x∈0,2π；
(2)y=1−csx,x∈0,2π.
【变式1.3】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数y=1+sinx,x∈0,2π，
(1)用五点法画函数y=1+sinx,x∈0,2π的图象；
(2)讨论函数y=1+sinx,x∈0,2π图象与直线y=t（t为常数）的交点个数.
【题型2 正、余弦函数图象的应用】
【例2】（24-25高一上·山东青岛·期末）当x∈(0,2π)时，函数f(x)=sinx与g(x)=|csx|的图象所有交点横坐标之和为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【变式2.1】（24-25高一上·山西运城·期末）函数f(x)=1−ex1+exsinx的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列x的取值范围能使csx0）的最小正周期为2π3，则f(x)在−π18,π6的最小值为（ ）
A．−32B．−12C．0D．12
【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数fx=−csx+π6,x∈−π3,2π3的值域为（ ）
A．−12,12B．−32,12C．−1,32D．−12,1
【题型4 由三角函数的值域（最值）求参数】
【例4】（24-25高一·全国·课后作业）已知fx=tanωx00在区间−π3,π4上的最大值为1，则ω的值可以为（ ）
A．2B．32C．1D．23
【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx=2cs3x+π6在区间a,b00在区间π6,π3上单调，则ω的取值范围为（ ）
A．0,94B．0,94
C．0,94∪92,214D．0,94∪92,214
【变式6.3】（24-25高一上·湖北黄冈·期末）已知函数fx=2csωx−π4，其中ω>0.若fx在区间π4,π2上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A．0,12B．0,4
C．12,4D．1,52
【题型7 三角函数的奇偶性与对称性问题】
【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）函数f(x)=sinx+π4+φ图象为R上的奇函数，则φ的值可以是（ ）
A．0B．−π4C．π2D．π
【变式7.1】（24-25高二下·全国·阶段练习）已知函数fx=cs2x+π6，则（ ）
A．fx的图象关于点−π12,0对称B．fx的图象关于直线x=π12对称
C．fx−π12为偶函数D．fx的最小正周期为2π
【变式7.2】（24-25高一上·河北唐山·期末）函数fx=sinx，gx=csx，则下列结论正确的是（ ）
A．fxgx是偶函数B．fxgx是奇函数
C．fxgx是奇函数D．fxgx是奇函数
【变式7.3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数fx=sinx+π，则（ ）
A．fx在0,π2上单调递增B．曲线y=fx关于直线x=−π2对称
C．曲线y=fx关于点π2,0对称D．曲线y=fx关于直线x=π4对称
【题型8 三角函数的周期性问题】
【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）函数fx=−3sinπ3−π2x的最小正周期是（ ）
A．4πB．6πC．4D．6
【变式8.1】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设函数fx=sin2x+sinx，则fx为（ ）
A．周期函数，最小正周期为π4B．周期函数，最小正周期为π
C．周期函数，最小正周期为2πD．非周期函数
【变式8.2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以2π为最小正周期的是（ ）
A．y=sinxB．y=sin2xC．y=cs4xD．y=csx2
【变式8.3】（24-25高一上·全国·课后作业）设fn=csnπ2+π4，则f1+f2+f3+⋯+f2021等于（ ）
A．2B．−22C．0D．22
【题型9 三角函数的零点问题】
【例9】（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数fx=csωx−π3ω>0在0,π上有且只有4个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．176,236B．236,296
C．173,233D．233,293
【变式9.1】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）当x∈0,π2∪π2,3π2∪3π2,2π，函数fx=csx−tanx的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式9.2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数fx=sinωx−1ω>0在区间0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．94,134B．2,134C．94,52D．94,134
【变式9.3】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数fx=2sinωx+φ，其中ω>0，00, φ0,00,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cs x相应的单调区间求解；当A