第24讲 三角函数的应用-【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
三角函数的简单应用
1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义
在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数
中的常数有关.
2．三角函数的简单应用
(1)三角函数应用的步骤
(2)三角函数的常见应用类型
①三角函数在物体简谐运动问题中的应用
物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.
②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用
物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态.
③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用
大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解
决这些问题.
【题型1 三角函数在物理学中的应用】
【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间满足关系式y=20sin10π3t−π2,t∈0,+∞，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（ ）
A．0.6sB．0.5sC．0.4sD．0.3s
【解题思路】根据题意y=20sin10π3t−π2,t∈0,+∞，当y=−20时求出t即可.
【解答过程】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期T=2π10π3=0.6s，当t=0时，y=−20，
所以开始计时时该振子位移为−20mm，则该振子第一次到达位移最小点所用时间为t=0.6s．
故选：A.
【变式1.1】（24-25高一上·广东·期末）如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（ ）
A．y=2sin2π3t−π4B．y=2cs2π3t−π4
C．y=2sin2π3t+π4D．y=2csπ3t+π4
【解题思路】设点P的纵坐标为ft=Asinωt+φ，根据题意可求ω，φ与A，从而可求解.
【解答过程】设点P的纵坐标为ft=Asinωt+φ，
由题意可得T=2πω=3，得ω=2π3.
因为起始点P在第四象限，所以初相φ=−π4，
由图可知A=2，
所以ft=2sin2π3t−π4.
所以该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是y=2sin2π3t−π4.
故选:A.
【变式1.2】（24-25高一上·浙江金华·期末）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线y=Acsωx+φ（其中A>0，ω>0，0≤φ0，ω>0，0≤φ0,φ∈(0,π2)；
因为筒转动的角速度为π12rad/s，故ω=π12；
又A+B=1.5+2.5=4；−A+B=1.5−2.5=−1，解得A=2.5,B=1.5，则ℎ=2.5sinπ12t+φ+1.5；
又当t=0时，ℎ=3，则2.5sinφ+1.5=3，sinφ=35，则csφ=1−sin2φ=45；
故当t=3时，ℎ=2.5sin(π12×3+φ)+1.5=2.5×22csφ+sinφ+1.5=2.5×22×75+1.5≈3.95≈4.
故选：B.
【变式2.3】（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，一个大风车的半径是9m，每16min旋转一周，最低点离地面1.5m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离ℎ(m)与时间t(min)之间的函数关系是（ ）
A．ℎ=−9csπ8t+10.5B．ℎ=9csπ8t+10.5
C．ℎ=−9sinπ8t+1.5D．ℎ=9sinπ8t+1.5
【解题思路】建立平面直角坐标系，结合解直角三角形以及角速度求得P离地面的距离h与时间t之间的函数关系.
【解答过程】以最低点的切线作为 x轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
风车上翼片端点P所在位置可由函数xt，yt来刻画，而且ℎt=yt+1.5，
又设P的初始位置在最低点，即y0=0，
在Rt△O1PQ中，csθ=9−yt9，所以yt=−9csθ+9，
又2π16=θt，∴θ=π8t，∴yt=−9csπ8t+9，
则ℎt=−9csπ8t+10.5.
故选：A.
【题型3 三角函数在生活中的应用】
【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）某品牌汽车的轮胎内径为16英寸，在试验阶段为得到车辆相关数据，在轮胎内径边缘安装一传感器，可以实时监控汽车匀速直线运动时传感器所在点距离地面的高度ℎ，已知汽车匀速运动时轴承每秒转动2圈，从传感器转动到最高点处开始计时，则高度ℎ（单位：英寸）关于时间t（单位：秒）的函数解析式为（ ）
A．ℎt=8cs4πt+8B．ℎt=8cs4πt
C．ℎt=8sin4πt+8D．ℎt=8sin4πt
【解题思路】建立合适的坐标系，求出ℎt关于t的函数解析式；
【解答过程】以轮胎轴承中心为原点，分别以过原点且平行于地面的所在直线为x轴，
垂直于地面的所在直线为y轴建立平面直角坐标系，可设ℎt=Acsωt+BA>0,ω>0，
由轮胎内径为16英寸可得，轮胎的半径是8英寸，所以A=8，
当t=0时，将0,16代入解得B=8，又轴承每秒转动2圈，
则轴承的角速度为ω=2π0.5=4πrads，则ℎt=8cs4πt+8．
故选：A.
【变式3.1】（2025高三·全国·专题练习）如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数fx=Asinωx+φ+5A>0,ω>0,φ0，
由表中数据可知，T=12，fxmax=7.5,fxmin=2.5
所以ω=2π12=π6，A=7.5−2.52=52,b=7.5+2.52=5，
所以fx=52sinπ6x+φ+5，
又x=3时，y=7.5，所以52sinπ6×3+φ+5=7.5，
所以π2+φ=π2+2kπ，即φ=2kπ,k∈Z，
所以fx=52sinπ6x+2kπ+5=52sinπ6x+5，
f13=52sin13π6+5=52sinπ6+5=52×12+5=6.25，
即13:00的水深值大约为6.25.
故选：C.
【变式3.3】（24-25高一下·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温y（℃）随时间x（时）的变化趋势近似满足函数y=10sinπ8x−5π4+25，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（ ）
A．7.3时～11.3时B．8.7时～11.3时
C．7.3时～12.7时D．8.7时～12.7时
【解题思路】由三角函数的性质结合条件即得.
【解答过程】当x∈6,16时，π8x−5π4∈−π2,3π4，
由y=10sinπ8x−5π4+25=20，得sinπ8x−5π4=−12，
所以π8x−5π4=−π6,x=263≈8.7(时)；
由y=10sinπ8x−5π4+25=30，得sinπ8x−5π4=12，
所以π8x−5π4=π6,x=343≈11.3(时).
故在6时∼16时中，观花的最佳时段约为8.7时∼11.3时.
故选：B.
【题型4 几何中的三角函数模型】
【例4】（24-25高三上·河北邢台·期末）如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，OA⊥OB，C是弧AB上的动点，过点C作CH⊥OA，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且OH=2OD，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（ ）
A．260万元B．265万元
C．255万元D．250万元
【解题思路】设∠AOC=α，α∈0,π2，利用α表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最多需要多少费用．
【解答过程】设∠AOC=α，α∈0,π2，则OH=2csαkm，OD=csαkm，
所以矩形ODEH的面积S1=2cs2αkm2，
又S△AOC=12×22×sinα=2sinαkm2，
所以风景区面积S=2cs2α+2sinα=2−2sin2α+2sinα=−2sinα−122+52km2，
当sinα=12时，S有最大值52 km2，故最多需要52×100=250万元的修建费．
故选：D．
【变式4.1】（24-25高一上·山东烟台·期末）如图，直线AB与单位圆相切于点O，射线OP从OA出发绕着点O逆时针旋转，在此过程中，记∠AOP=x(00,φ