第19讲 任意角和弧度制-【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
任意角
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
(3)角的分类
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向——顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定：
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
(4)角的相等
设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且
旋转量相等，那么就称α=β.
(5)角的加、减法
①角的加法
设α，β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.
②相反角的概念
我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α.
③角的减法
像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(-β).这样，角的减法可以
转化为角的加法.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角α，β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β.
一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在
第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
③轴线角的集合表示
(3)区间角、区域角
区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角.
【题型1 终边相同的角】
【例1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下面与−850°12'终边相同的角是（ ）
A．230°12'B．229°48'C．129°48'D．130°12'
【变式1.1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）与30°角终边相同的角的集合是（ ）
A．αα=30°+2kπ,k∈ZB．αα=30°+k×180°,k∈Z
C．αα=30°+k×360°,k∈ZD．αα=30°+kπ,k∈Z
【变式1.2】（24-25高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）与−463∘终边相同的角可以表示为（ ）(k∈Z)
A．k⋅360∘+463∘B．k⋅360∘+103∘
C．k⋅360∘+257∘D．k⋅360∘−257∘
【变式1.3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中两个角终边相同的一组为（ ）
A．35°和575°B．−72°和198°
C．147°和957°D．−234°和−954°
【题型2 根据图形写出角（范围）】
【例2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）

A．α−45∘≤α≤120∘
B．α120∘≤α≤315∘
C．α−45∘+k⋅360∘≤α≤120∘+k⋅360∘,k∈Z
D．α120∘+k⋅360∘≤α≤315∘+k⋅360∘,k∈Z
【变式2.1】（24-25高一上·浙江·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A．α−60°≤α≤135°
B．α135°≤α≤300°
C．α−60°+k⋅360°≤α≤135°+k⋅360°,k∈Z
D．α135°+k⋅360°≤α≤300°+k⋅360°,k∈Z
【变式2.2】（25-26高一上·全国·课后作业）若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合α|k⋅180°+45°≤α≤k⋅180°+90°,k∈Z中的角α的终边在图中的位置（阴影部分）是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2.3】（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是（ ）
A．α|5π6+2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈ZB．α|5π6+kπ≤α≤(k+1)π,k∈Z
C．α|−7π6+2kπ≤α≤(2k−1)π,k∈ZD．α|−π6+2kπ≤α≤2kπ,k∈Z
【题型3 象限角的判定】
【例3】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知角α=583°，那么α的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式3.1】（24-25高一上·河北·阶段练习）“α是小于135°的钝角”是“2α是第三象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3.2】（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）已知角α=1234∘，则角α的终边落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式3.3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）如果α是第三象限角，则−α2是（ ）
A．第一象限角B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
模块二
弧度制
1．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角
度制.
(2)弧度制的相关概念
①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
(3)弧度数
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋
转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
2．角度与弧度的换算
(1)弧度与角度的换算公式
(2)特殊角的度数与弧度数的对应表
(3)用弧度表示终边相同的角
用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为
.
3．弧长公式、扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α.
(1)弧长公式
由公式，可得.
(2)扇形面积公式
.
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
【题型4 用弧度制表示角的集合】
【例4】（24-25高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（ ）
A．π3+k⋅360°k∈ZB．60°+2kπk∈Z
C．60°+2k⋅360°k∈ZD．π3+2kπk∈Z
【变式4.1】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）下列与角−7π6的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A．2kπ+π6k∈Z
B．k⋅360∘−7π6k∈Z
C．k⋅360∘−210∘k∈Z
D．kπ+5π6k∈Z
【变式4.2】（2025高三·全国·专题练习）用弧度制表示与150∘角的终边相同的角的集合为（ ）
A．β∣=−5π6+2kπ,k∈ZB．ββ=5π6+k⋅360∘,k∈Z
C．ββ=2π3+2kπ,k∈ZD．ββ=5π6+2kπ,k∈Z
【变式4.3】（24-25高一上·北京·阶段练习）下列各组角中，终边相同的角是（ ）
A．k2π与kπ+π2k∈Z
B．kπ±π3与k3πk∈Z
C．kπ+π6与kπ±π6k∈Z
D．2k+1π与4k±1πk∈Z
【题型5 角度与弧度的换算】
【例5】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）π6弧度等于（ ）
A．60∘B．30∘C．45∘D．90∘
【变式5.1】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）体操中有“前空翻转体540度”这样的动作名称，则540°化成弧度是（ ）
A．3π2B．3πC．5π2D．13π6
【变式5.2】（24-25高一上·全国·课后作业）把下列角度与弧度进行互化．
(1)72°；
(2)－300°；
(3)2；
(4)−2π9.
【变式5.3】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）把112°30′化成弧度；
（2）把−5π12化成角度．
【题型6 弧长的有关计算】
【例6】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．7π10B．10π9C．200D．100
【变式6.1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形的弧长为（ ）
A．5B．5πC．10D．10π
【变式6.2】（24-25高一上·全国·课后作业）要在半径OA=100mm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其圆心角∠AOB=1.12rad，则弧AB的长为（ ）
A．110mmB．112mmC．114mmD．116mm
【变式6.3】（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画.如图所示，某扇面的形状为扇环，记AB的长为l,CD的长为m，若l:m:AD=12:4:3，则此扇环的圆心角的弧度数为（ ）
A．3B．43C．83D．2
【题型7 扇形面积的有关计算】
【例7】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知弧长为π的弧所对的圆心角为π3，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A．3π2B．π3C．2π3D．3π4
【变式7.1】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记AB的长为l1cm，CD的长为l2=12cm，若l1:l2=3:1，AD=8cm，则扇环的面积为（ ）cm2
A．128B．1283πC．1603πD．192
【变式7.2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，扇环ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2.若l1l2=3，则S1S2=（ ）
A．3B．4C．6D．8
【变式7.3】（24-25高一上·江苏·阶段练习）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中AD和BC均以O为圆心，∠AOD=θ0