沪教版（五四制）（2024）七年级上册（2024）乘法公式精品第1课时一课一练

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知识点一
平方差公式
★1. 平方差公式的推导
★2. 平方差公式
（1）文字语言:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差.
（2）符号语言:
注意：公式中的a，b可以是任意的数或代数式.
★3. 平方差公式的特征
（1）左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数.
（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）.
归纳:平方差公式的应用一般有下面几种变形:
知识点二
平方差公式的几何意义
一般地，若在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则剩余部分的面积为
剩余部分拼成一个长方形,这个长方形的长为(a+b）,宽为(ab),面积为(a+b)(a-b)计算化简得出左右两图剩余面积面积相等，因此，可以用拼图的方法验证平方差公式:

题型一 平方差公式
1．下列各式可以利用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各式可以利用平方差公式计算的是
A．B．C．D．
3．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若，则的值为（ ）
A．4B．2C．0D．
6．在横线上填写适当的整式： ( )(-4x-3y)=．
题型二 复杂多项式运用平方差公式
7．如果用平方差公式计算，则可将原式变形为（ ）
A．B．
C．D．
8．用平方差公式计算，结果是（ ）
A．B．
C．D．
9．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
题型三 利用平方差公式进行简便计算
10．用平方差公式计算： ．
11．用平方差公式计算： ．
12．用平方差公式进行计算：．
题型四 整式的化简求值
13．已知，，则（ ）．
A．B．C．D．
14．已知x2-y2=6，x-y=1，则x+y等于( )
A．2B．3C．4D．6
15．已知，同时满足与，则的值是 ．
16．已知m，n同时满足：与，则的值为 ．
17．已知，，则 ．
18．先化简，再求值．其中
题型五 平方差公式与几何图形
19．如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．B．
C．D．
20．如图，分割的正方形可拼接成长方形，可以验证公式（ ）
A．B．
C．D．
21．如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形．将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①B．②C．①②D．无
22．如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是 .
23．（1）如图①，在边长为的大正方形纸片上减去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中的阴影部分的面积，方法①___________；方法②_________________； 由此可以验证的乘法公式为_________________________．
（2）类似地，在棱长为的大正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积，方法①___________________方法②___________________，由此可得某个多项式因式分解的等式为_______________________．并用所学过的知识说明这个等式成立．
（3）利用（2）得到的等式分解式：．

24．【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的乘法公式是______________；
(2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值；
(3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积．
题型六 平方差公式的应用
25．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：；
(3)【拓展】计算：．
26．如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
27．乘法公式的探究与应用；
(1)如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是______（写成两数平方差的形式）
(2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙．则长方形的长是______，宽是______，面积是______（写成多项式乘法的形式）．
(3)比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）
公式1：______ 公式2：______
(4)运用你所得到的公式计算：．
题型七 规律探究题
28．丽丽在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式，很快得到计算结果．
① ；
请参考丽丽的方法进行运算：
②的值为 ．
29．请阅读下面材料，并完成相应的任务．
妙用平方差公式解决问题
学完平方差公式后，王老师展示了以下例题：
例计算：．
观察算式发现：如果将乘，这时可以连续运用平方差公式进行计算，
为使等式恒成立，需将式子整体再乘2．
解：原式
．
以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，
任务：
(1)请仿照上述方法计算：；
(2)请认真观察，计算：．
30．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
(1) _____．
(2)化简
题型八 新定义问题
31．定义，例如 ，则的结果为（ ）
A．B．C．D．
32．若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．B．C．D．
33．将4个数，，，排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号叫做二阶行列式，若，求的值．
34．阅读下列材料：
若一个正整数能表示成，是正整数，且的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：是正整数），所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解．
(1)已知与是的一个平方差分解，求；
(2)已知是正整数，是常数，且，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
35．若两数的平方差能被整数整除，则将这两数称为“幸运倍数组合”，如：证明两个连续偶数是“幸运倍数组合”，设较小的偶数为（为整数），则较大的偶数为，因为，，为整数，所以，两个连续偶数是“幸运倍数组合”．你认为两个连续奇数是“幸运倍数组合”吗？为什么？
解题技巧提炼
平方差公式的运用要注意括号中相同的数（式子）的平分减去相反数（式子）的平方，符号顺序不能弄错.
解题技巧提炼
复杂多项式运用平方差主要体现整体思想，抓住不变的项作为前项，相反的项作为后项，代入平方差公式即可.
解题技巧提炼
简便计算要学会拆数字，往往将大数拆成中间数加，小数拆成中间数减来解题.
解题技巧提炼
整式的化简问题，先利用平方差公式把代数式写成乘积形式，再将已知条件整体代入求解.
解题技巧提炼
平方差公式左边涉及到的是字母的平方作差，右边涉及到的是字母相加减再相乘，这与几何中正方形的面积关系很大，故分析几何图形的时候要善于找到正方形和边长存在和差的图形，这是推导平方差的突破口.
解题技巧提炼
平方差公式的应用解题步骤：一找、二套、三计算.
一找：找到对应平方差的地方；
二套：套用平方差公式；
三计算：用平方差公式计算..
解题技巧提炼
对规律探究类要认真审题，尤其是题目给的规律说明、举例推导，从特殊到一般，模仿推导步骤，从中寻找规律.
解题技巧提炼
新定义问题，首先理解定义法则，加减乘除乘方，先算什么，再算什么？有括号，有加减的地方要留意，这是平方差的体现，如果题目有未知数，还需考虑解方程.