初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级上册（2024）因式分解的方法精品第2课时课时训练

这是一份初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级上册（2024）因式分解的方法精品第2课时课时训练，文件包含122第2课时因式分解的方法公式法原卷版docx、122第2课时因式分解的方法公式法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
知识点一 公式法的定义
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.
知识点二 因式分解的平方差公式
1.定义
由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式.
语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积.
2.特点
(1)等号左边是二项式，两项都是平方的形式，且符号相反；
(2)等号右边是两个数的和与这两个数的差的积.
知识点三 因式分解的完全平方公式
1.定义
由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,.
这两个公式叫做因式分解的完全平方公式
语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它分解因式，它等于这两个数的和
(或差)的平方.
2.特征
(1)等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)乘积的2倍，符号正负均可.
(2)等号右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方.
题型一、判断能否用公式法分解因式
1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：A、，不能用平方差公式因式分解，不符合题意；
B、，可以用平方差公式进行因式分解，符合题意；
C、，不能用平方差公式因式分解，不符合题意；
D、，用完全平方公式因式分解，不符合题意；
故选：B
2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可．
【详解】解：A．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
B．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
C．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
D．，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点．
3．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】公式法分解因式，主要是平方差公式，完全平方公式，立方公式，由此即可求解．
【详解】解：选项，是平方差公式因式分解，不符合题意；
选项，是完全平方因式分解，不符合题意；
选项，不可以用公式法因式分解，符合题意；
选项，是平方差公式因式分解，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查利用公式法因式分解，掌握公式法中的平方差公式，完全平方公式是解题的关键．
4．（20-21九年级上·陕西渭南·阶段练习）下列各式因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可．
【详解】解：A： x2-a2=(x-a)2 ，因式分解不正确；
B： 4a2+4a+1=(2a+1)2，因式分解不正确；
C： -x2+4x=-x(x-4) ，原式因式分解错误；
D： x2−4y2=(x+2y)(x−2y) ，原式因式分解正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
5．多项式：①16x2﹣8x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x 分解因式后，结果中含有相同因式的是（ ）
A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③
【答案】C
【分析】首先把各个多项式分解因式，即可得出答案．
【详解】①16x2−8x＝8x（2x−1）；
②（x−1）2−4（x−1）＋4＝（x−1−2）2＝（x−3）2；
③（x＋1）4−4x（x＋1）2＋4x2＝[（x＋1）2−2x]2＝（x2＋1）2；
④−4x2−1＋4x＝−（2x−1）2；
∴结果中含有相同因式的是①和④；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的方法以及公因式；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
题型二、平方差公式分解因式
6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用平方差公式分解即可，熟练掌握提公因式与公式法是解题的关键．
【详解】解：，
，
．
7．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）因式分解：．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式，再利用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】原式
．
8．（22-23七年级上·上海·期末）分解因式：．
【答案】
【分析】利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
9．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：．
【答案】
【分析】本题考查利用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解，注意要分解彻底．
【详解】解：
题型三、完全平方公式分解因式
10．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： ．
【答案】
【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解，涉及完全平方公式，一个多项式化为几个整式的积的过程叫因式分解；难度较小．
11．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法公式法，，即可．
【详解】
．
12．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）因式分解：．
【答案】
【分析】利用完全平方公式分解因式即可．此题考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
【详解】原式，
，
=．
13．（23-24七年级上·上海松江·期中）若可以用完全平方公式因式分解，则m的值是 ．
【答案】
【分析】直接利用完全平方公式进行解题即可．
【详解】解：可以用完全平方公式因式分解，
的值等于：．
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式应用，能够熟练掌握完全平方公式是解题关键．
题型四、综合运用公式法分解因式
14．（21-22七年级上·上海·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
15．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
16．（23-24七年级上·上海·期中）分解因式：
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法“提取公因式法、公式法、十字相乘法等”是解题关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：原式
．
17．分解因式：
【答案】
【分析】根据完全平方公式、平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握乘法公式分解因式是解题的关键．
18．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）分解因式： =
【答案】
【分析】先用完全平方公式因式分解，再用平方差因式分解．
【详解】
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉公式法因式分解．
19．（21-22七年级上·上海宝山·期末）分解因式：
【答案】
【分析】先根据完全平方公式将前三项分解，再根据平方差公式分解即可．
【详解】解：原式=
=．
【点睛】本题主要考查了根据公式法因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．注意：因式分解要分到不能再分为止．
题型五、综合提公因式和公式法分解因式
20．（23-24七年级上·上海·期中）分解因式：．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法“提取公因式法、公式法、十字相乘法等”是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：原式
．
21．（23-24七年级上·上海长宁·期中）
【答案】
【分析】此题考查了综合运用提公因式法和运用公式法分解因式，先提公因式，然后再用平方差公式对进行因式分解．
【详解】解：原式
22．（23-24七年级上·上海长宁·期中）
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
23．（23-24七年级上·上海金山·期末）因式分解：．
【答案】．
【分析】本题主要考查因式分解的知识，掌握提公因式法，乘法公式进行因式分解是解题的关键．根据提公因式法，乘法公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式
．
24．（23-24七年级上·上海青浦·期中）分解因式：．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式及平方差公式分解因式．
先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可得出答案．
【详解】解：
．
25．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： ．（其中且为整数）
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，直接根据提公因式和平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式
故答案为：．
26．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式：．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
【详解】解：
27．（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式：（n为大于2的正整数）
【答案】
【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，本题先提取公因式，再利用完全平方公式与平方差公式进行分解即可，熟记把多项式的每个因式都分解到不能再分解为止是解本题的关键．
【详解】解：
．
题型六、因式分解在有理数简算中的应用
28．已知，，，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将因式分解为(a-b)(a-c)，再将其值代入计算即可．
【详解】∵，，，
∴=a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c)
=(2017x+2016-2017x-2017)×(2017x+2016-2017x-2018)=-1×(-2)=2．
故选：A．
【点睛】考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解为(a-b)(a-c)的形式．
29．（17-18八年级上·上海·期中）已知,则 .
【答案】2
【详解】∵,
∴，
∴
x3-x2-x2+x2-3x+1
=x3-2x2+x2-3x+1
=x(x2-2x)+x2-3x+1
=x+x2-3x+1
=x2-2x+1
=1+1
=2.
故答案是：2.
30．（23-24八年级上·广东广州·期中）计算： ．
【答案】/
【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可．
【详解】解：原式=
，
故答案为：．
【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算．
31．（22-23八年级上·福建泉州·期中）计算： ．
【答案】2022
【分析】根据有理数的乘法运算律计算，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：2022
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键．
32．（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算：
【答案】80
【分析】提公因式，再利用平方差公式分解，进行简便计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键．
33．（17-18七年级上·上海浦东新·期中）计算：
【答案】.
【分析】利用平方差公式将各因式分解后进行约分即可得解.
【详解】，
=
=
=.
【点睛】此题考查有理数的混合运算，运用规律拆分是解决问题的关键.
34．（22-23八年级上·山东威海·期中）简便计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
（1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行计算即可；
（2）运用平方差公式进行变形进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
35．（23-24八年级上·重庆·期中）简便计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式．
（1）利用平方差公式进行计算，即可解答；
（2）利用因式分解进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
解题技巧提炼
能否用公式法分解因式，要根据平方差公式、完全平方公式的结构特点逐个分析出结论.
解题技巧提炼
(1)多项式可写成二项式的形式;
(2)每一项的绝对值都能写成平方的形式,且符号相反.
解题技巧提炼
(1)多项式可写成三项式的形式;
(2)有两项的绝对值是两个数(或式子)的平方，且这两项符号相同；
(3)另外一项是这两个数(或式子)的积的2倍.
解题技巧提炼
如果有二项平方次，先考虑平方差；如果有二次三项式，则考虑完全平方公式.
解题技巧提炼
一般情况先考虑提取公因式，再考虑用平方差或者完全平方公式.
解题技巧提炼
在直接计算比较复杂的情况下，仔细观察算式特点，灵活运用相关公式是解决问题的关键,若各项中有相同的因式，则可采取提公因式法简化计算,有些复杂的题目，则需要用到公因式法进行简化.