初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级上册（2024）因式分解的方法精品第4课时达标测试

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知识点一 分组分解法
分组分解法
如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组,利用分组可以进行多项式的局部分解然后,综合起来,再从总体上用捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解,直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做.
2.分组原则
(1)分组后能直接提取公因式,多见四项多项式.
(2)分组后能直接运用公式法,多见四项多项式2-2分组.
(3)分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式1-3分组.
题型一、因式分解的判断
1．下列因式分解错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．把分解因式，正确的分组为（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23七年级上·上海青浦·期中） 多项式的因式（填“是”或“不是”）
题型二、2＋2型分组分解法
4．（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式：
5．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：．
6．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：．
7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：
8．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：.
9．分解因式：．
10．（21-22九年级下·上海徐汇·期中）因式分解： ．
11．（22-23七年级上·上海·期末）分解因式： ．
12．分解因式： ．
13．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：．
14．（23-24七年级上·上海崇明·期末）分解因式：．
15．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：；
题型三、1＋3型分组分解
16．因式分解： ．
17．因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．
18．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：．
19．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解∶
20．（22-23七年级上·上海闵行·期中）因式分解：．
21．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：．
22．（22-23七年级上·上海宝山·期末）分解因式：．
23．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：；
题型四、3＋2型分组分解
24．分解因式： ．
25．（22-23七年级上·上海闵行·期中）因式分解：．
26．（22-23七年级上·上海青浦·期中）分解因式：
题型五、3＋3型分组分解
27．因式分解：
28．因式分解：
题型六、1＋2＋3型分组分解
29．如果因式分解的结果为 ．
30．因式分解： ．
题型七、拆项法分组分解
31．因式分解：
解：原式
请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)因式分解：________；
(2)运用拆项法因式分解：；
(3)化简，并求该式的最小值．
32．因式分解： .
33．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：．
34．分解因式：
题型八、高次型分组分解
35．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： ．
36．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列解题的过程．
分解因式：
解：
请按照上述解题思路完成下列因式分解：
(1)；
(2)．
题型九、利用分组分解求字母的值
37.已知，求m，n的值．
38．已知，且，求的值．
39．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知a，b，c三个数两两不等，且有，试求m的值．
题型十、判断三角形形状问题
40．已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
41．（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状．
（2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？
42．已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由，
43．的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由．
题型十一、最值问题
44．求多项式的最小值；
45．已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28B．43C．76D．78
46．若为实数且满足，，求的最小值．
47．当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？
题型十二、分组分解的综合应用
48．（23-24七年级上·上海·期末）多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ．
49．当时，代数式
50．若、、为非零实数，且，求证：．
题型十三、分组分解的探究题
51．整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：
（1）；
（2）．
问题二：探究
对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系．
52．观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：
说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：
例题把分解因式．
解：．
请利用上述方法将下列多项式分解因式：
（1）；
（2）．
53．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）下面是多项式x3+y3因式分解的部分过程，．
解：原式＝x3+x2y﹣x2y+y3（第一步）
＝（x3+x2y）﹣（x2y﹣y3）（第二步）
＝x2（x+y）﹣y（x2﹣y2）（第三步）
＝x2（x+y）﹣y（x+y）（x﹣y）（第四步）
＝ ．
阅读以上解题过程，解答下列问题：
（1）在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（至少写出两种方法）
（2）在横线继续完成对本题的因式分解．
（3）请你尝试用以上方法对多项式8x3﹣1进行因式分解．
54．请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+64
（2）x4+4y4；
（3）x2﹣2ax﹣b2+2ab．
55．阅读下列文字与例题，并解答：
将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．
例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．
原式
(1)试用“分组分解法”因式分解：
(2)已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立．
①当时，求的值；
②当时，用含的代数式分别表示、、（直接写出答案即可）．
解题技巧提炼
因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
解题技巧提炼
2＋2型分组分解法一般有两类．
第1类：每2项都可以提取公因式，然后再将括号内的多项式进行二次提取公因式.
第2类：其中2项可以进行平方差.
解题技巧提炼
1＋3型分组分解法一般题型特征．
出现二次三项式，先将三项完全平方，再进行平方差分解因式.
解题技巧提炼
3＋2型分组分解法一般题型特征．
出现二次三项式，先将三项十字相乘，再进行提取公因式分解因式.
解题技巧提炼
3＋3型分组分解法一般题型特征．
出现两个二次三项式，且都可以进行完全平方，再将它们平方差分解因式.
解题技巧提炼
1＋2＋3型分组分解法一般题型特征．
其中两项可以进行提取公因式，其中三项是二次三项式，最后在整体思想十字相乘分解因式.
解题技巧提炼
拆项法：在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解．
解题技巧提炼
高次问题一般转化成降次进行因式分解．
解题技巧提炼
先将式子进行分组分解因式分解，再代值求解．
解题技巧提炼
判断三角形形状问题一般先分组分解构造成A×B＝0的方程，解的A＝0或者B＝0，从而得到边长的关系．
解题技巧提炼
最值问题一般先配成完全平方，根据非负性求最值．
解题技巧提炼
综合问题要全面运用分组分解的方法，找到解题突破口进而求出结果．
解题技巧提炼
探究归纳题要将例子介绍的原理看清楚，理解透，再对照方法求出变式题．