人教版（2024）八年级上册（2024）13.3.2 三角形的外角一等奖课件ppt

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足球比赛中的数学知识
在绿茵场上，足球员在E处受到阻挡需要传球，请帮助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射门不易射偏？（不考虑其他因素）
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
发现老鼠独自在O处后，小猫打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住老鼠返回鼠窝的去路，小猫则直接在B处拦截老鼠，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.小猫从C处要转多少度角才能直达B处？
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
【思考】像∠BCD这样的角有什么特征吗？试猜想它的性质.
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角.
如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
如图，∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
证明：过C作CE平行于AB，
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角.∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
说出下列图形中∠1和∠2的度数：
∠1=40 °， ∠2=140 °
∠1=18 °， ∠2=130 °
例1 如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
利用三角形外角的性质求角的度数
分析：根据平行线的性质求出∠C，再根据三角形外角性质即可求出∠3. 解： ∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°.又∵∠2＝35°，∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.
如图，直线AB，CD被BC 所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°， 则∠3＝________度．
例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决.
如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.
证明：延长BO交AC于点D，因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C，所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.
解：∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B， ∠3=∠2+∠D，∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　)A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE= ∠2+ ∠3，∠CBF= ∠1+ ∠3，∠ACD= ∠1+ ∠2.又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ，① ∠CBF +∠2=180 ° ，②∠ACD +∠3=180 ° ，③又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，①+ ②+ ③得∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °– 180°=360°.
解法三：过A作AM平行于BC，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
结论：三角形的外角和等于360°.
【思考】你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
下列对三角形的外角和叙述正确的是(　　)A．三角形的外角和等于180°B．三角形的外角和就是所有外角的和C．三角形的外角和等于所有外角和的一半D．以上都不对
解析：如图，∵∠ACD=90°、∠F=45°， ∴∠CGF=∠DGB=45°，则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°.
1. 判断下列命题的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
1. 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.
2.（1）如图，∠BDC是________的外角，也是 的外角； （2）若∠B=45 °，∠BAE=36 °，∠BCE=20 °，试求∠AEC的度数.
解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE， ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °.
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．
解：∵∠1是△FBE的外角，
∴∠1=∠B+ ∠E，
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中，∠C+∠1+∠2=180º，
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º.
如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和等于360 °
①求角的度数，通过三角形一顶点的平行线，利用平行线的性质解决②求角的度数，延长三角形一边或连接并延长，利用三角形外角性质解决
P17 10、11题