2025北师大版七年级数学上册第三章整式及其加减问题解决策略：归纳教案

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☆问题解决策略：归纳 教学目标课题☆问题解决策略：归纳授课人素养目标1.经历探索规律到归纳出一般性结论的全过程，掌握解决规律探究类问题的策略和方法。 2.通过寻找规律并验证说理，提升抽象能力和推理能力。教学重点从简单情形中寻找规律到归纳出一般性结论的全过程。教学难点找出合适的规律并验证说理教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，引入新知 设计意图 通过生动的图片，激发学生的学习兴趣。【情境引入】 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量增加，效果更为斑斓绚丽（如图）。 今天我们将对这种类型的图形展开研究。【教学建议】 给学生多展示一些图片，说明数学在生活中有着广泛的应用。活动二：交流讨论，探究新知 设计意图 通过实际问题中遇到的困难，引出探究一般性规律的必要性。探究点 运用归纳策略寻找规律 问题 如图，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形（不计被分割的三角形）。 当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 【理解问题】 （1）先动手画一画，感受分割得到三角形的过程。 （2）已知条件是什么？目标是什么？ 已知条件是长方形内有35个点，将这些点按照前面的方法连接，形成多个三角形。目标是求出分得的三角形的总个数。 【拟定计划】 （1）直接研究“长方形内有35个点”的情形，你遇到了什么困难？ 点太多，不方便将三角形全部画出来，也不知道是否有多种结果。 （2）哪些情形容易研究？从中你能发现什么规律？ 长方形内点的个数较少时容易研究，如长方形内有1个点、2个点、3个点的情形。初步发现，长方形内点的个数增加1，三角形的数量增加2。 （3）你发现的规律正确吗？你能给出合理的解释吗？ 【实施计划】 写出你的解决方案，并说明其中的道理。【教学建议】 要先让学生自己动手画，正确地认识问题，明确目标，并体会解决问题遇到的困难。教师要和学生讲清楚在长方形区域分割三角形的过程。特别要强调保证所有连线不再相交产生新的点这句话。学生在这里容易理解错。教学步骤师生活动设计意图 展示解决问题的全过程，培养学生系统性解决问题的能力。小明的思考过程如下。 （1）先研究长方形内有3个点、4个点的情形（如图）。 （2）几种简单情形的数据如下表，发现规律：长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2。 长方形内点的个数1234…三角形的个数46810…（3） 因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是4+2×（35-1）=72。 【回顾反思】 （1）如果长方形内有100个点呢？一般地，如果长方形内有n个点呢？ 长方形内点的个数分割成的小三角形个数1004+2×（100-1）=202n4+2(n-1)=2n+2（2）你还能提出并解决什么问题？ （3）从简单的情形开始思考有什么好处？通过简单情形归纳一般性结论，你有哪些经验？ 可由学生自由作答，教师再总结。 教师总结： 【教学建议】 强调解决问题需从易入手，在简单情形中找变化规律时，要注重每次点的个数变化时，引起的三角形的个数的变化情况是怎样的，如果这种变化关系适用于其他情形，就说明找到的是一般性规律，如果不适用于所有情形，则说明看待变化关系的角度需要作适当的修正。活动三：典例精析，巩固提升 设计意图 通过对教材中P102问题1，2的讲解，进一步巩固对归纳策略的认知。例 阅读教材P102下方问题1，2，回答下面的问题： 问题1 简单指数情形下的规律31＝3，其个位数字是3， 32＝9，其个位数字是9， 33＝27，其个位数字是7， 34＝81，其个位数字是1。指数增大情形下的规律验证35＝243，其个位数字是3， 36＝729，其个位数字是9， 37＝2187，其个位数字是7， 38＝6561，其个位数字是1。【教学建议】 本例选自教材P102～103问题中的前面两题，均大致沿袭了前面对于长方形内分割三角形的思路，并对其思路进行了详细列表讲解。教学时教师可根据表格所列示的步骤引导学生进行逐步解题，要让学生通过经历规律的探究教学步骤师生活动一般情形下的规律总结3n(n为正整数)的个位数字按3，9，7，1四个数字循环出现。根据规律回答问题2024÷4＝506，32024的个位数字是1。问题2 简单情形下的规律剪1刀3×1+1=4（段）剪2刀3×2+1=7（段）稍复杂情形下的规律剪3刀3×3+1=10（段）剪4刀3×4+1=13（段）……………………一般情形下的规律剪n刀3×n+1=(3n+1)段问题解决(1)剪12刀，绳子变为3×12+1=37（段）(2)3n+1=101，所以n=。因为n是整数，所以不可能正好剪得101段【对应训练】 教材P102~103第3~4题。过程，学会使用这一通性通法。 【教学建议】 对于对应训练，教师可让学生分小组讨论后给出具体的分析过程，下面给出这两道题的答案，供教师教学时参考。 3.解：（1）根据三角形数阵可知， 1=13， 3+5=8=23， 7+9+11=27=33， 13+15+17+19=64=43， 21+23+25+27+29=125=53， ……， 第10行的10个数的和为103=1000。 (2)略。 4.解：第n种化合物的分子结构模型中有(2n+2)个氢原子，第60种化合物的分子结构模型中有122个氢原子。活动四：随堂训练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.为了解决问题，我们是从什么情形入手的？ 2.从简单情形中找出某种规律后，是否就说明找到了一般性规律？还需要注意什么？ 3.要想归纳出一般性结论，我们一般要经过哪些步骤？ 【作业布置】 《创优作业》主体本部分相应课时训练。板书设计☆问题解决策略：归纳 1.从简单情形中找规律 2.验证规律 3.解释说理 4.归纳一般性结论教学反思本节课难度较大，学生一般缺乏自主思维去解决这样的规律探究类题目。但通过本节课的学习，让学生体验了归纳一般性结论的全过程，让学生有了一定的经验和策略。后续学习中，可以给学生展示不同类型的应用场景，让学生进一步巩固解决此类问题的能力。