（暑假班）(人教A版)新高一数学暑假自主学习讲义第02讲 集合间的基本关系（2份，原卷版+解析版）

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1．能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念，并掌握其记法和读法；
2．理解两个集合相等的含义，会用子集的观点来解释两个集合相等；
3．在具体情境中了解空集的含义并理解空集是任何集合的子集这一规定；
4．初步认识Venn图，会用Venn图来表示两个集合的关系。
一、子集的概念
1、子集的定义：对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
2、真子集：如果集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合B的真子集。记作AB或(BA)
3、集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作
二、空集
1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集．
2、0，{0}，，的关系
三、子集的性质
（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.
（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.
（3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.
（4）如果AB，BC，则AC.
【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．
四、子集的个数
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
五、Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。
韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系
考点一：判断两个集合的包含关系
例1．下列各式：①，②，③，④，
⑤，其中错误的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】设，，则（ ）
A． B． C． D．
考点二：确定集合的子集与真子集
例2．集合的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．3 D．5
【变式训练】已知集合且，则集合A的子集的个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
考点三：利用集合相等求参数
例3．集合，且，则实数m=________.
【变式训练】设，集合，则___________．
考点四：空集的概念与判断
例4．下列集合中为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点五：根据集合包含关系求参数
例5．（多选）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知集合.
（1）若，则实数a的值是多少?
（2）若，则实数a的取值范围是多少?
（3）若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?
1．下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤
2．已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．集合的子集个数为（ ）．
A．4 B．7 C．8 D．16
4．已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．设，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
6．（多选）下列关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，若，则______．
9．已知集合，，若，则__________.
10．已知集合，且，则实数a的值是_________．
1．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合和，那么（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知，，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知集合，，若，则实数______．
9．若a，，则________，________.
10．已知集合．
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）若，，求实数的取值范围．
与0
与{0}
与
相同点
都表示无
的意思
都是集合
都是集合
不同点
是集合；
0是实数
中不含任何元素；
{0}含一个元素0
不含任何元素；
含一个元素，该元素是
关系
∅{∅}或∅∈{∅}